1、1第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析2.3 初始条件的确定初始条件的确定0 0 到到状态状态起始条件和初始条件 初始状态初始状态初始条件初始条件（1）起始条件：激励加入前的瞬间，定为 状态，由系统的储能决定，包括 0(0 )r(0 )drdt22(0 )drdt（2）初始条件：激励加入后的瞬间，定为 状态，可能产生跳变，包括 0(0 )r(0 )drdt22(0 )drdt2第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析由微分方程求初始条件 2222( )7( ) 10 ( )( )6( )4 ( )ddddi ti ti te te te tdtdtdtdt当 代人方程得 ( )
2、2 ( )e tU t22( )7( ) 10 ( )2( ) 12 ( )8( )ddi ti ti tttu tdtdt 要使方程成立，必须使两边的 及各阶导数相等，因此有以下关系 ( ) t22( )( )( )( )di tatbtc u tdt ( )( )( )di tatb u tdt ( )( )i ta u t 3第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析前面的系数就是该项的跳变量，代入方程 ( )u t( )(7 )( )(710 )( )2( ) 12 ( )8( )atbatcbau tttu t 2a 2b 2c (0 )(0 )2(0 )(0 )2iiaddii
3、bdtdt 4第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析 代入方程得 (0 )(0 )13(0 )(0 )2rrarrb22( )( )( )( )dr tatbtc u tdt ( )( )( )dr tatc u tdt ( )( )r ta u t 222( )3( )4( )( )ddr tr tr ttdtdt5定义：微分算子定义：微分算子 pdtdp nnndtdp tdpp) (11则微分方程可写成算子方程形式则微分方程可写成算子方程形式)()()()()()()()( 01110111tfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnn)()()()(0
4、1110111tfbpbpbpbtyapapapmmmmnnn简化为简化为2.2 微分方程的算子表示微分方程的算子表示)()()()()()()()( 0111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnn第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析6则有则有pxpxpp11xxddtdxppt1即为微分方程的算子表示形式即为微分方程的算子表示形式)()()()(tfpNtypD1. 算子符号的基本原则算子符号的基本原则若令若令)()()()(01110111bpbpbpbpNapapappDmmmmnnn对算子多项式可以
5、进行因式分解，因式相消要慎重。对算子多项式可以进行因式分解，因式相消要慎重。算子的乘除顺序不能任意颠倒。算子的乘除顺序不能任意颠倒。)()()(1xtxdxddpxpt第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析7等效电容容抗值等效电容容抗值 电感和电容的算子表示电感和电容的算子表示Cp1)()()(tLpitidtdLtuLLL用算子符号表示的阻抗为：用算子符号表示的阻抗为：2. 用算子符号建立微分方程用算子符号建立微分方程等效电感感抗值等效电感感抗值 Lp)(1)(1)(tiCpdiCtuCtCC 这样用算子符号建立电路系统的微分方程，不仅书写这样用算子符号建立电路系统的微分方程，不仅书
6、写简便，而且方程建立起来也容易多了。简便，而且方程建立起来也容易多了。第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析8列写算子形式的列写算子形式的KVL方程方程)()()(1)()(211111tftitiCptpiLtiR例：例：电路如图所示电路如图所示, 求响应求响应i1(t)、i2(t)对激励对激励 f(t)的微分方的微分方程。程。对两式各项左乘以对两式各项左乘以p。整理得。整理得 i1(t) i2(t)0)()(1)()(122222titiCptiRtpiL0)()1()(1)()(1)()1(2222121121tiCpRpLtiCtpftiCtiCpRpL解：解：画出算子形式的画
7、出算子形式的电路如图电路如图第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析9故故)(243212)() 2432() 12( 12 1 1 112 0 1 )()(2322322221tfppppptfppppppppppppptpfti)(24321)(232tfpppti代入已知数据得代入已知数据得同理可得同理可得0)() 12()()()()() 1(221212tipptitpftitipp则则)(21)()(2)(23)()()(21)()()(2)(23)(222223232211212313tftidttdidttiddttidtfdttdfdttfdtidttdidttiddt
8、tid10n阶阶微分方程用算子表示为微分方程用算子表示为)()()()()()()()( 01110111tfbtpfbtfpbtfpbtyatpyatypatypmmmmnnn0111)(apapappDnnn或写成或写成3. 传输算子传输算子)()()()(tfpNtypD)()()()()()(tfpHtfpDpNty即即01110111)()()(apapapbpbpbpbpDpNpHnnnmmmm称为系统或微分方程的特征多项式称为系统或微分方程的特征多项式称为响应称为响应y(t)对激励对激励f(t)的传输算子或转移算子的传输算子或转移算子11)(24321)()(243212)(23
9、22321tfppptitfpppppti243212)()()(23211ppppptftipH24321)()()(2322ppptftipH如如: 对图示电路前面已得到对图示电路前面已得到可见，对同一系统的不同响应，其传输算子是不同的，可见，对同一系统的不同响应，其传输算子是不同的，但其特征多项式却是相同的。即系统特征多项式具有不但其特征多项式却是相同的。即系统特征多项式具有不变性与相同性。变性与相同性。则响应则响应i1(t)， i2(t)对激励对激励f(t)的传输算子为的传输算子为12 从数学上讲，系统的解可以分解为齐次解和特解；从数学上讲，系统的解可以分解为齐次解和特解；齐次解的形式
10、取决于系统本身特性，与激励函数无关，称齐次解的形式取决于系统本身特性，与激励函数无关，称为自由响应，而特解的形式由激励函数决定，称为强迫响为自由响应，而特解的形式由激励函数决定，称为强迫响应。应。 在系统求解中，常将响应分解为零输入响应和零状态在系统求解中，常将响应分解为零输入响应和零状态响应。响应。一、零输入响应与零状态响应的求解一、零输入响应与零状态响应的求解2.3 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 零输入响应：没有外加激励信号的作用，只是由初始零输入响应：没有外加激励信号的作用，只是由初始状态所产生的响应，一般用状态所产生的响应，一般用yx(t)表示。表示。 零状态响应：初始
11、状态为零，由系统的外部激励信号零状态响应：初始状态为零，由系统的外部激励信号所产生的响应，一般用所产生的响应，一般用yf (t)表示。表示。13且且y(0)=3/2，求零输入响应，求零输入响应yx(t)、零状态响应、零状态响应 yf(t)和和全响应全响应 y(t)。例：例：系统的系统的微分方程为微分方程为1)(tyd)0( 121)(3tetyt)0()0( yy)(3)(3)(tUtydttdytAety30)()0( 1)(3tAetyt解：解：先求齐次解先求齐次解由特征方程可知特征根由特征方程可知特征根 = 3，所以，所以特解特解则全响应为则全响应为由奇异函数平衡条件可以判断，由奇异函数
12、平衡条件可以判断，y(t)在起始点无跳变，即在起始点无跳变，即可得可得211)0(yA于是于是14零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应零输入响应零输入响应yx(t)()()(tytytyfx123)(33tteety)0()0(0)(3)(yytydttdyttxeeyty3323)0()(1)(3 tfety故故可解得可解得因此因此自由响应自由响应全响应可分解为全响应可分解为零状态响应零状态响应yf (t)0)0()(3)(3)(ytUtydttdy强迫响应强迫响应15 零输入响应满足齐次微分方程，可通过微分方程的特征零输入响应满足齐次微分方程，可通过微分方程的特征多项式来求得。具体步骤
13、如下：多项式来求得。具体步骤如下： 令特征多项式等于零，求出系统的特征根。令特征多项式等于零，求出系统的特征根。二、零输入响应的算子求解法二、零输入响应的算子求解法 根据特征根写出根据特征根写出 yx(t)的通解表达式。的通解表达式。 根据有关定律，由系统的初始状态求出系统的初始值根据有关定律，由系统的初始状态求出系统的初始值 yx (0+)， y x(0+)， yx(n1)(0+) 。 将已求出的初始值代入将已求出的初始值代入 yx (t)的通解表达式，确定出待的通解表达式，确定出待定系数定系数 。 由由待定系数得到待定系数得到 yx (t)的表达式。必要时，可进一步画的表达式。必要时，可进
14、一步画出出yx(t)的波形。的波形。16例：例：已知系统的传输算子及初始值，求系统的零输入响应已知系统的传输算子及初始值，求系统的零输入响应 y(t)。 ，y(0+)=1， y (0+)=7。故可写出故可写出521)(2pppH解：解：052)(2pppD则系统的零输入响应为则系统的零输入响应为2 j1 , 2 j12 21 1ppttxeAeAty)2j1(2)2j1(1)(21)0(AAyx21)2 j1()2 j1()0(AAyxttxeAeAty)2j1(2)2j1(1)2 j1()2 j1()(=1=72 j21 , 2 j2121AAttxeety)2j1()2j1()2 j21(
15、)2 j21()(解得解得0)2sin42(costttet=p1*=A1*17例：例：已知系统的传输算子及初始值，求系统的零输入响应已知系统的传输算子及初始值，求系统的零输入响应 y(t)。 ，y(0+)=2， y (0+)=3，y (0+)=0。故可写出故可写出2)3(4)(ppppH解：解：0)3()(2pppD则系统的零输入响应为则系统的零输入响应为3 , 03ppp2 21 1ttxteAeAAty33321)(21)0(AAyx323)0(AAyx3269)0(AAyx =2=3=03 ,2 ,4321AAA0324)(33tteetyttx解得解得18例：例：求图示电路中关于电流
16、求图示电路中关于电流i(t)的零输入响应的零输入响应 ix(t)。已知已知i(0)=1A， uC(0)= 7V。 做出算子形式的电路做出算子形式的电路模型如图模型如图65)(2ppppH解：解：)()()65(tftipp据此电路模型可得微分方程据此电路模型可得微分方程为为3 , 22 21 1ppttxeAeAti3221)(065)(2pppD得传输算子为得传输算子为由由得得故通解为故通解为19根据换路定律根据换路定律A1)0()0()0(xxxiii故故于是有于是有21)0(AAix2132)0(AAixttxeAeAti322132)(为了求为了求i (0+)，作出作出t=0+时刻的时
17、刻的等效电路等效电路0)()()(tRidttdiLtuxxCx0 (A) 45)(32teetittx由图得由图得即即0)0()0()0(xxCxRii Lu求得求得A/s2115)7()0()0()0(LRiuixCxx则零输入响应为则零输入响应为23212121AAAA解得解得4 , 521AA20零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应 线性时不变系统满足齐次性与叠加性及微分性质。线性时不变系统满足齐次性与叠加性及微分性质。三、系统响应的线性特性分析三、系统响应的线性特性分析 很明显很明显 y2(t)5y1(t)。这是为什么呢？。这是为什么呢？ 若系统若系统的微分方程为的微分方程为)(
18、)(2)(tftydttdytteety21)(tteety53)(22初始状态初始状态y(0)=2时，系统对激励时，系统对激励f1(t)=et的响应的响应 y1(t)为为若把激励信号乘以若把激励信号乘以5，即，即f2(t)=5et，则可得响应，则可得响应 y2(t)为为)(2)(221ttteeety在在f1(t)=et及及y(0)=2的条件下，系统的条件下，系统的响应可分解为的响应可分解为21零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应 响应的可分解性：响应的可分解性：系统响应可分解为零输入响应和零系统响应可分解为零输入响应和零状态响应。状态响应。 零状态响应线性：当初始状态为零时，系统的零状
19、零状态响应线性：当初始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性，且系统也为时不变系统态响应对于各激励信号呈线性，且系统也为时不变系统。 零输入响应线性：当激励为零时，系统的零输入响应零输入响应线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各初始状态呈线性对于各初始状态呈线性 。 对常系数线性微分方程描述对常系数线性微分方程描述的系统有：的系统有： 可见在初始状态不变的情况下，零状态响应是满足线性可见在初始状态不变的情况下，零状态响应是满足线性特性的。特性的。在在f2(t)=5et及及y(0)=2的条件下，系统的条件下，系统的响应可分解为的响应可分解为)( 52)(222ttteeety22一
20、、冲激响应与阶跃响应的定义一、冲激响应与阶跃响应的定义2.4 系统冲激响应与阶跃响应系统冲激响应与阶跃响应 在单位阶跃信号在单位阶跃信号U(t)激励下系统产生的零状态响应称为激励下系统产生的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。单位阶跃响应，简称阶跃响应。 在单位冲激信号在单位冲激信号 (t)激励下系统产生的零状态响应称为激励下系统产生的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。单位冲激响应，简称冲激响应。由于由于tdtUttUdtd)()( )()(tdhtgthtgdtd)()( )()(则有则有23。中将不包含有，而，将包含有以此类推，应包含有中为与之相匹配，方程右端最高次为时，)(
21、)( )( )()( )()( )( 11tthdtthdtdtthddttddtthddttdmnmnmnmnmnmmnnmm二、冲激响应的求解二、冲激响应的求解)()()()()()()()( 0111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnn1. 利用微分方程求冲激响应利用微分方程求冲激响应n=m时，时，h(t)中将包含有中将包含有 (t)。在在 f(t)= (t)时求得时求得的零状态响应即为的零状态响应即为h(t)。n0时都为零，于是时都为零，于是h(t)的形的形式应与齐次解的形式相同，不包含特解式应与齐次解的形
22、式相同，不包含特解。例：例：系统的微分方程为系统的微分方程为)()()(1tUeAthnitii试求其冲激响应。试求其冲激响应。25故故)()()()(d)(d21221121tAAtUeAeAtthtt解：解：方程的特征根为方程的特征根为则则MLRMLR2 21 1 ,)()()(2121tUeAeAthtt0)()(2)(221122212122AAMLAARLMAAML)(21 ,)(2121MLAMLA)()11(21)(12tUeMLeMLthtt将它们代入微分方程，比较两端奇异函数项的系数得将它们代入微分方程，比较两端奇异函数项的系数得)()()()()()(d)(d2122221
23、12222112221tAAtAAtUeAeAtthtt解得解得26)()( 210111nmmmmppppppbpbpbpb01110111)( apapapbpbpbpbpHnnnmmmmnnppKppKppK2211 2. 利用利用H( p)求冲激响应求冲激响应(1) nm时时其中其中于是可得于是可得 当当 nm时，时，H(p)为真分式为真分式。设。设D(p)=0的根为的根为n个单根，个单根，则可将则可将H(p)展开成部分分式，即展开成部分分式，即), 3 , 2 , 1( )()(nipHppKippii)()()()(2211tppKtppKtppKthnn27先研究式中右端的第先研
24、究式中右端的第i项。令项。令于是于是nitppKthiii , , 3 , 2 , 1 )()(利用配全微分和利用配全微分和 (t)的性质办法，可得的性质办法，可得nitUeKthtpiii , 3, 2, , 1 )()(nitUeKtUeKtUeKtUeKthnitpitpntptpin , 3, 2, , 1 )( )()()()(12121 若若D(p)=0的根中含有的根中含有r重根重根pi ，则，则H(p)的部分分式中将的部分分式中将含有形如含有形如 的项。的项。rippK)()()!1(1tUetrKtpri与之对应的冲激响应形式为与之对应的冲激响应形式为28例：例：已知系统的微分
25、方程为已知系统的微分方程为求系统的冲激响应求系统的冲激响应h(t)。2113)1(1)1(223pppp)2() 1(1323164)(323ppppppH解：解：)()1323164()()2() 1(233tfppptypp(t)21(t)13(t) 1(1(t) 1(2)(23ppppth)()(3)()!12(1)()!13(222tUetUetUtetUettttt21)1()1(213212311pKpKpKpK)()3(22tUeeteettttt故故), 2 , 1( )()()!1(111111ripHppdpdiKppriii29nnmmppKppKppKbpDpNbpH2
26、2110)()()( (2) n=m时时故得单位冲激响应为故得单位冲激响应为在这种情况下，在这种情况下，h(t)中将含有冲激函数中将含有冲激函数 (t)。 当当 n=m时，先将时，先将H(p)用除法化为一个常数项用除法化为一个常数项bm与真分式与真分式之和，再将除后所余的真分式展开成部分分式，即之和，再将除后所余的真分式展开成部分分式，即), 3 , 2 , 1( )()()(1nitUeKtbthnitpimi30例：例：已知系统的传输算子已知系统的传输算子 ，求冲激响，求冲激响应应h(t)。21121pp2354)(22pppppH解：解：(t)21(t)12(t) (t)21121 ()
27、(ppppth)()2()(2tUeettt故故23312354)(222ppppppppH31 先将先将H(p)用除法化为一个多项式与真分式之和，再将所用除法化为一个多项式与真分式之和，再将所余部分展开成部分分式。此时，余部分展开成部分分式。此时，h(t)中除中除 (t)外，还包含有直外，还包含有直到到 (mn)(t)的冲激函数的各阶导数。的冲激函数的各阶导数。)()23343()(235553)( 2223tpppptpppppth)(235553)( 223tpppppth)()2()(4)(32tUeetttt(3) nm时时例：例：求求)()211243(tppp解：解：32例：例：
28、求求图示电路中关于图示电路中关于 u1(t)、u2(t)的冲激响应的冲激响应h1(t)与与h2(t)。解：解：作出算子形式的电路模型作出算子形式的电路模型)()(21)()12(21tftutup0)()2121()(2121tuptu(V) )()sin(cos2)(2tUttetht)V( )( cos2)(1tUtetht按节点法列写按节点法列写KCL方程方程解得解得)(1) 1() 1(2)(22) 1(2)(221tfpptfppptu)(1) 1(11) 1(1 2)(222)(2222tfppptfppptu则则33tdhtg0)( )(三、阶跃响应的求解三、阶跃响应的求解)()
29、()( 1tUBeAtgnitii 阶跃响应阶跃响应 g(t) 的形式与微分方程两端的阶次有关，在的形式与微分方程两端的阶次有关，在nm的情况下，的情况下， g(t)中将不包含冲激函数，而且中将不包含冲激函数，而且 g(t)由自由由自由响应和强迫响应构成，当特征方程有响应和强迫响应构成，当特征方程有n个非重根时，个非重根时， g(t)的的形式为形式为 根据线性系统的积分性，阶跃响应根据线性系统的积分性，阶跃响应g(t)也可通过将也可通过将h(t)进行积分而求得，即进行积分而求得，即其中其中B为常数，可用待定系数法求特解的方法确定，而为常数，可用待定系数法求特解的方法确定，而Ai可以用代入微分方
30、程之后用奇异函数平衡的方法确定，与可以用代入微分方程之后用奇异函数平衡的方法确定，与求求h(t)的方法类似。的方法类似。34 由于零状态响应由于零状态响应 yf (t)用经典分析法计算比较复杂，而用经典分析法计算比较复杂，而h(t)则相对容易，那么就利用信号的分解原理，将激励信则相对容易，那么就利用信号的分解原理，将激励信号分解为冲激信号的组合，然后将这些冲激信号分别通过号分解为冲激信号的组合，然后将这些冲激信号分别通过线性系统，得到各个冲激响应，再利用线性时不变系统的线性系统，得到各个冲激响应，再利用线性时不变系统的性质，将各冲激响应叠加就得到零状态响应。性质，将各冲激响应叠加就得到零状态响
31、应。2.5 卷积积分卷积积分)d()(tf (t ) h(t ) f ( ) (t ) f ( )h(t ) )d()(thf)d()()(tftf35 任意两信号的卷积实质上就是将其中一信号折叠后再任意两信号的卷积实质上就是将其中一信号折叠后再时移与另一信号相乘后再积分的一种复合运算。时移与另一信号相乘后再积分的一种复合运算。一、一、 卷积积分的定义卷积积分的定义 卷积积分限一般表示为卷积积分限一般表示为 ，但对于具体的函数，但对于具体的函数，要根据具体函数的定义区间来选择积分限。要根据具体函数的定义区间来选择积分限。)()()(thtfty上式积分称为上式积分称为f(t)与与h(t)的卷积
32、积分的卷积积分(Convolution)，简称卷，简称卷积。常表示为积。常表示为)d()()(thfty36二、二、 卷积积分上下限的讨论卷积积分上下限的讨论tthfthf0)d()()d()(0)d()()()()(thfthtfty(1) 若若f (t)与与h(t)均为因果信号均为因果信号当当 0时，时，f ( )=0， f ( ) h(t ) = 0；当当(t )t 时时， f ( ) h(t ) = 0；因此因此(2) 若若f (t)为因果信号为因果信号, h(t)为非时限信号为非时限信号, 则积分限为则积分限为(0, )(3) 若若f (t)为非时限信号为非时限信号, h(t)为因果
33、信号为因果信号, 则积分限为则积分限为( , t)d()()()()(thfthtftytthfthtfty)d()()()()(4) 若若f (t)和和h(t)均为非时限信号均为非时限信号, 则积分限为则积分限为( , )37(1) 将函数将函数f (t)与与h(t)中的自变量中的自变量t换为换为 , 从而得到从而得到f ( )与与h( )；这里这里t是一个变量是一个变量, t 0时向右平移时向右平移, t 0时向左平移。时向左平移。(2) 将将h( )沿纵轴对折沿纵轴对折, 得到折叠信号得到折叠信号h( )；(3) 将将h( )沿沿 轴平移轴平移t , 得到得到h(t )；(4) 将将f
34、( )与与h(t )相乘相乘, 得到得到 f ( )h(t )；(5) 求函数求函数 f ( )h(t )的线下面积。的线下面积。根据根据f ( )与与h(t )两函数的公共区域两函数的公共区域, 确定卷积的积分限。确定卷积的积分限。两个函数后的新函数不为零的线下面积即为所求的两个函数后的新函数不为零的线下面积即为所求的卷积卷积积分。积分。38函数非连续为零的取值范围函数非连续为零的取值范围（函数的支撑区）（函数的支撑区）f 1(t)的支撑区：的支撑区：t1 t t2f 2(t)的支撑区：的支撑区：t3 t t4f (t)的支撑区：的支撑区：t5 t t6)(1tf0t2t1t)(2tf0t4
35、t3t)(tf42ttt0t31ttt0t3t43tt21tt1t31tt 42tt f (t)= f 1(t) f 2(t)t5= t1+ t3t6= t2+ t43943()tttt( )f t01t2t第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析43()tttt43()tttt43()tttt43()tttt43()ttttt t1 + t3 时，时，(从从到到t1 + t3积分积分) f (t)=0t1 + t3 t t2 + t3时，从时，从t1 到到 t 积分积分 f (t)不为零不为零t2 + t3 t t1 + t4时，从时，从t1 到到 t2 积分积分 f (t)不为零不为
36、零t1 + t4 t t2 + t4时，从时，从t ( t4 t3)到到 t2 积分积分 f (t)不为零不为零t t2 + t4时，时，(从从t2 到到 +积分积分) f (t)=04043()tttt( )f t01t2t第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析43()tttt43()tttt43()tttt43()tttt43()ttttt t1 + t3 时，时，(从从到到t1 + t3积分积分) f (t)=0t1 + t3 t t2 + t3时，从时，从t1 到到 t 积分积分 f (t)不为零不为零t2 + t3 t t1 + t4时，从时，从t ( t4 t3)到到 t
37、积分积分 f (t)不为零不为零t1 + t4 t t2 + t4时，从时，从t ( t4 t3)到到 t2 积分积分 f (t)不为零不为零t t2 + t4时，时，(从从t2 到到 +积分积分) f (t)=041)30(,2)(,1011)(21 tttftttf0t tf1111 0t tf23230 2f3 230 1f111 t当当t1 021tff 021tftfty当当1t1dtfftyt)()()(21141242tt当当1t2tdtty1121)(当当2t43 tt tf23 tttf23 tt tf23tt tf23 tt tf2tttttttttty其它04222421
38、114124)(2242 若将两个冲激响应分别为若将两个冲激响应分别为h1(t)和和h2(t)的子系统级联，则的子系统级联，则级联系统总的冲激响应为级联系统总的冲激响应为 若将两个冲激响应分别为若将两个冲激响应分别为h1(t)和和h2(t)的子系统并联，则的子系统并联，则并联系统总的冲激响应为并联系统总的冲激响应为)()()()(1221tftftftf1 1交换律交换律 )()()()()()()(3121321tftftftftftftf)()()()()()(321321tftftftftftf线性时不变系统的激励信号与系统冲激响应两者可以互易。线性时不变系统的激励信号与系统冲激响应两者
39、可以互易。即把激励信号即把激励信号f(t)作为另一个系统的冲激响应作为另一个系统的冲激响应h1(t)，而系统的，而系统的冲激响应冲激响应h(t)当作另一个系统的激励当作另一个系统的激励f1(t), 所得响应不变。所得响应不变。)()()(21ththth线性时不变系统对几个相加信号的零状态响应等于这几个信线性时不变系统对几个相加信号的零状态响应等于这几个信号分别通过系统的零状态响应之和。号分别通过系统的零状态响应之和。)()()(21ththth43第二章第二章 连续系统时域分析连续系统时域分析123123( )( )( )( )( )()f tf tf tfff td123( )()()ff
40、df td123( )()()fff tdd123( )( )()ffx f txdx d123( )()()ff tf td123( ) ( )( )f tf tf t44以上性质的充要条件是以上性质的充要条件是 f1( )=0, f2 ( )=0 1.1.积分积分ttdftfdff)()()()(2121)()(21tfdft2.2.微分微分)()()()()()(212121tfdtdtftftfdtdtftfdtd3.3.微积分微积分)()()()()()(212121tfdtddfdftfdtdtftftt)()()(d)(d1111ftffdftt只有只有 f1( )=0时时, 才
41、会有才会有 )()(d)(d111tffdftt45)()()(2121TTtTtTt)()()()()(tfttfnn)()()(TtfTttftdftUtf)()()(5. f (t)与与U(t)的卷积的卷积4. f (t)与与 (t)的的卷积卷积)()()(tfttf)()()(2121TTtfTtTtf0)(dtf0)()()()(00tttdfdtfttUtf0)(tdtf6. f (t)与与 (t)的的卷积卷积)()()()()(tfttfttf推论推论: :推论推论: :)()()(0)(0)(ttftttfnn46因为因为 7.7.时移性时移性)()()(21tytftf)()
42、()(212211TTtyTtfTtf设设)()()()()()(22221111TttfTtfTttfTtf则有则有)()()()()()(22112211TttfTttfTtfTtf)()()()(2121TtTttftf则有则有 )()()(2121TTtyTTtty卷积积分性质的前提是卷积积分必须存在，即必须有卷积积分性质的前提是卷积积分必须存在，即必须有 )()(21tftf47dtfftftf)()()()(21211)1)利用定义计算利用定义计算 解：解：例：例：求图示两函数的卷积积分求图示两函数的卷积积分 ，并画出，并画出y(t)的波形，其中的波形，其中 。)21()()21(
43、1tUetft)()()(21tftftydtUUety)21()21()()21(48当当t 0时，时，故得故得21)21(tdtUUety)21()21()()21(de21)21(121212121eedeedeedetytt212121)21()(21)21(ttteee21210 0 1)(tettyt)()(tUetUt49解：解：) 1()()()()()1(1tUetUetUettfttt2)2)利用性质计算利用性质计算 ) 1()()()()()1(11tUetUetUetftfttt) 1()()()()()1(11tUetUetUetftfttt) 1()() 1(1 )
44、()1 () 1() 1(tUetUetUetUetttt) 1()(tUtU)21(1tG例：例：已知已知 。求。求 f1(t)。) 1(1 )()1 ()()() 1(1tUetUetUetfttt50nTnTttfttfty)()()()()(解：解：nnnTtfnTttf)()()(nTZnnTtt )()(例：例：求图示两函数的卷积积分求图示两函数的卷积积分 ，并画出，并画出y(t)的波形。的波形。)()()(ttftyT T =T51tdxxftftftfty)()()()()(21212 22 22 0)(2ttttdxxft解：解： 因为 ttttttty0 0 , 0)(则
45、例例：求如图所示两门函数的卷积积分 。 )()()(21tftftytttdxxftdxxftdxxftt)()2()()2()()2()2(22252 两宽度为两宽度为 的单位门函数相卷积，得到宽度为的单位门函数相卷积，得到宽度为2 、高度为高度为 的等腰三角形波形。的等腰三角形波形。微分冲激法求卷积的图示微分冲激法求卷积的图示53 由于由于 (t)函数通过线性非时变零状态得到的是单位冲函数通过线性非时变零状态得到的是单位冲激响应激响应h(t)2.6 求系统零状态响应的卷积积分法求系统零状态响应的卷积积分法)d()()d()(thftf积分特性 这样就可以通过单位冲激响应按卷积的方法求得系统
46、这样就可以通过单位冲激响应按卷积的方法求得系统的零状态响应。的零状态响应。)()()()()()(thtftytfttff卷积积分)()(tht时不变特性)()()()( thftf齐次性54解：解：电路的微分方程为：电路的微分方程为：)()()(tftidttdi则冲激响应为：则冲激响应为：)()(tUethtdtUeUUet)()2()()(21dtUUdtUUeeeett)()2()()(2/2/dthfti)()()() 2()( 2)()( 2)() 1(22tUeetUeetittttttttddeeee22/02/图示电路，求零状态响应图示电路，求零状态响应i(t)。已知。已知
47、)2()()(2tUtUetft2 220 )(2)1(2tteeeetttt55解：解：电路的微分方程为电路的微分方程为)()()(22tftudttudCC其算子方程为其算子方程为)(sin)(ttUthtdtUtUt0sin)6()(ddttt0cos)6()(tCdUtfthtftu)( sin)()()()()6()6cos(1 )(cos1 tUttUt)(cos1 )6()(tUttt图所示电路，激励图所示电路，激励 f(t)=U(t) U(t6 )，求零状态响应求零状态响应uC(t)，并画出波形。，并画出波形。 )(11)(2tfptuC则冲激响应为则冲激响应为故零状态响应为故
48、零状态响应为56例：例：图示电路，已知图示电路，已知 i1(0)=2A，i2(0)=0，f (t)=etU(t) A。求关于求关于u(t)的单位冲激响应的单位冲激响应h(t)、零输入响应、零输入响应ux(t)、零状、零状态响应态响应uf (t)和全响应和全响应u(t)。 解：解：)()111(21)() 1(2 )()2()()(22tfpptfpptfpppptpitu)(11)()(21)()111(21)(tpttptppthp)(21)(21)(21tUetttp根据根据VCR关系和分流公式得关系和分流公式得则相应的冲激响应为则相应的冲激响应为57求零输入响应所需的初始值，由磁链守恒定
49、律与求零输入响应所需的初始值，由磁链守恒定律与KCL有有(A) 1)0(2xi)()(tUett)()0()0()()(222txxxxedtdtiidttditu0 (A) )0()(22teeitittxx2)0(1)0(1)0(1)0(11212xxxxiiii0)0()0(12xxii解得解得因为因为D(p)= p+1= 0, 得特征根得特征根a= 1, 则则于是电感电压的零输入响应为于是电感电压的零输入响应为58)()(21)(21)( )(21tUetUetUettUetttt在在f (t)作用下的零状态响应为作用下的零状态响应为)()()(thtftuf)(21)(21)(21)
50、(tUetttUett)()2(21)(21tUettt)()2(21)(21)()(tUetttUettt)(2)(21tUettt)()()(tututufx)()() 1(1)(11)(11)()(2tUtetptptptUetUettt)(21)(21)(21)(21)(tUtetUetUettutttf由于由于全响应全响应59例：例：已知线性时不变系统对激励已知线性时不变系统对激励 f(t)=sint U(t)的零状态响应的零状态响应, 求该系统的单位冲激响应求该系统的单位冲激响应h(t)。解：解：)()(sin)()()(thttUthtftyf)4()(4) 4() 4(41)(
