1、 随随机机量量变变其其及及分分布布 为更好地揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律, 有必要引入随机变量来描述随机试验的不同结果.在许多随机现象中，随机试验的可能结果即样本空间中的基本事件与数值之间有某种直接的联系。例 1).掷一粒骰子出现的点数; 2).n次射击中命中目标的次数; 2.1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数设 是试验E的样本空间, 若则称 X ( ) 为 上的 随机变量r.v.一般用大写字母 X, Y , Z , 或小写希腊字母 , , 表示.)(X实数定义定义随机变量 ( random variable )按一定法则简记 r.v. X .例例 电脑寿命可用一个连
2、续变量 T 来描述.例例 检测一件产品可能出现的两个结果 , 也可以用一个离散变量来描述正品次品,0, 1)(X 3).接连不断的射击,首次命中目标所 需的射击次数; 4).某天9:00 10:00 接到电话次数.随机变量随机变量 是R上的映射, 此映射具有如下特点 定义域定义域 事件域 随机性随机性 r.v. X 为样本空间 上定义的单值实函数,其取值将随试验结果的不同而不同,故X具有随机性; 概率特性概率特性 由于各试验结果的出现具有由于各试验结果的出现具有一定的概率一定的概率( (即即X 以一定的概率取某个值).可根据随机事件定r.v.,设 A 为随机事件, 则称AAXA, 0, 1为事
3、件A 的示性变量.在同一个样本空间可以同时定义多r.v.,例如 = 儿童的发育情况 X() 身高,Y() 体重,Z() 头围. 对于r.v.X,我们感兴趣的是它的可能取值及取值的概率.所以定义随机变量时,不一定要知道的具体样本空间.如设r.v.X 表示首次命中目标所需的射击次数,则X的可能取值为:1,2,3,n, r.v.X不必是单射.如设X为n次射击击中的次数. 当n=2时, 有),1 , 1 (),0 , 1 (),1 , 0(),0 , 0(4321X10213142 引入r.v.X后, 可用r.v.X的等式或不等式表达随机事件,例如,设X表示某天9:00 10:00接到电话次数,则)1
4、00(X 表示 “某天9:00 10:00 接到电话次数超过100次” 这一事件X表示n次射击击中目标的次数,则有A=n次射击恰好击中目标k次 =X=k离散型离散型非离散型非离散型r.v. 分类分类 其中一种重要的类型为 连续性连续性 r.v.引入引入 r.v.重要意义重要意义 任何随机现象可任何随机现象可 被被 r.v.描述描述 借助微积分方法借助微积分方法 将讨论进行到底将讨论进行到底为 X 的分布函数. 设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数xxXPxF),()(随机变量的分布函数随机变量的分布函数定义定义)()(aFbF（ab （)(bXaP)(aXP)(bXP用分布函数计算
5、X 落在( a ,b 里的概率：分布函数的性质分布函数的性质q F ( x ) 单调不减，即)()(,2121xFxFxxq 1)(0 xF且0)(lim, 1)(limxFxFxxq F ( x ) 右连续，即)()(lim)0(0 xFtFxFxt)()()(aFbFbXaP)(1)(1)(aFaXPaXP) 0()()(aFaFaXP)0()(aFbF)()0(aFbF)0()0(aFbF)(bXaP)(bXaP)(bXaP请请填填空空用分布函数表示概率用分布函数表示概率)(xF2/ 103/ 1xx00 x2/ 11x设 r.v. X 的分布函数：计算) 0(XP) 4/ 1(XP)
6、4/ 1(XP) 3/ 10 (XP) 3/ 10 (XP例例1 1解解) 00 () 0 () 0(FFXP; 3/ 103/ 1; 012/712/7) 04/ 1 () 4/ 1 () 4/ 1(FFXP) 4/ 1() 4/ 1() 4/ 1(XPXPXP;12/5) 4/ 1 (1) 4/ 1(FXP; 3/ 1) 0 () 3/ 1 () 3/ 10 (FFXP) 3/ 10 () 0() 3/ 10 (XPXPXP. 3/23/ 13/ 12.2离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布定义定义 若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个, 则称 X 为离散型随机变量描
7、述X 的概率特性常用概率分布或分布律, 2 , 1,)(kpxXPkkX kxxx21P kppp21或离散随机变量及分布律即分布律的性质分布律的性质q , 2 , 1, 0kpk非负性q 11kkp归一性X 或kxxx21kppp21 F( x) 是分段阶梯函数, 在 X 的可能取值 xk 处发生间断, 间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk .离散随机变量及分布函数)()()(1kkkkxFxFxXPp) )()()(xxkkxXPxXPxFxxkxxkkkpxXP)(其中 . kkxx13 , 2 , 1 , 0),1 ()(kppkXPk解解,) 4(4pXP 例例2 2 设
8、汽车在开往甲地途中需经 过 4 盏信号灯, 每盏信号灯独立地 以概率 p 允许汽车通过. 出发地出发地甲地甲地首次停下时已通过的信号灯盏数, 求 X 的概率分布与 p = 0.4 时的分布函数.令 X 表示01234xx,84. 024. 06 . 021 x, 6 . 010 x, 00 x,936. 0096. 084. 032 x,9744. 00384. 0936. 043 x14x)(xFkpk 0 1 2 3 40.6 0.24 0.0960.0384 0.0256代入4 . 0p )(xXP| 01234xF( x)oo1ooo用分布律或分布函数来计算事件的概率用分布律或分布函数
9、来计算事件的概率例例3 3 在上例中, 分别用分布律与分布函数计 算. )31 ( XP解解) 31 (XP) 3() 2() 1(XPXPXP3744. 0)4 . 04 . 04 . 0(6 . 032或) 31 ( XP6 . 09744. 0) 01 () 3(FF此式应理解为极限)(lim1xFx例例4 4 一批零件中有9只正品,3只次品,现从中任取一只,且每次取出的次品不再放回,求在取得正品以前已取出的次品数X的分布函数.并求PX1,P0X 3.解.X的可能取值为0,1,2,3.4491112931431290XpXp220191011129123322091011129232Xp
10、Xp从而, X的分布函数为3,132,2202192,1,222110,430,0)(xxxxxxF41431) 0 () 3 (0 3 30221) 1 (1 11 1FFXpXpXpFXpXp例例5 某射手每次射击的命中率为p,现对目标进行连续射击，直到击中为止。设X为该射手命中目标时的射击次数，求X的分布律和分布函数。11 (1),(1,2,.;1).kkP Xkpp qp kqp 故X的分布列1, 2 , 3,P前k-1次未命中目标,第k次才命中目标P Xk解. X的可能取值为： 1. 3.24所以，X的分布函数为.,1,1).1(.1.32,12121 ,11,0112kxkqqqp
11、pqpqpkXPXPxqpqpXPXPxpXPxxXPkkkF(x)|在一系列伯努利试验中,直到事件A首次发生为止.记X是首次发生事件A的试验次数,则X的取值为1 , 2 , 3 , 且分布律为1 (1),1,2,3,kkpP Xkppk我们称随机变量服从几何分布几何分布例例6 6 一门大炮对目标进行轰击,假定此目标必须被击中r 次才能被摧毁. 若每次击中目标的概率为p (0 p 1), 且各次轰击相互独立,一次次地轰击直到摧毁目标为止.求所需轰击次数 X 的概率分布.解解P(X = k) = P(前 k 1次击中 r 1次， 第 k 次击中目标)pppCrkrrk)1 (111rkrrkpp
12、C)1 (11, 1, rrk帕斯卡分 布注1)1 (11rkrkrrkppC利用幂级数在收敛域内可逐项求导的性质xxkk1111222)1 (1) 1(xxkkk1|x当333)1 (2)2)(1(xxkkkk33321)1 (1xxCkkkrrkrkrkxxC)1 (111归纳地令px1rrrkrkrkpppC1)1 (1 (1)1 (111)1 (11rkrkrrkppC(1) 0 1 分布分布1, 0,)1 ()(1kppkXPkk是否超标等等. 常见离散常见离散r.v.的分布的分布凡试验只有两个结果, 常用0 1分布描述, 如产品是否合格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗X =
13、xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1应用场合或(2) 二项分布二项分布n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若nkppCkXPkPknkknn, 1 , 0,)1 ()()(则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作),(pnBX01 分布是 n = 1 的二项分布二项分布的取值情况二项分布的取值情况设), 8(31BX.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4 5 6 7 8 8 , 1 , 0,)1 ()()()(8313188kCkXPkPkkk
14、0.273由图表可见 , 当 时，32或k分布取得最大值273. 0)3()2(88 PP此时的 称为最可能成功次数kxP01234567824680.050.10.150.20.25设)2 . 0 ,20( BX.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由图表可见 , 当 时，4k分布取得最大值22. 0)4(20P0.22 51015200.050.10.150.2二项分布中最可能出现次数的定义与推导二项分布中最可能出现次数的定义与推导可取的一切
15、值若XjjXPkXP),()(则称 为最可能出现的次数knkppCkXPpknkknk, 1 , 0,)1 ()(记1) 1()1 (1knpkpppkk1)() 1)(1 (1knpkpppkkpnkpn) 1(1) 1( 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p 1 处的概率取得最大值对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称 当( n + 1) p 整数时, 在 k = ( n + 1) p 处的概率取得最大值例例7 7 独立射击5000次, 命中率为0.001,解解
16、 (1) k = ( n + 1)p 49955550005000)999. 0()001. 0()5(CP1756. 0= ( 5000+ 1)0.001 =5求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；(2) 命中次数不少于1 次的概率. (2) 令X 表示命中次数,则 X B(5000,0.001)(1) 1(1) 1(0)PXPXPX 00500050001(0.001) (0.999)C .9934. 0 小概率事件虽不易发生，但重小概率事件虽不易发生，但重 复次数多了，就成大概率事件复次数多了，就成大概率事件.本例本例启示启示解解 令X 表示命中次数, 则 5 np令.9933. 01
17、) 1(5eXP 此结果也可直接查 P.269 附表2 泊松 分布表得到，它与用二项分布算得的结果 0.9934仅相差万万分之一.利用利用Poisson定理再求例例5 (2) X B( 5000,0.001 )由此可见日常生活中“提高警惕, 防火由于时间无限, 自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的 同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而防盗”的重要性.事，不用奇怪，不用惊慌. 跳楼自杀.解解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台设备中发生故障的台数，则 X B( 90, 0.01)
18、设同类型设备90台，每台工作相互独立， 每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常 情况下，一台设备发生故障可由一个人独立 维修，每人同时也只能维修一台设备.(1) 问至少要配备多少维修工人，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负 责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？例例890190)99. 0()01. 0()(NkkNkkCNXP令9 .001.090则9019 . 0!9 . 0)(NkkkeNXP919 . 019 . 0!9 . 0!9 . 0kkNkkkeke19 . 0!9 . 0Nkkke01. 0
19、查附表2得 N = 4(2)三个人共同负责90台设备发生故障不能 及时维修的概率为9049 . 0!9 . 0)3(kkkeXP919 . 049 . 0!9 . 0!9 . 0kkkkkeke49 . 0!9 . 0kkke013459.0设30台设备中发生故障的台数为 Y B ( 30,0.01)设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的 30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai 则23 .0!3 .0)2()(kkikeYPAP0369.03 , 2 , 1i三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时维修为事件321AAA31321)(1iiAPAAAP1067. 0)0369.
20、01 (13013459.0故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！在Poisson 定理中，0!kek1! 3! 21!3200eeekekekkkk由此产生了一种离散型随机变量的概率分布 Poisson 分布(3) Poisson 分布分布若, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPk其中0是常数，则称 X 服从参数为Poisson 分布。.或)(X)(P记作若r.v.X的分布列为在某个时段内：大卖场的顾客数；某地区拨错号的电话呼唤次数；市级医院急诊病人数；某地区发生的交通事故的次数.一个容器中的细菌数;一本书一页中的印刷错误数；一匹布上的疵点个数；应用场合放射性物质发出的 粒子数；
21、都可以看作是源源不断出现的随机质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为 Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质点数 Xt P ( t )。例例9 9 设一只昆虫所生虫卵数为随机变量 X , 设各个虫卵是否能发育成幼虫是相互独立的. 已知X P()，且每个虫卵发育成幼虫的概率为 p. 求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.解解 昆虫X 个虫卵Y 个幼虫已知, 2 , 1 , 0,!)(kkekXPkkmppCkXmYPmkmmk, 2 , 1 , 0,)1 ()(, 2 , 1 , 0, )()(mkXmYmklklXkX,)()(由全概率公式)()()(kXmYPkX
22、PmYPmkmkmmkmkkppCke)1 (!mkmkmkmpmkmpe)1 ()!(!)(sssmsmkpsmpe)1 (!)(0令)1 (!)(pmempe,!)(mpemp, 2 , 1 , 0m)(pPY故（4）超几何分布 H(n;N,M)若随机变量X的分布列为),min(, 1 , 0,nMkCCCkXPnNknMNkM则称X服从超几何分布，记为XH(n;N,M).应用场合：在产品抽样中，无放回取样产品中所含次品数服从超几何分布，而放回抽样产品中的次品数服从二项分布。nknNknMNkMCCC0的两边二项展示中 的系数相等可得)(Nnxn利用等式NMNMxxx)1 ()1 ()1
23、(定理2.1 对确定的n, k，若,limpNMN则knkknnNknMNkMNppCCCC)1 (lim 结结 论论超几何分布的极限分布是二项分布二项分布的极限分布是 Poisson 分布 从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球, 其中恰有k 个白球的概率为pbaaba,当时，knkkbanbaknbkappCCCC)1 (对每个 n 有nbaknbkaCCC/例10（p44,例2.4)用某仪器检验电子元件,若元件是正品,经检验也是正品的概率为0.99;若是次品,经检验也是次品的概率为0.95。当某批元件出厂时，只随机抽验两只，若两只都是正品，则可出厂。现送来50只元件，
24、其中有四只次品，求这50只元件能出厂的概率。解.令A= 元件为正品， B=元件经检验为正品，则有 P(B|A)=0.99, P( )=0.95, AB |92. 0)(,08. 0504)(05. 0)|(1)|(APAPABPABP由全概率公式知)()|()()|()(APABPAPABPBPp9148. 008. 005. 092. 099. 0则所求概率为 P该批元件能出厂8369.0)9148.0()1 (20222ppC例例11 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装解解 设每箱至少应装100 +
25、n 个, 每箱的不合格品个数为X , 则X B ( 100 + n , 0.03 )由题意 9 . 0)()(0100kPnXPnkn3(100+n)0.03=3+0.03n取 = 3多少个产品？1 . 0!331eknkk查Poisson分布表, =3得 n +1 = 6 , n = 5故每箱至少应装105个产品,才能符合要求. .应用Poisson定理9 . 0!31!3)(31300100ekekkPnkknkknkn 自动生产线调整以后出现废品的概率为 p, 当生产过程中出现废品时立即重新进行调整, 求在两次调整之间的合格产品数的分布. 问问 题题问题问题5 5已知运载火箭在飞行中进入
26、其仪器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落到仪器重要部位的概率为 0.1, 求落到仪器重要部位的粒子数的概率分布 . 问题问题 Blaise Pascal 1623-1662帕斯卡法国数学家物理学家 思想家 帕斯卡四岁丧母, 在父亲精心培养下, 16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成圆锥曲线论,由此定理导出400余条推论, 这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.帕斯卡简介 1642年发明世界上第一台机械加法计算机帕斯卡计算器. 他应用此方法解决了摆线问题. 1654年研究二项系数性质,写出论算术三角形一文,还深入讨论不可分原理,这实际上相当于已知道 and
27、xx011nan 1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理. 三十岁时他曾研究过赌博问题三十岁时他曾研究过赌博问题, ,对早期概率论的发展颇有影响对早期概率论的发展颇有影响. . 1658年完成了摆线论,这给 G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微 积分的建立. 在离散型随机变量的分布中有个在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生重复独立试验中，事件发生 次的场次的场r 帕斯卡还写过不少文学著作. 1654年他进入修道院,献身于哲合合. .而有名的几何分布正是其而有名的几何分布正是其 时时的特例的特例. .1r学和宗教.
