1、异面直线所成的角异面直线所成的角付素茹付素茹 2006.2.23复习：异面直线的定义及其含义是什么？复习：异面直线的定义及其含义是什么？等角定理及其推论？等角定理及其推论？如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点.bab a o作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取有关吗?根据空间等角定理的推论,作异面直线a和b所成的角时,与点o的选取无关引例:如何定量研究两条异面直线所成的角?bab a obab a o定义定义直线直线a,b是异面直线是异面直线,经过空间任意一点经过空间任意一点o,作直线作直线a ，b ,使
2、使a /a,b /b,把把a 和和b 所成的锐角或直角记作异面直线所成的锐角或直角记作异面直线a和和b所成的角所成的角异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是(0,90定义定义:如果两条异面直线所成的角是直角如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直就说这两条异面直线互相垂直.异面直线异面直线a与与b互相垂直互相垂直 记作记作a b baa思考：空间思考：空间两直线垂直两直线垂直有几种情况有几种情况?相交相交垂直垂直异面异面垂直垂直1.求异面直线求异面直线BA与与CC所成的角的大小；所成的角的大小；2.求异面直线求异面直线AD与与AC所成的角的大小；所成的角的大小；3.求异
3、面直线求异面直线AD与与BC所成的角的大小；所成的角的大小；4.求异面直线求异面直线BP与与CQ所成的角的余弦值；所成的角的余弦值；ABCDA BCD例1.设正方体的棱设正方体的棱长为长为a，P,Q为为AB 和和BC的中点，的中点，求：正方体的棱长为正方体的棱长为a，P,Q为为AB和和BC的的中点中点.ABCDA BC D PQM(4)求异面直线求异面直线BP与与CQ所成所成的角的余弦值的角的余弦值(4)解:取DC的中点的中点M,（作出）（作出）连结连结 MC,MQ,PMABCDA BC D PQM所以所以 CM和和CQ 所成的锐角（或直角所成的锐角（或直角)是异面直线是异面直线BP和和CQ
4、所成的角所成的角.(指出指出)由PB MC，四边形PMCB为平行四边形/=所以PM BC，BC BC所以四边形PMCB为平行四边形/=/=所以证所以证得得 CM BP（证明）（证明）/=（答）在在MCQ中由余弦中由余弦 定理得定理得 COSMCQ=222552()()()22255222aaaaa45所以异面直线所以异面直线BP和和CQ所成的角为所成的角为arc cos45MABCDA BC D PQMQ=222()()222aaaRtMCQ，（计算）RtMCC和 Rt QCC中,CM=CQ=225()22aaa例例2.空间四边形空间四边形ABCD中，对角线中，对角线AC=10,BD=6.点点
5、M,N分别为分别为AB,CD的中点，且的中点，且MN=7.求异面直线求异面直线AC和和BD所成的角的大小。所成的角的大小。KABCDMN 取取AD的中点的中点K，连结连结MK，NK（作出（作出）解：解：有有NK=AC=5,MK=BD=3，在在MNK中中,MN=7KABCDMN所以所以NK 和和MK 所成的锐角（或直角所成的锐角（或直角)是异面直线是异面直线AC和和BD所成的角所成的角.(指出指出)NK/AC,MK/BD (证明证明)NK=AC,MK=BD则则ABCDMNK所以异面直线所以异面直线AC和和BD所成的角为所成的角为60（答）或：或：由余弦定理由余弦定理,得得:COS MKN=-MK
6、N=120，因为，因为0 90，所以=60 2223572 3 5 由余弦定理由余弦定理,得得:COS =|COS MKN|=|=（计算）所以所以=60，(0 90)2223572 3 5 小结：小结：1.求异面直线的步骤：求异面直线的步骤：一作，二证，三指一作，二证，三指,四计算四计算,五答五答 在空间内找到一个恰当的点在空间内找到一个恰当的点O,通过通过平移直线平移直线,作出作出异面直线所成的角异面直线所成的角把空间把空间异面直线异面直线所成的角，转化为所成的角，转化为 平面内平面内相交直线所成的相交直线所成的锐角或直角锐角或直角2.关键：关键：3.解解 RtRt或斜三角形或斜三角形,用余
7、弦定理求角时用余弦定理求角时,注意注意异面直线异面直线所成的角范围是所成的角范围是(0,0,90 90 小结：小结：三种平移方法三种平移方法:1.直接直接平移法平移法2.中位线平移法中位线平移法平移一条直线平移一条直线平移二条直线平移二条直线在已一个相同的几何体在已一个相同的几何体,以便以便找出平行线找出平行线例如长方体的棱平行,或找平行的平面 平行线3.补形平移法补形平移法平移时平移时,一般在某个平面内进行一般在某个平面内进行,这个平面的具有以下特点这个平面的具有以下特点:1.该平面包含包含其中一条异面直线2.该平面与另一条异面直线相交相交3.经常利用中点 中位线或经常利用比例平行线或用平行
8、四边形或用平行四边形平行线四面体四面体ABCD的棱的棱长均为长均为a,E，F分别分别为棱为棱BC，AD的中点，的中点，（1）求异面直线）求异面直线CF和和BD所成的角的余所成的角的余弦值。弦值。（2）求）求CF与与DE所所成的角。成的角。思考题ABCDEFPQABCDEFM2)求求CF与与DE所成的角所成的角方法方法1 1延长延长AC到到M，使使CM=AC，连结连结EM则则DM/CF则DE与DM所成的锐角或直角是异面直线DE与CF所成所成的角的角ABCDEGF2）求）求CF与与DE所成的角。所成的角。方法2则FG与FC所成的锐角或直角是异面直线DE与CF所成所成的角的角FG/DE，ABCDFN
9、E（2）求）求CF与与DE所成的角所成的角方法3则DE与EN所成的锐角或直角是异面 直线DE与CF 所成的角所成的角EN/CFABCDEFK（2）求）求CF与与DE所成的角所成的角方法方法4 4延长延长BD到到K，使，使DK=BD，连结连结CK，FK，则则CK/DE则CK与CF所成的锐角或直角是异面直线DE与CF所成的角所成的角 小结：小结：三种平移方法三种平移方法:1.直接直接平移法平移法3.补形平移法补形平移法2.中位线平移法中位线平移法平移一条直线平移一条直线平移二条直线平移二条直线其他方法其他方法如三垂线定理,由线面垂直推线线垂直,由面面垂直推推线线垂直,例如长方体的棱平行,或找平行的平面 平行线在已知图形外在已知图形外,补作一个相同补作一个相同的几何体的几何体,以便找出平行线以便找出平行线 谢谢 谢谢 各各 位位
