1、MOM矩量法矩量法The Method of Moment&4.1 矩量法概述矩量法概述v发展史发展史 1963年，年，K.K.Mei，博士论文，博士论文 1968年，年，R.F.Harrington，专著，专著 20世纪世纪90年代初，快速算法发展年代初，快速算法发展 FMM MLFMA Wavelet v应用应用 天线问题、天线设计、微波网络、生物电磁学、天线问题、天线设计、微波网络、生物电磁学、辐射效应研究、微带线分析、辐射效应研究、微带线分析、辐射和散射、辐射和散射、电磁电磁兼容兼容vMOM定义定义 采用基函数和权函数离散化方程的数值方法采用基函数和权函数离散化方程的数值方法 内域积分
2、形式的加权余量法的总称内域积分形式的加权余量法的总称vMOM思想思想 先将需要求解的微分方程或积分方程写成带有微先将需要求解的微分方程或积分方程写成带有微分或积分算符的算子方程分或积分算符的算子方程 再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性组合并代入算子方程组合并代入算子方程 最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量，最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量，就得到一个矩阵方程或代数方程组就得到一个矩阵方程或代数方程组 vMOM原理原理 线性空间理论线性空间理论 N个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程个线性方程的联立方程组、微分方程、差分方程及
3、积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程 它们可化作矩阵方程予以求解，在求解过程中需它们可化作矩阵方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量，故此法称为矩量法计算广义矩量，故此法称为矩量法 算子方程算子方程 ( )L fgL L取不同形式，便可描绘不同的电磁工程问题取不同形式，便可描绘不同的电磁工程问题 v算子算子 多种形式多种形式 微商、不定积分、傅立叶变换、拉普拉斯变换、梯度、微商、不定积分、傅立叶变换、拉普拉斯变换、梯度、散度、旋度、矩阵乘子散度、旋度、矩阵乘子 ( )x( )x表示函数形式表示函数形式与函数形式与函数形式之间的对应关系，之间的对应关系
4、，即函数空间到函数空间的映射，又称变换，它可以写成即函数空间到函数空间的映射，又称变换，它可以写成 ( )( )AxLxv不同不同电磁问题电磁问题的算子方程的算子方程RdlLl410L20Ll deeKHkLe)(4)2(0ZdZZGkZZZGjLLL,122222LSZSZELJiZEZLIvMOM基本步骤基本步骤 1、展开、展开 f未知函数未知函数 为有限个线性无关的已知简单函数为有限个线性无关的已知简单函数 nf之和之和 1Nnnnff线性无关。称为基函数线性无关。称为基函数1NnnnLfg( )L fg未知数未知数 vMOM基本步骤基本步骤 2、匹配、匹配 mwLfL在在 的值域内选一
5、组的值域内选一组线性无关线性无关的函数的函数 (权函数），分别与权函数），分别与 和和g作内积作内积 ,mmwLfwg,nmnmnwLfwg1112211,NnnnNnnnNnNnNnw Lfw gw Lfw gwLfwg( )L fg的近似算式的近似算式vMOM基本步骤基本步骤 3、变换为矩阵方程、变换为矩阵方程mnnnlg11122122, (), (), (), ()mnw L fw L flw L fw L f 12n12,nw ggw g vMOM基本步骤基本步骤 4、矩阵方程求解、矩阵方程求解1 nmnnlg1nnnff1 nnnmnmffflg,21nnffff直接求解：直接求解
6、：LU，SVD；迭代：；迭代：CG、BiCG、GMRES 算法软件包：算法软件包：LAPACKLAPACK、BLASBLAS、MKLMKL&4.2 基函数与权函数选择基函数与权函数选择 v基、权函数的影响基、权函数的影响 计算结果的精度计算结果的精度 阻抗矩阵计算的难易阻抗矩阵计算的难易 未知量的多少未知量的多少 阻抗矩阵的条件数的大小阻抗矩阵的条件数的大小v基函数要求基函数要求 完备性、正交性（线性无关）完备性、正交性（线性无关） 尽可能逼近待求量尽可能逼近待求量 基函数均可作为权函数基函数均可作为权函数 v基函数基函数 分为全域基和分域基分为全域基和分域基 全域基全域基 存在于存在于L全部
7、定义域且不为零全部定义域且不为零 无需网格剖分无需网格剖分 只适合简单、规则形状只适合简单、规则形状幂级数幂级数 1nnfxx傅立叶级数傅立叶级数 cossinnfnn或麦克劳林级数麦克劳林级数 nnfx 分域基分域基 只在只在L的部分定义域存在（部分为零）的部分定义域存在（部分为零） 形状复杂形状复杂 稳定稳定 一维、二维、三维一维、二维、三维1）狄拉克函数（）狄拉克函数（Dirac delta function）00( )()B xxx0 x0()xx2）脉冲函数（）脉冲函数（pulse） 12112( )( ,)0CxxxB xP x x xothers112( , ,)jP x x x
8、3）子域三角函数（）子域三角函数（subsectional triangle function） 11221212332332( )( ,)xxxxxxxB xt x x x xxxxxxxx11x2x3x x1 x2 x3 x4 xN1 xN x a1f1(x) a2f2(x) a3f3(x) aN2fN2(x) x1 x2 x3 x4 xN1 xN x a1f1(x) a2f2(x) a3f3(x) a4f4(x) aN1fN1(x) aNfN(x) 4）分段正弦函数（）分段正弦函数（piecewise sinusoidal functions） 1122132332sin(),sin()
9、( )sin(),sin()kxkxxxxkxkxS xkxkxxxxkxkx5）拉格朗日插值多项式（）拉格朗日插值多项式（Lagrangian interpolation polynomials）函数）函数 12111211()()()()()()()()()()jjNjjjjjjjjNxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx121,2,;Njxxx x1 x2 x3 x4 xN1 xN x a1f1(x) a2f2(x) a3f3(x) aN1fN1(x) 22( )1xx 31( )(1)2xx x11( )(1)2xx x,2(),=1 220,nnnnnnnnnlrTAlfrrTnA
10、，其 他OnlnT nT n n nr nrRWGRWG（Rao-Wilton-GlissonRao-Wilton-Glisson）矢量基函数）矢量基函数 定义于平面三角形贴片对上，定义于平面三角形贴片对上，能保持单元交界面处切向连续，且无线电荷积累能保持单元交界面处切向连续，且无线电荷积累 (),22( )(),220,nnnsnsnnnnnnnnsnsnsnnnnnlllrTAAAlllfrrTAAA 其他通常每波长分通常每波长分1010格以上格以上 u12muu12du1通常每波长分通常每波长分6 68 8格格 XYZpatch Apatch BOverlap Modes 小结分域基函数
11、构造小结分域基函数构造 1）求解域分成很多子区域）求解域分成很多子区域 2）在每个子区域中选择若干个位置上的函数值作为参）在每个子区域中选择若干个位置上的函数值作为参考点考点 3）用多项式插值得到整个子区域的函数）用多项式插值得到整个子区域的函数 4）子区域函数叠加得到整个区域待定函数的表达式）子区域函数叠加得到整个区域待定函数的表达式 关键关键 选择子区域形状选择子区域形状 选择插值参数选择插值参数 v权函数权函数 伽略金法伽略金法 点匹配法点匹配法 方便避免了积分方便避免了积分 精度有限精度有限 nnfw00() ( )()xxf x dxf x&4.3电磁场表面积分方程电磁场表面积分方程
12、v场的等效原理场的等效原理 n n n n ,aaE H ,aaE H ,aaE H ,aaE H ,bbE H ,bbE H ,bbE H ,bbE H( (a a) )( (b b) )( (c c) )( (d d) )();()sabmsabnn JHHJEE拉芙（拉芙（Love）场的等效原理）场的等效原理零零场场 ,E H ,E H 2V 2V1V1V n nSS sJ msJ（a a）（b b）;smsnn JH JE注意等效区是在均匀背景介质中注意等效区是在均匀背景介质中v电磁场中的格林函数电磁场中的格林函数 基本思想基本思想:将分布场源在给定边界条件下所产生的场，看作由一些理想
13、点将分布场源在给定边界条件下所产生的场，看作由一些理想点源在同样边界条件下所产生的场叠加起来。源在同样边界条件下所产生的场叠加起来。 22() ( ,)( )kr rs r ?( ,)r r 22() ( ,)()kG r rrr ( ,)G r r ( ,)( ,) ( )Vr rdr G r r s r VS S( )s r( )( ) ()S rdr s rrr当点源的场解为已知，则一般的源分布的解可由迭加原理获得当点源的场解为已知，则一般的源分布的解可由迭加原理获得 22() ( ,)()kG r rrr 在以在以 r为原点的球坐标系统内求解为原点的球坐标系统内求解 22() ( )(
14、 )( ) ( ) ( )kG rrxyz 0r ( )jkrjkreeG rCDrr无穷远处无源无穷远处无源 ( )jkreG rDr21jkrjkrVVDeDedVdVkrr 24dVr dr高斯定理高斯定理 20lim41jkrrderDdrr 1 4D44jk r rjkReeGRrr (2)012:()4D GHkjv电磁场中的散射辐射公式电磁场中的散射辐射公式散散射射体体sJsMiESV isEEE sE0EjHHJjEEB 10,0ABHAEjH ()0Ej A0Ej A ()0Ej AHJjE1HA2,Ak AJjk 22()AAk AJj 矢量恒等式矢量恒等式 Aj 选择选择
15、 22-Ak AJ22()AAk AJj 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 22()AAk AJj 取散度取散度 Aj221kJj矢量亥姆霍兹方程矢量亥姆霍兹方程标量亥姆霍兹方程标量亥姆霍兹方程 222222xxxyyyzzzAk AJAk AJAk AJ ( )( ) ( ,)A rJ r G r r dr 1( )( ) ( ,)rJ r G r r drj 221kJj电流源和电荷产生的电场电流源和电荷产生的电场21()VEjJGJG dVk 磁流源和电磁荷产生的磁场磁流源和电磁荷产生的磁场21()VHjMGMG dVk v三种形式的表面积分方程三种形式的表面积分方程 散射问题与辐射问题散射问题
16、与辐射问题 求解辐射场只要对已知电流、磁流积分求解辐射场只要对已知电流、磁流积分 求解散射场时，需要两个步骤求解散射场时，需要两个步骤 根据已知的入射电场和入射磁场，通过积分方程求得未知根据已知的入射电场和入射磁场，通过积分方程求得未知的感应电流和磁流的感应电流和磁流 ； 对求得的感应电流和磁流积分，得到散射电场和散射磁场对求得的感应电流和磁流积分，得到散射电场和散射磁场 EFIE 理想导体理想导体21()SSEjJGJG dSk MFIE 由等效原理，散射体表面的感应电流可表示为由等效原理，散射体表面的感应电流可表示为等效原理等效原理,isisEEEHHH导体表面的边界条件导体表面的边界条件
17、()0sinEE21()iSjnEnJGJG dSk( )( ) ( )( )siJ rn rHrH r1( ) ( ,)sHAJ r G r r dr 目标外一点无限趋近于散射体表面目标外一点无限趋近于散射体表面rS( )( )( )lim ( )( ) ( ,)irSJ rn rH rn rJ r G r r dr ( ) ( ,)( ,)( )( )( ,)J r G r rG r rJ rJ rG r r ( )0J r( ,)( ,)G r rG r r ( )( )( )lim ( )( )( ,)irSn rH rJ rn rJ rG r r dr ( ) ( )( ,)( )(
18、 ,)SSSn rJ rG r r drJ rG r r dr rr从散射体外无限趋近于从散射体外无限趋近于 22()()rrzzj22e1()(1)44()()kGzzr rrrrrrr1 zz 柱坐标系下柱坐标系下22 3 2( )( ,)( )( ,)( )4()() zzGGzzzJ rr rJ rr rJ r( )nzrS的切向的切向( )( ) J rJ r近似为常数，近似为常数，22 3 20( )( )( )( ,)dd2()aSznGzJ rrJ rr rr0z 222 3 2220( )( )d2()2azzzzzaz J rJ r2220( )( )lim22zzzzaz
19、J rJ r0z ( )( )( )( )( )( ,)d2iSSnnGJ rrHrrJ rr rr的贡献的贡献 S只适用于光滑目标！只适用于光滑目标！ CFIE EFIE、MFIE存在内谐振问题存在内谐振问题 ：0.20.5 CFIE具有与具有与EFIE和和MFIE一样的未知量数目一样的未知量数目 兼具了兼具了EFIE高精度和高精度和MFIE快收敛的优点快收敛的优点 不能用于开放体和尖锐目标不能用于开放体和尖锐目标CFIEEFIE(1)MFIEjk&4.4 MOM的应用的应用yxzny2a2a2b2bnx00空间任一点的静电势空间任一点的静电势 0( , )( , , )d d 4aaaax
20、 yx y zyxR待求面电荷密度待求面电荷密度 12222()()Rxxyyz边界条件边界条件 0)0 ,(yx(,)xa ya算子方程算子方程 00( ,)d d 4aaaax yyxLR算子算子 01d d 4aaaaLyxR导电板上的电荷分布导电板上的电荷分布利用利用MM法，首先分扳为法，首先分扳为N个均匀小块个均匀小块 nS，并选基函数为分域脉冲函数，并选基函数为分域脉冲函数 1Nnnn 01n上在其他上在mnSS激励激励 0g在观察点在观察点 (,)mmxy处处 0mg选权函数选权函数 ()()mmmwxxyy求内积求内积,()()mnmmmnxayalwLxxyyLdxdy220
21、1d d 4()()nmnSmmlxyxxyynS处单位均匀电荷密度处单位均匀电荷密度 (1)n在在 mS处中心点的电位处中心点的电位 ,00()()mmmmxayagw gxxyydxdy0111mg 2201d d 4()()nmnSmmlxyxxyymnmn2220()()mnmnmnblxxyy220012d d ln 124bbnnbbblyxxy 根据根据 mnnnlg1 nmnnlg1Nnnn 散射场取决于物体的散射场取决于物体的形状形状、大小大小和和结构结构，以及入射波的，以及入射波的频率频率、极化极化等等 isEEEisHHH散散射射体体sJsMiE 单单站站散散射射（后后向
22、向散散射射）双双站站散散射射双双站站角角v雷达（散射）截面（雷达（散射）截面（RCS：Radar Cross Section） 假想的面积假想的面积 定量表征目标散射强弱定量表征目标散射强弱222222lim 4lim 4ssRRiiEHRREH目标假定为点散射体，入射波及在雷达处的散射波均具有平面波的性质目标假定为点散射体，入射波及在雷达处的散射波均具有平面波的性质 二维二维 2222lim 2lim 2ssiiEHEH10lgdBsm2m雷达截面是一个标量，单位雷达截面是一个标量，单位 相对于相对于 21m的分贝数的分贝数 二维雷达截面二维雷达截面 的单位为的单位为m或或dBm ( cos
23、sin)iiijk xyzEe二维理想导体柱的二维理想导体柱的TM波散射波散射 sJJz0zJJz(2)0(2)00()( )( )()44sszzzlllHkkEEjJGdljJ ldlJ l HkR dljiizEcell ncell mxyl. .pecnl(,)nnx y()0isnEnEEiszzEE (2)0( )()4izzlkEJ l HkR dl0012037722 ( )( ) ( )( )Rx lx ly ly lMOMMOM步骤求解步骤求解 （1）将边界）将边界L分成分成N个单元，选择脉冲函数作为基函数个单元，选择脉冲函数作为基函数 每个单元长每个单元长 nl围线参变量
24、围线参变量 l1( )( )NznnnJ lj P l1( )0nif lcell nP lotherwise(2)01()4nNiznlnkEjHkR dl （2）选择权函数）选择权函数()mll进行点匹配进行点匹配 第第m m个单元的中点个单元的中点 (2)01()1,2,4nNiznmlnkEjHkRdlmN 22()()mmRxxyy（3）写出矩阵）写出矩阵 1111211212222212( )( )()izNiNziNNNNNzNE lzzzjzzzjE ljzzzE l 阻抗矩阵阻抗矩阵 ( ,1,2,)mnZzm nN表示不同单元间的互阻抗表示不同单元间的互阻抗 (2)0()4
25、nmnmlkzHkRdl第第n n个源对第个源对第m m个场的耦合个场的耦合 (cossin)()iimmjk xyizmE le计算阻抗元素计算阻抗元素每个单元取得足够小每个单元取得足够小 近似近似 (2)0,()4mnmnnmnkmn zzl HkR22()() ,1,2,mnmnmnRxxyym nN,0mnmn R采用采用“渐近展开法渐近展开法”来处理奇异来处理奇异 0mnkR 2(2)240()211()1ln()ln()() () 42222mmmmmmkRkRkRHkRjkRO kR1.781072418取前两项近似取前两项近似 2(2)0022()21ln()ln() 1,1,
26、2,24mmlmmmmlklksHkRdljdsljlmN2ln() 1,1,2,44mmnmmklkzljlmN4）求解。并得到其）求解。并得到其RCS ()(2)402()()j kRHkR RekR 222(cossin )21( , )( )lim24nnsNjk xyTMn ninEkj l eE aInfinite cylinder : TM polarization(EFIE) 0 60 120 180 240 300 360 0 1 2 3 4 5 6 103 Infinte Cylinder Current Density Angle(Degrees) Current Den
27、sity (A/m) MOM result Analysis result 0 60 120 180 240 300 360 Scattered angle(/) Bistatic RCS (dB) RCS of Infinite Cylinder With Diameter of Double Wavelengths 2 4 6 8 10 12 14 16 v矩量法在三维散射问题中的应用矩量法在三维散射问题中的应用 三维问题与二维问题的不同之处三维问题与二维问题的不同之处 未知量的数目大大增加未知量的数目大大增加 直接面对的往往是矢量场直接面对的往往是矢量场 需要处理的是自由空间中的格林函数
28、需要处理的是自由空间中的格林函数 剖分剖分 任何几何模拟方法都存在误差任何几何模拟方法都存在误差 与几何尺度有关，还与照射波的频率有关与几何尺度有关，还与照射波的频率有关 参数二次参数二次曲面曲面 四边形贴片、三角贴片四边形贴片、三角贴片ur12121113212223313233urrrrrrrrXYZOP1P2P3P4P5P6P7P9P81.00.500.51.0(b)xzy123456.154632(a).v三维球散射求解过程三维球散射求解过程频率：频率：3.e8 Hz水平极化水平极化双站双站RCS剖分：剖分：1个波长分个波长分10份份导出数据并处理导出数据并处理020406080100
29、120140160180-40-30-20-100102030RCS(dBsm) MOM 6.28000000000000 (MIE)线天线的辐射线天线的辐射v天线和散射体天线和散射体 天线的激励源在该导体上，而后者的源远离导体天线的激励源在该导体上，而后者的源远离导体 二者的计算步骤是基本相同二者的计算步骤是基本相同 求出天线上的电流分布后，进一步求取天线的辐射场求出天线上的电流分布后，进一步求取天线的辐射场v线天线线天线问题描述问题描述 波克灵顿积分方程波克灵顿积分方程 海伦积分方程海伦积分方程 反应积分方程反应积分方程 利用位函数利用位函数 v细直天线的积分方程（细直天线的积分方程（I）
30、Pocklington积分方程积分方程 JzJJ2a2axyz2l2l 细直天线示意图细直天线示意图完纯导体完纯导体 线长线长L线径线径a：电流仅在它的表面流动电流仅在它的表面流动 a沿导体周界均匀分布沿导体周界均匀分布 szJ天线端面处之天线端面处之 J略之不计略之不计 0J( )2szI zaJzAzAzZzEj Aj Az 00Aj 00zAjz 221zzZAEj Ajz 2222002001()zzzAEk Akjz 0zzVAJ Gdv22201()zzvGEk G J dvjz计算导体表面处的场强计算导体表面处的场强 4jkReGR22()Razz2 2()22( ,)4()jk
31、az zeG z zazz2222021( ,)( )( ,)LLzsG z zEI zk G z zdzjzPocklingtons Equation ( )zsELI z22201GLk G dzjz算子形式算子形式 导体表面处导体表面处 ztEzE边界条件边界条件 0titsEEiszzEE 2222021( ,)( )( ,)LiLzG z zEI zk G z zdzjz 激励激励 3()(1)4jkRGzzejkRzR22222352222255(1)()3(1)44(1)(23)() 44jkRjkRjkRjkRGjkRezzek RjkRzRReejkRRak RzzRR210
32、25222222021( )( ,)41( )(1)(23)4LiLzLjkRLEI z G z z dzjI z eRjkRRak a R dzj 1)用整域基余弦函数展开用整域基余弦函数展开 收敛较快收敛较快 1( )cos(21)()22NnnzLLI zInzL21102( ,)cos(21)4LNiLznnjzEIG z zndzL 2)点匹配点匹配 21102(,)cos(21)4LNiLznmnjzEIG zzndzL 1,2,mN1(1,2,)NimnnzmnZIEmN ZIU2102(,)cos(21)4LLmnmjzZG zzndzL3)写成矩阵形式写成矩阵形式 4)求解求
33、解 v细直线天线积分方程（细直线天线积分方程（II）Hallen方程方程 Pocklington方程的特例方程的特例 仅适用于天线为圆形截面导线的对称振子情况仅适用于天线为圆形截面导线的对称振子情况 ( )izEVz22002( )zzd Ak AjVzdz zA通解通解 2220zzd Ak Adz细天线对称性细天线对称性 kzBAzcos1选zA特解特解 22002( )zzd Ak AjVzdz 利用一维格林函数利用一维格林函数 ( ,)2jk z zjG z zek在辐射条件下的特解为在辐射条件下的特解为 2002jk zzVAe 1200cos2jk zzzzVAAABkze 0(
34、) ( ,)ZAI z G R R dz22)(zzaR1200cos2jk zzzzVAAABkze 221( )cossincos42ljkRleVI zdzk zjk zBkzR0BB00222222( )sincos24jkaz zllej VI zdzk zCkzazz 012VBCHallens Equation MOMMOM法解法解HallenHallens s方程方程 axyzzzr( )I z22( )cossin42ljkRlej VI zdzCkzk zR （a）选基函数）选基函数 从物理概念上可判断出从物理概念上可判断出 ( )I z是近似正弦分布是近似正弦分布 满足满
35、足 2lz 时时 ( )0I z1( )NnnnI zB I22sinzlnIn整域基函数整域基函数 选选N2 算子方程展开为算子方程展开为 22122224sin ( ,)sin ( ,)cossin222llllllj VBzG z z dzBzG z z dzCkzk z 待定系数待定系数 激励激励 ( )I z响应响应 （b）选权函数）选权函数 ()mmWzz点匹配法点匹配法 为确定三个系数，应选为确定三个系数，应选三个观察点三个观察点处作内积处作内积 2L0,8 4mz (c)求内积求内积 zkjVWgmmsin2,12(0),sin02jVgzz22(),sin8221sin()2
36、822jVgzzjVjV 32(),sin422jVjVgzz nmmnLIWl,44441442444444cos(0,)sin2(0,)1011cos(,)sin2(,)88222cos(,)sin2(,)0244k z Gz dzk z Gz dzBjVk z Gz dzk z Gz dzBCjVk z Gz dzk z Gz dz 10 5 0 5 103 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 current distribution(V) unitary distance(wavelength) antenna current distribution plot real current imag current MOM
