1、第九章第九章 应力状态理论应力状态理论9-1 9-1 一点应力状态的概念一点应力状态的概念9-2 9-2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法9-3 9-3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法9-4 9-4 三向应力状态简介三向应力状态简介9-5 9-5 广义虎克定律广义虎克定律9-6 9-6 平面应力状态的测定平面应力状态的测定9-7 9-7 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能问题的提出问题的提出内力计算找到危险截面位置应力计算找到危险点位置 然而受力状态完全相同（即危险截面和危险点相同），破坏形态可能不同低碳钢受扭产生平面断口铸铁受扭产生45螺旋面断
2、口为什么？说明不同材料破坏的危险方位不同。应力状态理论 解决危险方位的问题。9-1 9-1 一点应力状态的概念一点应力状态的概念一、轴向拉压杆斜截面上的应力0 x0AAp由cosAAp得2coscos p2sin2sin p斜截面上90909000 时讨论当当当0000时45454522 时在纵向拉伸等直杆中截取的一段mnAAAFxpp同一点各个方位上的应力大小和方向各不相同。某一点各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为一点的应力状态二、一点应力状态三、单元体概念剪应力等于0的截面称为主平面；作用在主平面上的应力称为主应力。在构件内部取一个微分六面体，代表一个点，分析 6 个微面上的应力
3、，这个微分六面体称为单元体yxzyxyzzyzxxzxy四、应力状态分类三向应力状态（空间应力状态）：三个方向的主应力都不等于0;yxzyxyzzyzxxzxyyxyxxyxyyxxy二向应力状态（平面应力状态）：两个方向的主应力都不等于0;xx单向应力状态：只有一个方向的主应力都不等于09-2 9-2 平面应力状态分析的解析法平面应力状态分析的解析法平面初始应力状态包括xyxyyx表示yxyxxyxyyxxy平面应力状态的简化表示yxyxxyxyyxxy一、任意斜截面上的应力从 x 轴方向逆时针为正拉应力为正；压应力为负绕单元体顺时针为正，反之为负设斜截面上的应力为yxyxxyxyyxxyn
4、t斜截面上的各参量的正负号规定nxxxyyyxt对三角形单元体建立平衡方程0nF (cos)cos(cos)sin(sin)sin(sin)cos0 xxyyxydAdAdAdAdAnxxxyyyxt0tF (cos)sin(cos)cos(sin)cos(sin)sin0 xxyyxydAdAdAdAdAcos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy整理后二、主应力、主方位 由斜截面上的应力表达式可知 随 角度不同而变化， 都是 的函数，由此可求正应力和剪应力的极值。、2sin2cos202xyxydd 主平面、 将 的表达式对 求导： 0=可见在 的截面上，正应力具有极值（最大
5、或最小）0主应力0212xyxyarctg22maxmin022212xyxyxyxyxyarctg即平面应力状态主应力、主方位表达式0=令sin2cos202xyxy即022xyxytg 得将上式带入 的表达式： 将 的表达式对 求导： 三、剪应力极值、剪应力极值平面()cos22sin20 xyxydd122xyxytg1122xyxyarctg将上式带入 的表达式： 22maxmin12122xyxyxyxyarctg即剪应力极值、剪应力极值平面表达式由主应力方位角和剪应力极值方位角可知 022xyxytg 122xyxytg0122tgtg 01222014即：剪应力极值平面和主平面夹
6、角为45 9-3 9-3 平面应力状态分析的图解法平面应力状态分析的图解法斜截面应力解析表达式cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy将公式的结构进行变换将公式的结构进行变换cos2sin222sin2cos22xyxyxyxyxy222222xyxyxy一、应力圆方程222222xyxyxy发现此方程为圆方程，圆心发现此方程为圆方程，圆心 半径半径,02xy222xyxy观察方程观察方程称此圆为称此圆为应力圆应力圆。2xy222xyxyRO1O由于应力圆最早由德国工程师莫尔（otto.mohr,1835-1918）提出，故又称为莫尔圆。RAB二、应力圆作法(1)在坐标系内画
7、出A1( )xxy,(2)在坐标系内画出B1( )yyx,O1(,)xxyA yxyxxy1(,)yyxB二、应力圆作法O1(,)xxyA yxyxxy1(,)yyxB(3)A1 B1连线与 轴交点即圆心O1(4)以O1为圆心，以O1A1 为半径画圆1O三、斜截面应力yxyxxynO1(,)xxyA 1(,)yyxB1O(1)过A1作A1Kx轴，交圆于K点K(2)过K作KPn(斜截面法线)，交圆于P点 则P点的坐标为(,)P(),四、主应力、主平面、剪应力极值和剪应力极值平面yxyxxy1O1(,)xxyA 1(,)yyxB1OK0A0B2xyAB应力圆与x轴的交点横坐标即为正应力极值22ma
8、xmin()22xyxyxyOAOBKA和KB的射线方向即主平面法线方向02应力圆与应力状态的对应关系图示主应力状态12xyOO10 xyA A102xyO Ayxyxxy2xyO1(,)xxyA 1(,)yyxB1OK0A0BABmaxQQ过圆心作垂直于x轴的线，与圆交点为Q和Q，两点的纵坐标即为剪应力极值122maxmin1()2xyxyOQOQ KQ和KQ的射线方向即剪应力极值平面法线方向图示剪应力极值应力状态1例题1：取梁截面中C点的应力状态进行分析， C点的应力状态如图，用解析法求解 ，并用图解法验证。qmMmABC7050C解：70 MPa;0;50 MPa;xyxy max0ma
9、x1minmin、022 5021.429700 xyxytg 027.5117.522maxmin26()MPa9622xyxyxy22maxmin()61MPa2xyxy 1072.545162.51( 70,50)A 1(0, 50)B1OQQ1O1( 70,50)A 1(0, 50)BmaxminBAK00K11图解法验证OO 查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为26 MPa和-96 MPa，测量KA及KB与x轴的夹角，即可得到主平面方位角为27.5和117.5； 作C点应力状态的应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。 查Q点和Q点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为 61 MP
10、a，测量KQ及K Q与x轴的夹角，即可得到剪应力极值平面方位角为27.5和117.5； 例题2：已知某点应力状态如图，用解析法求 并用图解法验证。oomaxmax3030minmin、40302522maxmin51.7()MPa36.722xyxyxymaxminmaxmin44.2 MPa2 30cos60sin6049.7MPa22oxyxyooxy40 MPa;25;30 MPa;xyxy 解：解析法求解30cos60sin6013.1MPa2oxyooxyo30o30O1( 25,30)B 1O1(40, 30)AABQQ图解法验证 403025Ko30(49.7,13.1)Coo3
11、030， 作应力圆以及主应力和剪应力极值的应力状态。查Q点和Q点的横坐标数值，即可得到剪应力极值为 44.2 MPa 过K点作直线与x轴呈30角，与圆的交点的坐标即查A点和B点的横坐标数值，即可得到主应力为51.7 MPa和-36.7 MPa9-4 9-4 三向应力状态简介三向应力状态简介只有主应力的三向应力状态称为三向主应力状态21321123一、三向主应力状态的应力圆O1231二、三向主应力状态的最大剪应力2max2o45最大剪应力由 和 决定1313maxmin2 最大剪应力方位角，与 相差451O123maxmin13212三、斜截面上的应力与三个主平面成任意角度的斜截面上的正应力和剪
12、应力，可以用 坐标系某一点的坐标值表示。O123xx该点位于三个应力圆所围成的阴影范围内。9-5 9-5 广义虎克定律广义虎克定律一、 广义虎克定律(一)、 单向应力状态下的虎克定律EEE GG(二)、 复杂应力状态下的虎克定律xyyzxzxyyzxzGGG1xxyzE 1yyxzE 1zzxyE 二、 体积应变三向主应力状态下的虎克定律11231E 22131E 33121E 21321xyz设变形前六面体边长分别为Vabc则六面体原始体积为abc、 、21321xyz变形后六面体边长分别为aabbcc、受力后体积为1123()()()(1)(1)(1)Vaa bb ccabc略去高阶微量后
13、1123(1)Vabc1123VVV体积应变将主应力下的广义虎克定律代入体积应变公式12312312()E1mK3(12 )EK1231()3m体积弹性模量平均应力9-6 9-6 平面应力状态的测定平面应力状态的测定一、平面应力状态的虎克定律112(1)xxyyyxxyxyxyEEGE2211xxyyyxxyxyEEG由上公式可知：只要确定了 则该点的应力状态就随之确定了xyxy、yxyxxyn平面应力状态任意斜截面上的线应变，可以表示为901oE将代入上式，得cos2sin222xyxyxy90oxycos2sin2222xyxyxy此式表明：可以由任意三个方向得线应变表示剪应变二、平面应力
14、状态的测定所以只要确定一点任意三个方向的线应变，就可以确定该点的应变分量和应力分量。试验测定中使用应变花进行平面应力状态的测定。o45o45分别测定三个线应变即可确定该点的应力状态04590、045900 xy9-7 9-7 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能一、变形比能变形比能：单位体积的变形能。12UWF32111222F LWFLuVLLL量纲分析LFLF0三向应力状态时1 1223312u 1xxyzE 1yyxzE 1zzxyE 由三向应力状态虎克定律知所以22212312233112 ()2uE 二、体积变形比能和形状改变比能vfuuu把三向应力状态作如下分解21321mmmmm1m3m2m1m2m同时把变形比能分成两部分，体积改变比能uv和形状改变比uf能，即：其中： 称为平均应力。1231()3m2123112()26vmmmmmmuE 其中：例题3：如图的刚性支座内放置一铅块，大小为111cm，材料泊松比=0.33，弹性模量E=70 GMPa. 求：123、F解：由题意知3223103346 1060 MPa1 10FA 230.33 6019.8 MPa 2022131E 由广义虎克定律所以
