1、第三章中值定理中值定理应用应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式 (第三节)推广推广微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 罗尔（罗尔（ Rolle ）中值定理）中值定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 在( a , b )
2、 内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足 :)(xF0)( xF柯西 目录 上页 下页
3、 返回 结束 说明：说明：1. 微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2. 微分中值定理的应用(1) 证明恒等式(2) 证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维设辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设,0)(Cxf且在),0(内可导, 证明至少存在一点, ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知, 只需证0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf验证)(xF在,0上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例
4、2. 若)(xf可导, 试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点. 提示提示: 设,0)()(2121xxxfxf欲证:, ),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0 )(xxxfe作辅助函数, )()(xfexFx验证)(xF在,21xx上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0() 1 (ff)0() 1 (FF例例3. 设).0() 1 (2)(fff2)(01)0() 1 (fffxxxf)()(2,)(2xxF,) 1 ,0(, 1 ,0)(内可导在上连续在xf至少存在一点),1,0(使证证: 结论可变形为设则)(, )(xFxf在 0, 1
5、 上满足柯西中值定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使)(f )(F012即)0() 1 (2)(fff证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)0(,0)( fxf设 证明对任意0, 021xx有)()()(2121xfxfxxf证证：210 xx )()()(1221xfxfxxf12)(xf0)(121 fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx例例4.不妨设 )0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x11)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式
6、00第二节机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三三章 )()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00( 或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:洛必达法则洛必达法则洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 在 x , a 之间)证证: 无妨假设,
7、0)()(aFaf在指出的邻域内任取,ax 则)(, )(xFxf在以 x, a 为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件: 西定理条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(lim)3xFxfax存在 (或为 ),)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且推论推论1. 定理 1 中ax 换为, ax, ax,xx之一,推论推论 2. 若)()(limxFxf满足定且型仍属)(, )(,00 xFxf理
8、1条件, 则)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必达法则定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必达法则 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求.arctanlim12xxx解解: 原式 limx型00221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考
9、: 如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?型机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型未定式型未定式)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或为)()(limxFxfax定理定理 2.)()(limxFxfax(洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,)()()()2内可导在与axFxf0)( xF且说明说明: 定理中ax 换为之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立., ax, ax,xx,x定理2 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxx
10、n1lim0例例4. 求求解解: (1) n 为正整数的情形.原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不为正整数的情形.nx从而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夹逼准则kx1kx存在正整数 k , 使当 x 1 时,机动 目录 上页 下页 返回 结束 . )0(0lnlimnxxnx例3. 例4. )0, 0(0limnexxnx说明说明:1) 例3 , 例4 表明x时,
11、lnx后者比前者趋于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1)0(xe, )0( nxn用洛必达法则2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx极限不存在)sin1 (limxxx1机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例
12、5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx机动 目录 上页 下页 返回 结束 型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6. 求机动 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例7. 求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1利用利用 例例5例5 目录 上页 下页 返回 结束 通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例8.
13、求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnneln11例例9. 求. ) 1(limnnnn分析分析: 为用洛必达法则 , 必须改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必达法则型0但对本题用此法计算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式例3 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,
14、0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设)()(limxgxf是未定式极限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限)1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx说明 目录 上页 下页 返回 结束 原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxx
15、xxcos1221x6161机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 则2011221limtttt4. 求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列极限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt备用题备用题ttt21lim11021)1(xt 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 令,12xt 则ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解解:tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)机动 目录 上页 下页 返回 结束
