1、 第九章 习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 基本概念基本概念 二、多元函数微分法二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用 多元函数微分法多元函数微分法一、一、 基本概念基本概念连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质2. 几个基本概念的关系机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 讨论二重极限yxyxyx00lim解法解法101lim1100 xyyx原式解法解法2 令, xky 01l
2、im0kkxx原式解法解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式时, 下列算法是否正确是否正确?分析分析:yxyxyx00lim解法101lim1100 xyyx解法2 令, xky 01lim0kkxx原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况, 此法排除了沿曲线趋于原点的情况. 时例如xxy21lim2230 xxxx原式此时极限为 1 .第二步 未考虑分母变化的所有情况, , 1,111xyxxy时例如解法3 令,sin,cosryrx0sincossincoslim0rr原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽
3、略了 的任意性,时当4, 0r)sin(2sincossincossincos4rr极限不存在 !由以上分析可见, 三种解法都不对, 因为都不能保证自变量在定义域内以任意方式趋于原点 .特别要注意, 在某些情况下可以利用极坐标求极限, 但要注意在定义域内 r , 的变化应该是任意的. 同时还可看到, 本题极限实际上不存在 .0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 连续;, 0), 0()0 ,(yfxf又因0)0 , 0()0 , 0(yxff所
4、以知在点(0,0) 处连续且偏导数存在 , 但不可微 . 2. 证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 而)0 , 0(f,00时，当yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在点(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 已知求出 的表达式. ),(yxf解法解法1 令,yxu),(vuf)(uvu即)(),(xyxyxf,)0,(xxf) 1(),(yxyxf解法解法2 )()(),(yxyxyxyxyxf)(),(xyxyxf以下与解法1 相同., )(),(22yxyxyxyxf
5、,)0(xxf，）（）（vuyvux2121,则xx )(且,yxv)()()(241241uvuvu机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元函数微分法二、多元函数微分法显示结构隐式结构1. 分析复合结构(画变量关系图)自变量个数 = 变量总个数 方程总个数自变量与因变量由所求对象判定2. 正确使用求导法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”注意正确使用求导符号3. 利用一阶微分形式不变性机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设其中 f 与F分别具,0),(, )(zyxFyxfxz解法解法1 方程两边对 x 求导, 得xzdd)0(23FFfxxzdd1F 23FFfx 1
6、 32FFfx12FFfxffx221FffFxfFx有一阶导数或偏导数, 求fxfxzxyfxdddd132ddddFxzFxyFf fx)dd1 (xy.ddxzxyFdd20dd3xzF(99 考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法解法2 0),(, )(zyxFyxfxz方程两边求微分, 得化简消去 即可得yd.ddxzyF d20d3zFyfxd 0dz)d(dddyxfxxfz 0ddd321zFyFxFxfxfd)(xF d1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. .设),(zyxfu 有二阶连续偏导数, 且,sin2txz , )ln(yxt求.,2yxuxu解解
7、:uzyxtxyxxu1f(3 ftxsin2tx cos2)yxu2 12f(13 ftx cos2) 32f 33f)1cos(2yxtx)cossin2(2yxtxtx 3fyxtx1cos222)( yxxyxt1sin)(yx 1cos tyx 1yx 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 练习题练习题1. 设函数 f 二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数.2yxz),()3()()2()() 1 (222xyxfzxyxfzxyfxz机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 . 设 求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,解答提示解答提示: )() 1 (2xyfxz :
8、 )()2(2xyxfzxyxyfxyz2)(2xyfyz2 fxyxyfxy )1(22222fxy 232fy 2yxz2yxz2 fy2)(22xyfxy 2)1(22xyfxy22第 1 题机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222fxyyxz) (2xy21f 2222fxy : ),()3(2xyxfz 22fxyyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 xvuxuv题2 设求,sin,cosvuzveyvexuuyzxz,zvuyxyxxz得由,sin,cosveyvexuu得由,vuz vveuvexuudsindcosd提示提示:vveuveyuudcosdsind机动 目录
9、 上页 下页 返回 结束 yvuyuvyz利用行列式解出 du, dv ：veveveveveyvexuuuuuuucossinsincoscosdsinddxuyxdd veucosveusin机动 目录 上页 下页 返回 结束 yu代入即得 ;xzxvyxvdddveusinveucosyvxvxu及将代入即得 .yzyvyu及将t dtteyxezxxyx0sin, 2),(zyxfu 有连续的一阶偏导数 , )(xyy 及)(xzz 分别由下两式确定求.ddxu又函数答案答案:321)sin()(1ddfzxzxefxyfxux( 2001考研 ）机动 目录 上页 下页 返回 结束 3
10、. 设三、多元函数微分法的应用三、多元函数微分法的应用1 1.在几何中的在几何中的应用应用求曲线在切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 2. 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 (消元法, 拉格朗日乘数法) 求解最值问题3. 在微分方程变形等中的应用在微分方程变形等中的应用 最小二乘法机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.4.在第一卦限作椭球面1222222czbyax的切平面,使其在三坐标轴上的截距的平方和最小, 并求切点. 解解: 设, 1),(222222czbyaxzyxF切点为),(000zyx
11、M则切平面的法向量为,220ax,220by202czM即zczybyxax2020201220220220czbyax1切平面方程0)(2020zzcz)(2020yyby )(2020 xxax机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(zyxFFFn 问题归结为求222222zcybxas在条件1222222czbyax下的条件极值问题 .设拉格朗日函数222222zcybxaF1222222czbyax)0,0,0(zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为,02xa,02yb02zc令2222xaxaFx022ax0222222byybybFy0222222c
12、zzczcFz1222222czbyaxcbaaaxcbabbycbaccz由实际意义可知cbacccbabbcbaaaM,为所求切点 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点例例5.22yxz求旋转抛物面与平面之间的最短距离.解：解：2261zyxd设为抛物面上任一点， 则 P ),(zyxP22yxz的距离为022zyx问题归结为(min)22(2zyx约束条件:022zyx目标函数:22 zyx作拉氏函数)()22(),(222yxzzyxzyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 到平面)()22(),(222yxzzyxzyxF.81,41,41zyx令22yxz解此方程组得唯
13、一驻点02)22(2yzyxFy0)2)(22(2zyxFz02)22(2xzyxFx由实际意义最小值存在 ,241414161mind647故机动 目录 上页 下页 返回 结束 上求一点 , 使该点处的法线垂直于练习题：练习题：1. 在曲面yxz ,093zyx并写出该法线方程 .提示提示: 设所求点为, ),(000zyx则法线方程为000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx平面0y0 x1000yxz 法线垂直于平面点在曲面上机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 在第一卦限内作椭球面1222222czbyax的切平面使与三坐标面围成的四面体体积最小,并求此体积.
14、提示提示: 设切点为, ),(000zyx) 1(222222czbyaxzyxF用拉格朗日乘数法可求出. ),(000zyx则切平面为所指四面体围体积1202020czzbyyaxx00022261zyxcbaV V 最小等价于 f ( x, y, z ) = x y z 最大, 故取拉格朗日函数 例4 目录 上页 下页 返回 结束 (见例见例4)3. 设),(),(yxyxf均可微, 且在约束条件(x, y) 0下的一个极值点, 0),(,0),()(0000yxfyxfAyx则若, 0),(yxy已知 (x0, y0) 是 f (x, y)下列选项正确的是( ) 0),(,0),()(0000yxfyxfByx则若0),(,0),()(0000yxfyxfCyx则若0),(,0),()(0000yxfyxfDyx则若提示提示: 设),(),(yxyxfF0),(),(yxyxfFxxx0),(),(yxyxfFyyy(), 0),(00yxy,),(),(0000yxyxfyy代入()得),(00yxfxD(2006考研),(),(),(000000yxyxyxfyxy
