1、2.6平稳随机过程的功率谱密度平稳随机过程的功率谱密度2.6.1 确知信号的频谱和能量谱密度确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。傅立叶积分。设信号设信号 s(t)为时间为时间 t 的非周期实函数，满足如下条件：的非周期实函数，满足如下条件：1）dtts )(，即，即 s(t)绝对可积；绝对可积；2）s(t)在在),(内只有有限个第一类间断点和有限个极值点，内只有有限个第一类间断点和有限个极值点，那么，那么，s(t)的傅立叶变换存在，为的傅立叶变换存在，为dtetsS
2、tj)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。又称为频谱密度，也简称为频谱。信号信号 s(t)可以用频谱表示为可以用频谱表示为deStstj)(21)(信号信号 s(t)的总能量为的总能量为dttsE)(2根据帕塞瓦尔定理根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即能量。即dSdttsE22)(21)(其中，其中，2)(S称为称为 s(t)的能量谱密度（能谱密度的能量谱密度（能谱密度） 。能谱密度存在的条件是能谱密度存在的条件是dtts)(2即总能量有限，所以即总能量有限，所以 s(t)也称为有限能量信号。也称为有限能量信
3、号。2.6.2 随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。经推导可得，经推导可得，)(21lim)(2TTXXETS为随机过程为随机过程 X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。功率谱密度是从频率角度描述随机过程功率谱密度是从频率角度描述随机过程 X(t)的统计特性的最主要的数字特的统计特性的最主要的数字特征。征。可得随机过程的平均功率为可得随机过程的平均功率为dSPXX)(21对于平稳随机过程，其平均功率为对于平稳随机过程，其平均功率为dStXEX)(
4、21)(2若若 X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim)(eXTSTTX2.6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对， 即维纳辛钦即维纳辛钦定理：定理：deSRdeRSjXXjXX)(21)()()(它成立的条件是它成立的条件是)()(XXRS和绝对可积，即绝对可积，即dSdRXX)()(当当0时，可得时，可得dStXERXX)(21)()0(2可知，可知，)()0(2
5、tXERX是平稳随机过程是平稳随机过程 X(t)的平均功率。的平均功率。2.6.4 功率谱密度的性质功率谱密度的性质性质性质 1：)(XS是非负实函数，即是非负实函数，即0)(XS。性 质性 质 2 ： 若： 若 X(t) 是 实 平 稳 随 机 过 程 ，是 实 平 稳 随 机 过 程 ，)(XS是 偶 函 数 ， 即是 偶 函 数 ， 即)()(XXSS。对于实平稳随机过程，利用其自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质对于实平稳随机过程，利用其自相关函数和功率谱密度皆为偶函数的性质，又可将维纳辛钦定理表示成：又可将维纳辛钦定理表示成：00cos)(1)(cos)(2)(dSRdRSXXXX
6、也可以利用只有正频率部分的单边功率谱也可以利用只有正频率部分的单边功率谱)(XG：00cos)(21)(cos)(4)(dGRdRGXXXX其中其中0,00,)(2)(XXSG例题：书例题：书 71 页例页例 2.3.1,2.3.2,2.3.32.6.5 联合平稳随机过程的互功率谱密度联合平稳随机过程的互功率谱密度类似上述的定义，联合平稳随机过程类似上述的定义，联合平稳随机过程 X(t)和和 Y(t)的互谱密度定义为：的互谱密度定义为：)()(21lim)(*TTTXYYXETS)()(21lim)(*TTTYXXYETS对两个联合平稳随机过程对两个联合平稳随机过程 X(t)和和 Y(t)的互
7、相关函数求傅立叶变换的互相关函数求傅立叶变换，可得它们可得它们的互功率谱密度，简称互谱密度。的互功率谱密度，简称互谱密度。互谱密度与互相关函数之间也存在傅立叶变换关系：互谱密度与互相关函数之间也存在傅立叶变换关系：deSRdeRSjXYXYjXYXY)(21)()()(deSRdeRSjYXYXjYXYX)(21)()()(对于实随机过程对于实随机过程 X(t)、Y(t)的互谱密度有以下性质：的互谱密度有以下性质：1）)()()()(*XYYXYXXYSSSS2）互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。）互谱密度的实部是偶函数，虚部是奇函数。)(Im)(Im)(Im)(Im)(Re)(Re)(Re)(ReXYYXYXXYXYYXYXXYSSSSSSSS3）如果）如果 X(t),Y(t)互相正交，互谱密度为零。互相正交，互谱密度为零。4）若）若 X(t),Y(t)是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有是互不相关的两个随机过程，且数学期望不为零，则有)(2)()(YXYXXYmmSS5）互谱密度的幅度平方满足）互谱密度的幅度平方满足)()()(2YXXYSSS作业题：书作业题：书 91 页页 2.14
