1、2.5平稳随机过程相关性分析2.5.1 自相关函数的性质性质 1实平稳过程 X(t)的自相关函数是偶函数，即)()(XXRR同样可得)()(XXCC性质 2平稳过程的均方值就是自相关函数在0时的非负值0)()0(2tXERX性质 3平稳过程 X(t)自相关函数的最大值在0处)()0(XXRR同理可证)()0(XXCC性质 4周期平稳过程 X(t)的自相关函数是周期函数，且与周期平稳过程的周期相同)()(XXRTR注：若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T为过程的周期。性质 5非周期平稳过程 X(t)的自相关函数满足)()0()()(lim22XXXXXXRR
2、mRR从上面的讨论看出，对于一个平稳随机过程， 自相关函数是它的最重要的数字特征，由它可得到其它的数字特征：数学期望)(XXRm均方值)0()(2XRtXE方差)()0(2XXXRR协方差)()()(XXXRRC例：已知非周期平稳随机过程 X(t)的自相关函数为251436)(XR求：X(t)的均值和方差。2.5.2相关系数和相关时间1. 相关系数相关系数实际上是对平稳随机过程的协方差函数作归一化处理，即)()0()()()()(2XXXXXXXRRRRCr)(Xr有时也叫归一化自相关函数。显然，)(Xr具有与)(XC相同的性质，且有1)0()(1)()0()()0()0(2XXXXXXXXC
3、rRRRRr)(Xr可能为正值、零、负值。)(Xr为正值，表示正相关；负值表示负相关；0)(Xr表示不相关；1)(Xr表示完全相关。2. 相关时间定义 1：经常取，满足05. 0)(0Xr时的作为相关时间0。定义 2：将)(Xr曲线在), 0之间的面积等效成)0(0Xr的矩形，也就是有drX00)(相关时间0越小，就意味着相关系数)(Xr随增加而降落得越快，这表明随机过程随时间变化越剧烈。反之，0越大，则表明随机过程随时间变化越缓慢。2.5.3互相关函数性质联合宽平稳随机过程的互相关函数具有如下性质：性质 1：)()(YXXYRR，互相关函数是非奇非偶函数。同理可证)()(YXXYCC性质 2：)0()0()(2YXXYRRR同理可证222)0()0()(YXYXXYCCC证明：由柯西许瓦兹不等式可证：对于两个随机变量 V、W，若,22WEVE存在，则有)(222WEVEVWE性质 3：)0()0(21)(YXXYRRR同理可证21)0()0(21)(22YXYXXYCCC作业题：书 90 页 2.11
