1、19-1 连续系统状态空间方程建立连续系统状态空间方程建立一、引例一、引例 第九章第九章 状态空间分析法状态空间分析法 )(tRituR t0时，电压时，电压uR和和uL。)(1)(1)()(tuLtuLtiLRdttdiscuc和和i称为称为状态变量状态变量； uR和和uL为系统响应。为系统响应。)(1)(tiCdttduc )()()(tututRituscL（状态方程状态方程）（输出方程输出方程）（状态空间方程）（状态空间方程）2二、几个常用术语：二、几个常用术语：1、状状 态：态：在已知系统激励条件下求解系统所必需具备的最少信在已知系统激励条件下求解系统所必需具备的最少信息。息。2、状
2、态变量：状态变量：状态随时间变化的一组独立完备变量。状态随时间变化的一组独立完备变量。3、状态方程：状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系的微分方程组。的微分方程组。4、输出方程：输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。程组。5、状态向量：状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。由状态变量做分量所构成的向量。6、状态空间：状态空间：状态变量所有取值的集合。状态变量所有取值的集合。7、状态轨迹：状态轨迹：状态在状态空间随时间变化所形成的轨迹。状态在状态空间随时间变化所形成的
3、轨迹。 输出方程：输出方程：( (n nx x1 1) )B Bf f( (t t) )A Ax x( (t t) )( (t t) )x xD Df f( (t t) )C Cx x( (t t) )y y( (t t) )状态方程：状态方程：三、状态空间方程的标准形式：三、状态空间方程的标准形式：( (m mx x1 1) )( (n nx x1 1) )( (n nx xn n) )( (n nx xm m) )( (q qx xn n) )( (q qx xm m) )( (n nx x1 1) )( (m mx x1 1) )( (q qx x1 1) )(1)(1)()(tuLtu
4、Lt iLRdttdisc)(1)(tiCdttduc)(01)()(011)()(tuLtutiCLLRtutiscc )(tRituR)()()(tututRituscL)(10)()(10)()(tututiRRtutuscLR4四、状态空间方程的建立四、状态空间方程的建立B Bf f( (t t) )A Ax x( (t t) )( (t t) )x xD Df f( (t t) )C Cx x( (t t) )y y( (t t) ) 1、已知系统的电路图已知系统的电路图（直接列写法）（直接列写法） 1) 选状态变量：独立、完备选状态变量：独立、完备 一般可选独立电容电压和独立电感电
5、流；一般可选独立电容电压和独立电感电流； 2) 初始方程列写：初始方程列写： 写出独立电容所在节点写出独立电容所在节点KCL方程；方程； 写出独立电感所在回路写出独立电感所在回路KVL方程；方程； 3) 消去非状态变量、整理化简方程为标准型方程：消去非状态变量、整理化简方程为标准型方程：4) 列写输出方程，并整理为标准型方程：列写输出方程，并整理为标准型方程：521222xxdtdx215 . 0 xiidtdxRs 1、 选择选择状态变量状态变量 iL，uc 例例1、图示电路，图示电路， 3、写出写出uL、 iR为响应为响应的输出方程。的输出方程。 2、以以 x1= uc，x2= iL作为状
6、态变作为状态变量列写系统的状态方程；量列写系统的状态方程；62、已知系统模型列写、已知系统模型列写（间接列写法）（间接列写法），写写出出状状态态空空间间方方程程。已已知知：f(t)y(t)(t)y(t)y(t)y 3751) 已知系统微分方程列写状态空间方程。已知系统微分方程列写状态空间方程。)(100573100010tfx x( (t t) )( (t t) )x xx x( (t t) )001y(t)例：例：解：解：yx 1yx2yx 3输出方程输出方程状态方程状态方程选状态变量：选状态变量：721xdtdx2) 已知系统信号流图列写方程。已知系统信号流图列写方程。例例1： 图示系统，
7、图示系统，列写状态方程和输出方程。列写状态方程和输出方程。1x2x3x32xdtdx)(819123213tfxxxdtdx)(4)(10)(21txtxty输出方程输出方程状态方程状态方程状态变量：选积分器的输出。状态变量：选积分器的输出。8例例2：图示系统，图示系统，列写状态方程和输出方程。列写状态方程和输出方程。1x2x3x)(111000000321tfpppx(t)x(t)(t)(t)x x x x( (t t) )f(t)bkkky(t)321输出方程输出方程状态方程状态方程状态变量：积分器输出。状态变量：积分器输出。9状态变量：选积分器输出。状态变量：选积分器输出。12312)(
8、232ssssssH1x2x3x)(100321100010tfx(t)x(t)(t)(t)x xx x( (t t) )121y(t)练习练习1：列写状态方程和输出方程列写状态方程和输出方程，已知系统函数为，已知系统函数为10状态变量：选积分器输出。状态变量：选积分器输出。12312)(232ssssssH3312412sss1x2x3xx x( (t t) )001y(t)(100100220043tfx(t)x(t)(t)(t)x x练习练习2：列写状态方程和输出方程列写状态方程和输出方程，已知系统函数为，已知系统函数为11状态变量：选积分器输出。状态变量：选积分器输出。12312)(2
9、32ssssssH3312413ss1x2x3x)(111300020001tfx(t)x(t)(t)(t)x xx x( (t t) )143y(t)练习练习3：列写状态方程和输出方程列写状态方程和输出方程，已知系统函数为，已知系统函数为12例例3：图示系统，图示系统，列写状态方程和输出方程。列写状态方程和输出方程。1x2xf f( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x32323002x x( (t t) )y y( (t t) )8404输出方程输出方程状态方程状态方程状态变量：积分器输出状态变量：积分器输出131、状状 态：在已知系统激励条件下求解系统所必需具备
10、态：在已知系统激励条件下求解系统所必需具备的最少信息。的最少信息。2、状态变量：状态变量：状态随时间变化的一组独立完备离散变量状态随时间变化的一组独立完备离散变量。3、状态方程：状态方程：描述系统描述系统状态变量状态变量和激励与状态变量一阶和激励与状态变量一阶前向差分关系的差分方程组。前向差分关系的差分方程组。4、输出方程：输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。的代数方程组。5、状态向量：状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。由状态变量做分量所构成的向量。6、状态空间：状态空间：状态变量所有取值的集合。状态变量所有取值的集合。7、状态
11、轨迹：状态轨迹：状态在状态空间随时间变化所形成的轨迹。状态在状态空间随时间变化所形成的轨迹。9-2 离散系统状态空间方程建立离散系统状态空间方程建立14 1) 选状态变量：独立、完备选状态变量：独立、完备 一般可选信号流图中延迟器的输出；一般可选信号流图中延迟器的输出； 2) 列写初始方程，消去非状态变量、整理化列写初始方程，消去非状态变量、整理化简方程为标准型方程：简方程为标准型方程：8 8、离散系统状态空间方程建立离散系统状态空间方程建立B Bf f( (k k) )A AX X( (k k) )1 1) )X X( (k k3) 列写输出方程，并整理为标准型方程：列写输出方程，并整理为标
12、准型方程：D Df f( (k k) )C CX X( (k k) )Y Y( (k k) )15例例1：写写出出状状态态空空间间方方程程。，已已知知：f(k)y(kky)y(ky(k)635)2(713)(600375100010kfx x( (k k) )1 1) )( (k kx xx x( (k k) )375y(k) 3()(1kykx) 2()(2 kykx) 1()(3kykx输出方程输出方程状态方程状态方程选状态变量：选状态变量：练习：练习：写写出出状状态态空空间间方方程程。，) 2(2) 1(9837) 2(615kfkff(k)y(kky)y(ky(k)16状态变量：选延迟
13、器输出状态变量：选延迟器输出321321432132)(zzzzzzzH1x2x3x)(100234100010kfx(t)x(t)1)1)(k(kx xx x( (k k) )123y(k)例例2：列写状态方程和输出方程列写状态方程和输出方程，已知系统函数为，已知系统函数为17例例3：图示系统，图示系统，列写状态方程和输出方程。列写状态方程和输出方程。1x2xf f( (k k) )x x( (k k) )1 1) )( (k kx x300100430001123x x( (k k) )y y( (k k) )202001输出方程输出方程状态方程状态方程状态变量：延迟器输出状态变量：延迟器
14、输出3x18一、一、 连续系统状态空间方程连续系统状态空间方程s域求解域求解9-3 系统状态空间方程变域求解系统状态空间方程变域求解B Bf f( (t t) )A Ax x( (t t) )( (t t) )x xD DF F( (s s) )C CX X( (s s) )Y Y( (s s) )B BF F( (s s) ) )X X( (0 0X X( (s s) )- -)()(ss1、状态方程、状态方程s域求解域求解1ss( ( ) )I IA A 2、输出方程、输出方程s域求解域求解D Df f( (t t) )C Cx x( (t t) )y y( (t t) )F F( (s
15、s) )H H) )X X( (0 0C C- -)()(ssD DB BC CH H)()(ss状态预解矩阵状态预解矩阵) )X X( (0 0( (s s) )X X- -z zi i)(s零零输输入入分分量量：B BF F( (s s) )( (s s) )X Xz zs s)(s零零状状态态分分量量：系统函数矩阵系统函数矩阵) )X X( (0 0C C( (s s) )Y Y- -z zi i)(s零零输输入入响响应应：F F( (s s) )H H( (s s) )Y Yz zs s)(s零零状状态态响响应应：19 1）系统函数矩阵）系统函数矩阵3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵、
16、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵D DB BC CH H)()(ss)()()()()()()()()()(212222111211sHsHsHsHsHsHsHsHsHsqmqqmmH H)()()(sFsYsHjiij意义：意义：第第j个激励单独作用时与所产生的第个激励单独作用时与所产生的第i个响应之间的关系。个响应之间的关系。 系统函数矩阵极点：系统函数矩阵极点：0s 的根I IA A （系统自然频率）（系统自然频率） 系统单位冲激响应：系统单位冲激响应：)()(11D DB BC CH Hh h( (t t) )sLsL20例例1：已知已知状态方程和输出方程为状态方程和输出方程为f f(
17、(t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x11200102) )X X( (0 0- -求求yzi(t) 和和 h(t)。解：解：X X( (t t) )y y( (t t) ) )X X( (0 0C C( (s s) )Y Y- -z zi i)(s零零输输入入响响应应：1ss( ( ) )I IA A1002) 1)(2(1ssss012s02te( (t t) )y yz zi iD DB BC CH H)()(ss) 2/(100) 1/(1ss)(002tUeetth h( (t t) )21例例2：已知矩阵已知矩阵A，求系统自然频率。，求系统自然频率。2120
18、) 1A Ajp,121300010002)2A A320100010)3A A2220sssI IA A(2)(1)(3)0ssssI IA A3, 1, 2321ppp2, 1, 0321ppp(2)(1)0ss ssI IA A22二、二、 离散系统状态空间方程离散系统状态空间方程z域求解域求解1、状态方程、状态方程z域求解域求解 2、输出方程、输出方程z域求解域求解状态预解矩阵状态预解矩阵X X( (0 0) )( (z z) )X Xz zi i)(z零零输输入入分分量量：B BF F( (z z) )( (z z) )X Xz zs s)(1zz零零状状态态分分量量：系统函数矩阵系
19、统函数矩阵X X( (0 0) )C C( (z z) )Y Yz zi i)(z零零输输入入响响应应：F F( (z z) )H H( (z z) )Y Yz zs s)(z零零状状态态响响应应：B Bf f( (k k) )A Ax x( (k k) )1 1) )x x( (k kB BF F( (z z) )X X( (0 0) )X X( (z z) )()(1zzz1zz( (z z) )I IA AD Df f( (k k) )C Cx x( (k k) )y y( (k k) )D DF F( (z z) )C CX X( (z z) )Y Y( (z z) )F F( (z
20、z) )H HX X( (0 0) )C C)()(zzD DB BC Cz zH H1 1- -)()(zz23 1）系统函数矩阵）系统函数矩阵3、系统函数矩阵与单位序列响应矩阵、系统函数矩阵与单位序列响应矩阵D DB BC CH H)()(1zzz)()()()()()()()()()(212222111211zHzHzHzHzHzHzHzHzHzqmqqmmH H)()()(zFzYzHjiij意义：意义：第第j个激励单独作用时与所产生的第个激励单独作用时与所产生的第i个响应之间的关系。个响应之间的关系。 系统函数矩阵极点：系统函数矩阵极点：0z 的根I IA A （系统自然频率）（系统
21、自然频率） 系统单位冲激响应：系统单位冲激响应：)()(111D DB BC CH Hh h( (k k) )zzZzZ24例例1：已知已知状态方程和输出方程为状态方程和输出方程为f f( (k k) )x x( (k k) )1 1) )( (k kx x10561021X X( (0 0) )并并 f(k)=U(k)，求，求yzi(k) 、 yzs(k)和和y(k)。解：解：X(0)X(0)C C(z)(z)Y Yzizi)(z零输入响应：零输入响应：1zz z( ( ) )I IA A5 16(2)(3)zzzzz)(0) 2( 3kUk( (k k) )y yz zi ix x( (k
22、 k) )( (k k) )y y1211F F( (z z) )H H( (z z) )Y Yz zs s)(z零零状状态态响响应应：)-z(z-)z(zzzz21) 3)(2)(1(1)() 3( 5 . 05 . 0) 3( 2) 2( 31kUkkk( (k k) )y yz zs s25例例2：图示系统，求图示系统，求H(z)和和h(k)。1x2x) )f f( () )x x( () )x x( (kkk015 . 0125. 05 . 01解：解：列写状态方程列写状态方程)(1001kf1 11 1x x( (k k) )y y( (k k) )输出方程输出方程D DB BC C
23、z zH H- -1 1)()(zz15 . 0) 1(122zzzzz) 1() 1()()(5 . 0) 1(5 . 0)(kUkkkUkkh h( (k k) )26一、一、 连续系统状态空间方程时域求解连续系统状态空间方程时域求解9-4 系统状态空间方程时域求解系统状态空间方程时域求解B Bf f( (t t) )A Ax x( (t t) )( (t t) )x x1、一阶微分方程、一阶微分方程t域求解域求解 2、状态方程、状态方程t域求解域求解Bf(t)Ax(t)dtdx(t)Bf(t)eAx(t)dtdx(t)eAtAtBf(t)etxedtdAtAt)()dBf(exetxtt
24、AAt0)()0()(Bf(t)exeAtAt*)0(Bf(t)Bf(t)Ax(t)Ax(t)e e(t)(t)x xe eAtAt- -AtAt- -B Bf f( (t t) )* *e e) )x x( (0 0e ex x( (t t) )A At tA At tB BF F( (s s) ) )X X( (0 0X X( (s s) )- -)()(ss)(1sL ( (t t) )e eA At t状态转移矩阵状态转移矩阵27(3)(3) 化化A为对角阵，即：为对角阵，即：3、状态转移矩阵的计算：、状态转移矩阵的计算：11(1)LsA At te e( (t t) )A A I I
25、23112!3!ttt At23At23eAAAeAAAI In00000021A Aneee00000021A At te e则则(4)(4) 化化e eAt t为有限多项式之和为有限多项式之和284、输出方程时域解：、输出方程时域解：零输入响应零输入响应D Df f( (t t) )C Cx x( (t t) )y y( (t t) )B Bf f( (t t) )* *e e) )x x( (0 0e ex x( (t t) )A At tA At tD Df f( (t t) )B Bf f( (t t) )* *C Ce e) )x x( (0 0C Ce ey y( (t t) )
26、A At tA At tD D( (t t) )B B( (t t) )* *C Ce eh h( (t t) )A At tf f( (t t) )* *D D( (t t) ) B B( (t t) )C Ce e) )x x( (0 0C Ce eA At tA At tf f( (t t) )* *h h( (t t) ) )x x( (0 0C Ce eA At tD D( (t t) )B BC Ce eA At t零状态响应零状态响应f f( (t t) )x x( (t t) )( (t t) )x x11200102) )X X( (0 0- -f(t)=U(t)，求求x(t
27、) 。例：例：29二、二、 离散系统状态空间方程时域求解离散系统状态空间方程时域求解 1、状态方程时域求解、状态方程时域求解x x( (0 0) )x x( (k k) )0 0k kB Bf f( (j j) )A Ax x( (0 0) )A Ax x( (k k) )- -j j- -1 1k kk k10kj状态转移矩阵状态转移矩阵B Bf f( (k k) )A Ax x( (k k) )1 1) )x x( (k kB Bf f( (0 0) )A Ax x( (0 0) )x x( (1 1) )B Bf f( (1 1) )A Ax x( (1 1) )x x( (2 2) )
28、B Bf f( (1 1) )A AB Bf f( (0 0) )x x( (0 0) )A A2 2B Bf f( (2 2) )A Ax x( (2 2) )x x( (3 3) )B Bf f( (2 2) )A AB Bf f( (1 1) )B Bf f( (0 0) )A Ax x( (0 0) )A A2 23 3零输入分量零输入分量零状态分量零状态分量B BF F( (z z) )X X( (0 0) )X X( (z z) )()(1zzz( (k k) )A Ak k1( (z z) ) Zf f( (k k) )* *B BA Ax x( (0 0) )A A- -1 1
29、k kk k30(2)(2) 化化A为对角阵，即：为对角阵，即：2、状态转移矩阵的计算：、状态转移矩阵的计算：11(1)Zzzk kA A( (k k) )A A I In00000021A Aknkk00000021k kA A则则(3)(3) 化化Ak为有限多项式之和为有限多项式之和313、输出方程时域解：、输出方程时域解：零输入响应零输入响应D Df f( (k k) )C Cx x( (k k) )y y( (k k) )B Bf f( (k k) )* *A Ax x( (0 0) )A Ax x( (k k) )k kk kD Df f( (k k) )B Bf f( (k k)
30、)* *C CA Ax x( (0 0) )C CA Ay y( (k k) )k kk kD D( (k k) )B B( (k k) )* *C CA Ah h( (k k) )k kf f( (k k) )* *D D( (k k) ) B B( (k k) )C CA Ax x( (0 0) )C CA Ak kk kf f( (k k) )* *h h( (k k) )x x( (0 0) )C CA Ak kD D( (k k) )B BC CA Ak k零状态响应零状态响应f f( (k k) )x x( (k k) )1 1) )( (k kx x11200102x x( (0
31、 0) )f(k)=U(k)，求求x(k) 。例：例：32一、一、 连续系统稳定性分析连续系统稳定性分析9-5 由系统状态空间方程判断系统稳定性由系统状态空间方程判断系统稳定性(1)(1)求多项式求多项式 D(s)=D(s)=s sI I- -A A; ;(2)(2)判断判断D(s)D(s)为霍尔维茨多项式为霍尔维茨多项式; ;(3)(3)排列罗斯阵列排列罗斯阵列; ;1.( )0D ss由的根判定：I IA A（1 1） 全部位于全部位于s s左半平面：左半平面： 系统稳定系统稳定（2 2）含）含j j 轴轴单极点，其余位于单极点，其余位于s s左半平面：左半平面：系统临界稳定系统临界稳定（
32、3 3）含有）含有s s右半平面或右半平面或j j 轴重极点轴重极点： 系统不稳定系统不稳定 2、罗斯（、罗斯（Routh）判断法：）判断法：（4 4）由罗斯准则判断）由罗斯准则判断 D(s)=0D(s)=0根的分布根的分布; ;（5 5）判断系统的稳定性。）判断系统的稳定性。334101010kkA A50kksss445231x2x3x例例2：求求K在何范围系统稳定；在何范围系统稳定； K为为何值系统为临界稳定？并求何值系统为临界稳定？并求h(k).（P361例例9-20)1)3()(2sksssDA A1 13kf f( (t t) )x x( (t t) ) )( (x x011012
33、2KKtK=3，系统为临界稳定，系统为临界稳定)(sin3)(ttUth例例1：求求K在何范围系统稳定。在何范围系统稳定。(p360例例9-19）( )D ssI IA A34(1)(1)求多项式求多项式 D(z)=D(z)=z zI I- -A A; ;(2)(2)判断判断D(1)0,(-1)D(1)0,(-1)n n D(-1)0 D(-1)0(3)(3)排列排列JuryJury阵列阵列; ;的根判定：由0)(.1A A1 1zzD（1 1） 全部位于全部位于z z平面平面 z z 11的范围：的范围： 系统稳定系统稳定（2 2）含）含z z平面平面 z z =1 =1 单极点，其余位于单
34、极点，其余位于 z z 111的极点的极点 或或 z z =1 =1 重极点重极点：系统不稳定系统不稳定 2、朱里（、朱里（Jury）判断法：）判断法：（4 4）由）由juryjury准则判断准则判断 D(z)=0D(z)=0根的分布根的分布; ;（5 5）判断系统的稳定性。）判断系统的稳定性。二、二、 离散系统稳定性分析离散系统稳定性分析351x2x2( )D zzzzK I IA A01k例：例：求求K在何范围系统稳定。在何范围系统稳定。 (p361例例9-21）)()(0100)()(110) 1() 1(212121kfkfkxkxKkxkx练习：练习：求求K在何范围系统稳定。在何范围
35、系统稳定。 (p395习题习题9-24）5 . 021KA) 041(K36本章要点：本章要点： 1、状态空间分析基本概念、状态空间分析基本概念：状态、状态变量、状态、状态变量、状态方状态方程、输出方程程、输出方程、状态空间、状态空间、状态向量、状态轨迹状态向量、状态轨迹； 2、状态空间方程列写、状态空间方程列写：电路图直接列写法、系统模型电路图直接列写法、系统模型间接列写法；间接列写法； 3、状态空间方程的求解、状态空间方程的求解：变变域求解、传输函数矩阵域求解、传输函数矩阵H(s)、H(z)和单位冲激响应矩阵和单位冲激响应矩阵h(t)以及单位响应以及单位响应h(k)的求解、系统稳定性的判断
36、的求解、系统稳定性的判断； 4、状态空间分析法。、状态空间分析法。37 例例1： 图示电路，图示电路， uC(o-)=-2V，i(o-)=1A。利用状态变量法求利用状态变量法求t0时电路响应时电路响应u1(t)和和u2(t)。 )()(5 . 075. 05 . 05 . 0)()(11titudttdidttdu)()(15 . 001)()(121titututu5 . 075. 05 . 05 . 0625. 01)(2sssss) )X X( (0 0C C- -)(21s(s)U(s)U25. 025 . 12)83()21(122sssVtetetetetututttt83sin3
37、22583cos283sin3283cos2)()(222221解：解：38 例例2： 图示电路。利用状态变量法图示电路。利用状态变量法， 求零状态响应求零状态响应h(t)=uc(t).)(10)()(2110)()(tftitudttdidttducc)()(01)(titutuccD DB BC CH H)()(sssssss112121)(21212ssh(t)=uc(t)(tUtet解：解：选选 uc(t)和和i(t)为状态变量为状态变量39例例3： 线性时不变系统的模型如下，且已知：线性时不变系统的模型如下，且已知：f(t)=U(t)，y(o-)=2， y(o-)=1。求全响应求全响应y(t)。)(6)(2)(3)(22tftydttdydttyd解：解：yx 1yx2选状态变量：选状态变量：)(603210tfx x( (t t) )( (t t) )x xx x( (t t) )01y(t)sssss213231)(2B BF F( (s s) ) )X X( (0 0X X( (s s) )- -)()(ss3/ ) 672(23122ssssss03)(tetyt
