1、一、极限的三种定义一、极限的三种定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 若数列nx及常数 a 有下列关系 :,0,N正数当 n N 时, 总有记作axnnlim或)(naxnaxn则称该数列nx的极限为 a ,1. 数列极限的数列极限的“ ” 定义定义N机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf在点0 x设函数的某去心邻域内有定义 ,若2. 函数极限的函数极限的“ ” 定义定义,00,当 时, 总有( )f xA 00 xx则称常数 A 为函数)(xf当0 xx 时的极限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf当记作例例1. 证明)(lim0为常数CCCxx机动 目录 上页 下页 返
2、回 结束 例例2. 证明1)12(lim1xx例例3. 证明211lim21xxx例例4. 证明: 当00 x证证:Axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 关于左极限与右极限关于左极限与右极限左极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( Axf右极限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时,
3、有.)( Axf定理定理 1 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 函数极限的函数极限的“ ” 定义定义X设函数xxf当)(大于某一正数时有
4、定义,若,00,X当时, 总有( )f xA xX则称常数时的极限,Axfx)(lim)()(xAxf当或记作xxf当)(A 为函数XXAAoxy)(xfy A直线 y = A 为曲线)(xfy 的水平渐近线x1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :Axfx)(lim,0,0X当Xx 时, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X当Xx时, 有 Axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回
5、 结束 例例6. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1X,时当Xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 .10的水平渐近线为xyy二、极限的性质二、极限的性质1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于数列的极限：对于数列的极限：2. 收敛数列一定有界收敛数列一定有界.3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .1. 函数极限的唯一性函数极限的唯一性定理定理2 . 如果存在，这个极限唯一。如果存在，这个
6、极限唯一。0lim( )xxf x机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于函数的极限：对于函数的极限：0 x定理定理3 . 如果存在，那么，在点如果存在，那么，在点0lim( )xxf x的某个去心邻域内，函数有界。的某个去心邻域内，函数有界。( )f x2. 函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性3. 保号性定理保号性定理定理定理4 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf则存在( A 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 xx 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(
7、lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以x时 ,)(xf不是无穷大 !oxyxxycos机动 目录 上页 下页 返回 结束 时, 有,min21三、三、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0
8、 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( P56 , 题 4 (2) )解答见课件第二节解答见课件第二节 例例5机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xx时, 有M取,min21则当),(0 xx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束
