1、第三节一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、 液体的侧压力液体的侧压力三、三、 引力问题引力问题四、四、 转动惯量转动惯量 (补充补充)机动 目录 上页 下页 返回 结束 定积分在物理学上的应用 第六六章 一、一、 变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x) 在区间 ,ba上所作的功为baxxFWd)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.一个单求电场力所作的功 . qor
2、abrrdr 11解解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk机动 目录 上页 下页 返回 结束 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, S例例2.体, 求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 .ab建立坐标系如图.xxdx 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比
3、, 即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln机动 目录 上页 下页 返回 结束 力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解解: 建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wdxxdg9故所求功为50Wxxdg9g922xg5 .112( KJ )设水的密度为机动 目录 上页 下页 返回 结束 05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 面积为 A 的平板
4、二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强: hpgh当平板与水面平行时, ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强xpg33g2R例例4. 的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解解: 建立坐标系如图. 所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性 , 侧压力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d
5、222xxR 说明说明: 当桶内充满液体时, )(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令( P350 公式67 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 oxyRxxxd三、三、 引力问题引力问题质量分别为21, mm的质点 , 相距 r ,1m2mr二者间的引力 :大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力, 则需用积分解决 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m
6、的质点 M,M该棒对质点的引力.解解: 建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox机动 目录 上页 下页 返回 结束 在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF机动 目录 上页 下页 返回 结束 22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为 y2l2laoxx
7、xdx说明说明:amk22) 若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1) 当细棒很长时,可视 l 为无穷大 ,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒 .移到 b (a b) 处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有loxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFd机动 目录 上页 下页 返回 结束 sindF注意正负号3) 当质点位于棒的左端点垂线
8、上时, 四、转动惯量四、转动惯量 (补充补充)质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为l2rmI 的质点系),2, 1(,nimrlii质量为的距离为与轴21iniirmI若考虑物体物体的转动惯量 , 则需用积分解决 .r机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于轴 l 的转动惯量为m例例6. 求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量 ; 求圆盘对直径所在轴的转动惯量 .解解: 建立坐标系如图.设圆盘面密度为 .的对应于d,xxx小圆环质量xx d2对应于d,xxx的小圆环对轴 l 的转动惯量为xxId2d3故圆盘对轴 l 的转动惯量为RxxI03d2421R221RMlRoxxxxd)(2RM
9、机动 目录 上页 下页 返回 结束 o设有一个半径为 R , 质量为 M 的均匀圆盘 , oxRyxxxd平行 y 轴的细条的对应于d,xxx关于 y 轴的转动惯量元素为yId细条质量:y2xdxxyd22xxRxd2222故圆盘对y 轴的转动惯量为yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx 令tttRdcossin422402441R)(2RM241RM机动 目录 上页 下页 返回 结束 取旋转轴为 y 轴, 建立坐标系如图.内容小结内容小结(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、壳壳 等.(2) 然后用定积分来表示整体量 Q ,
10、 并计算之. 1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功 , 侧压力 , 引力, 转动惯量等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 条条、段段、环环、带带、(99考研)思考与练习思考与练习提示提示: 作 x 轴如图.ox30 xxd1.为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N ,提升速度为3m /s , 问克服重力需作多少焦耳( J ) 功?已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由机动 目录 上页 下
11、页 返回 结束 抓起污x 提升 dx 所作的功为 米重50N ,提升抓斗中的污泥:井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3ms, 污泥以 20Ns 的速度从抓斗缝隙中漏掉ox30 xxdxWd400d1克服缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至 x 处所需时间 :) s (3x(J)91500 xxWxd)202000()30(504003300 xWxd)202000(d33321ddddWWWW机动 目录 上页 下页 返回 结束 克服抓斗自重: xyoAB2. 设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密度的大小等
12、于该点到原点距离的立方,提示提示: 如图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点O 处有一单 位质点 ,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理takFx203costttattadcossin3)sin(cos32222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akF xFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax习题课 目录 上页 下页 返回 结束 xyoAB),
13、(yxsd引力大小为作业作业: P287 2 , 3 , 5 , 9 , 12锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 .备用题备用题斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于解解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l ,水中, 并使一直角边与水面相齐, coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lgloyxy则其方程为问斜边与水面交成的xxxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 sin0lP)cos(cos633lgP机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故此唯一驻点0即为所求. 由实际意义可知最大值存在 ,即0sincos3sin2, ),0(2loyxyxxxd
