1、 第一章第一章 随机事件及其概率随机事件及其概率 自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类：一类自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类：一类可可事前预知事前预知，如：，如：“ 太阳从东方升起太阳从东方升起”、 “在一个大气压下，在一个大气压下，水水在在100时沸腾时沸腾”等一定会发生；等一定会发生；“同性电荷相吸引同性电荷相吸引”、 “ 太阳太阳从西方升起从西方升起”等一定不会发生。这类现象是等一定不会发生。这类现象是确定性现象确定性现象，也，也叫叫必然现象必然现象。 另一类另一类事前不可预知事前不可预知，如：，如：“抛一枚硬币的结果抛一枚硬币的结果”、 “某地某地区年降雨量的多少区年降雨量
2、的多少”、“打靶时，弹着点与靶心的距离打靶时，弹着点与靶心的距离”等。等。 这类现象是这类现象是偶然性现象偶然性现象，也叫，也叫随机现象随机现象。 随机现象的特点：随机现象的特点：在一定条件下，可能出现这样的结在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验之前不能预知确切果，也可能出现那样的结果，而在试验之前不能预知确切的结果人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现的结果人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验下，它的结果又呈现出某种规律性象在大量重复试验下，它的结果又呈现出某种规律性统计规律性统计规律性例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果例如，在相同条
3、件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。但是，如多次重复抛一枚前无法肯定抛掷的结果是什么。但是，如多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究随机现象规律性的数学学科，是科技工作者所必须具备的随机现象规律性的数学学科，是科技工作者所必须具备的一种工具，也是现代经济理论的应用与研究的重要工具。一种工具，也是现代经济理论的应用与研究的重要工具。1.1 样本空间和随机事件样本空间和随机事件 一、一、 随机试验随机试验 为
4、了研究随机现象，就要对客观事物进行观察为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察观察观察的过程称为试验的过程称为试验下面举一些试验的例子下面举一些试验的例子E1：抛一枚硬币，观察正面抛一枚硬币，观察正面H、反面反面T出现的情况出现的情况E2：抛两枚硬币，观察正面抛两枚硬币，观察正面H、反面反面T出现的情况出现的情况E3：抛两枚硬币，观察抛两枚硬币，观察“正面正面H朝上朝上”的硬币个数的硬币个数. E4：掷一颗骰子，观察出现的点数掷一颗骰子，观察出现的点数E5：记录电话交换台一分钟内收到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内收到的呼唤次数E6: 盒中有标号为盒中有标号为1到到10的相同小球，任取一的相同
5、小球，任取一 个观察标号个观察标号.E7: 某射手向枪靶射击一发子弹，观察其中靶的环数某射手向枪靶射击一发子弹，观察其中靶的环数. 上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点：上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点： （1）可以在相同条件下重复地进行；）可以在相同条件下重复地进行； （2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确所有可能结果，且每次试验仅有其中一个结果出现；所有可能结果，且每次试验仅有其中一个结果出现； （3）每次试验进行之前，不能断言哪个结果会出现）每次试验进行之前，不能断言哪个结果会出现 在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为
6、在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机随机试验，试验，简称简称试验试验，常用字母，常用字母E 来表示来表示 我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现的可能性进行分析，从而找出随机现象的规律的可能性进行分析，从而找出随机现象的规律 二、二、样本空间样本空间 随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的样本空间样本空间，通常记为，通常记为样本空间的元素，即的每个结果，样本空间的元素，即的每个结果，称为称为样本点样本点下面是前面试验的样本空间：下面是前面试验的样本空间： 1：H,T 2 ：HH,
7、HT, TH,TT 3：0,1,2 4 ：1,2,3,4,5,6 5：0,1,2,. 6 :1,2,3,4,5, ,10 7：0,1,2,3,4,5, ,10注意：样本空间的元素由试验的目的确定如试验注意：样本空间的元素由试验的目的确定如试验E2和和E3同同是抛两枚硬币，由于试验目的不一样，样本空间也不一样是抛两枚硬币，由于试验目的不一样，样本空间也不一样三、三、随机事件随机事件 在进行随机试验时，人们往往关心的是满足某种条件在进行随机试验时，人们往往关心的是满足某种条件的一些样本点所组成的集合例如，在的一些样本点所组成的集合例如，在E4中，令中，令A表示表示“出出现的点数为偶数现的点数为偶数
8、”，则，则A是是4 1,2,3,4,5,6 的子集，它由的子集，它由样本点样本点2,4,6构成，记作构成，记作A2,4,6 一般地，称试验的样本空间一般地，称试验的样本空间的子集为的子集为随机事件随机事件，简称，简称事件事件，通常用大写字母，通常用大写字母A、B、C、表示表示 事件事件 在一次试验中，若某事件中至少有一个样本点出现了，在一次试验中，若某事件中至少有一个样本点出现了，则称则称事件发生事件发生了称试验中必定发生的事件为了称试验中必定发生的事件为必然事件必然事件，不可能发生的事件为不可能发生的事件为不可能事件不可能事件 在每次试验中，样本空间在每次试验中，样本空间中必定有一个样本点会
9、出现，中必定有一个样本点会出现，因此又把样本空间称为必然事件空集因此又把样本空间称为必然事件空集是样本空间是样本空间的一的一个特殊的子集，也可作为一个事件但由于空集不含样本空个特殊的子集，也可作为一个事件但由于空集不含样本空间间中的任何元素，在每次试验中中的任何元素，在每次试验中都不会发生，因此又称都不会发生，因此又称之为不可能事件把必然事件和不可能事件看作随机事件，之为不可能事件把必然事件和不可能事件看作随机事件，是为了事件运算方便是为了事件运算方便 由样本空间的单个元素构成的子集，即样本点，又称为由样本空间的单个元素构成的子集，即样本点，又称为基本事件基本事件 四、四、 事件间的关系和运算
10、事件间的关系和运算 样本空间和事件都是集合，因此事件间的关系和运算实际样本空间和事件都是集合，因此事件间的关系和运算实际上是集合间的关系和运算设样本空间为上是集合间的关系和运算设样本空间为 ，A、B、C和和Ak（k1,2, 3）为为的子集的子集 1、事件的包含和相等事件的包含和相等 在一次试验中，若在一次试验中，若A发生必然导致发生必然导致B发生，则称发生，则称B包含包含A。记为记为.BA 如在如在E4中，中，A表示表示“出现的点数为偶数出现的点数为偶数”，B表示表示“出现出现的点的点 数大于数大于1”即即A=2,4,6，B=2,3,4,5,6，则则BA 实际上，实际上，A 是是B 的子集。的
11、子集。相等，记作相等，记作与与，则称事件，则称事件且且若若BABAABBA 2、事件的和事件的和（相当于并集）（相当于并集） 在一次试验中，在一次试验中，“事件事件A与与B至少有一个发生至少有一个发生”是一个事是一个事件，称为事件件，称为事件A与与B 的和的和，记作，记作AB，或者或者AB “n个事件个事件A1 、A2、 An中至少有一个发生中至少有一个发生”称为这称为这n个个事件的和。记作事件的和。记作nkkA1 “可列个事件可列个事件A1 、A2、中至少有一个发生中至少有一个发生”称为这可列称为这可列个事件的和。记作个事件的和。记作 1kkA 如，在如，在E4中，令中，令A表示掷一颗骰子表
12、示掷一颗骰子“出现偶数点出现偶数点”，C表表示示“出现的点数不大于出现的点数不大于1”， Ak表示表示“出现出现k点点”（k1,2,6）那么那么A2,4,6，C1，AC1,2,4,6， 61kkA 又如，在又如，在E5中中，令令Ak表示表示“一分钟内收到一分钟内收到k次呼唤次呼唤”，k0、1、2、，A表示表示“呼唤次数大于呼唤次数大于100次次” ， B表示表示“呼呼唤唤次数小于次数小于150次次”那么那么 kkAA 101kkAB1490 3、事件的积事件的积（相当于交集）（相当于交集） 在一次试验中，在一次试验中，“事件事件A与与B同时发生同时发生” 是一个事件，称是一个事件，称为为事件事
13、件A与与B的积的积，记作，记作AB或者或者ABnkkA1 表示表示“n个事件个事件A1，A2， An同时发生同时发生” 1kkA表示表示“可列个事件可列个事件A1，A2， An ,同时发同时发生生”，中中kkAAE 1015,1490kkAB AB表示表示“一分钟内呼唤次一分钟内呼唤次数大于数大于100次且小于次且小于150次次”，即有，即有ABkkA149101 E4中，中，A2,4,6， B2,3,4,5,6 ， C1，则则AB表示表示“出现的点数为大于出现的点数为大于1的偶数的偶数”由于由于A是是B的子集，所的子集，所以以AB=A而而AC表示表示“出现的点数为不大于出现的点数为不大于1的
14、偶数的偶数”，这，这是不可能发生的，故是不可能发生的，故AC。 4、互不相容的事件互不相容的事件 若若AB，则称事件则称事件A与与B为为互不相容互不相容互不相容的互不相容的 事件在一次试验中不能同时发生事件在一次试验中不能同时发生 例如，在例如，在E E4 4中，中，A与与C为互不相容的事件为互不相容的事件 5、事件的差事件的差（相当于差集）（相当于差集） 在一次试验中，在一次试验中，“事件事件A发生而事件发生而事件B不发生不发生” 这一事这一事件件称为事件称为事件A与与B的的差差，记作，记作AB 6、对立事件对立事件（相当于余集）（相当于余集） “A不发生不发生”这一事件称为事件这一事件称为
15、事件A的对立事件，记作的对立事件，记作 AAA 显然，显然，AA )( AA AA .BABA也可记作也可记作 事件的关系和事件的运算可以用文氏图（图事件的关系和事件的运算可以用文氏图（图11）直观）直观地表示事件的关系和运算与集合论的内容对照如表地表示事件的关系和运算与集合论的内容对照如表11 7 7、事事件运算的主要性质件运算的主要性质（1）交换律）交换律 ABBA，ABBA ；（2）结合律结合律 (AB)C A( B C)， (A B ) C A (BC)；（3）分配律）分配律 ( A B)CACBC, (AB)C(AC)(BC); (4）吸收律吸收律 (A B)A=A, (AB)A=A
16、 ； （5）对偶律）对偶律BAABBABA 此外还有：此外还有： AAA，AAA ，A ，A A AA，A ，., AAAA 利用事件的关系、事件的运算及其性质，可将复杂的利用事件的关系、事件的运算及其性质，可将复杂的事件用己知的简单事件表示，这在处理问题时会很方便事件用己知的简单事件表示，这在处理问题时会很方便 例例1 一大批产品中有一大批产品中有5件次品，若从中依次任取件次品，若从中依次任取3件，件，令令Ak表示表示“取到的第取到的第k件为正品件为正品”， k1，2，3试用试用A1, A2 ，A3，表示下列事件：，表示下列事件： （1）“取到的取到的3件中至少有一件为正品件中至少有一件为正
17、品”，记为，记为A （2）“取到的取到的3件均为次品件均为次品”，记为，记为B （3）“取到的取到的3件恰好有一件为正品件恰好有一件为正品”，记为，记为C （4）“取到的取到的3件至多有一件为正品件至多有一件为正品”，记为，记为D解解 （1） A A1 A2 A3 321321)2(AAABAAAB 或或321321321) 3(AAAAAAAAAC 321321321321)4(AAAAAAAAAAAACBD 例例2 如图如图12所示的电路中，所示的电路中，以以A表示表示“信号灯亮信号灯亮” 这一事件，这一事件， 以以B、C、D分别表示事件：继分别表示事件：继电器接点电器接点、闭合，则闭合，则,ABC ,ABD ,ABDBC 互不相容。互不相容。与与即即ABAB,
