1、1.4 条件概率条件概率 一、条件概率一、条件概率 直到现在，对直到现在，对P(A)的讨论都是相对于某组确定的条件的讨论都是相对于某组确定的条件S而而言的言的 P(A) 就是在条件组实现之下，事件就是在条件组实现之下，事件A发生的概率（为发生的概率（为简略起见，简略起见，“条件组条件组S”通常不再提及）除这组基本条件通常不再提及）除这组基本条件“S”外，有时还要提出附加的限制条件；即要求外，有时还要提出附加的限制条件；即要求“在事件在事件A已经发已经发生的前提下生的前提下”事件事件B发生的概率这就是条件概率的问题条发生的概率这就是条件概率的问题条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念件概率是概
2、率论中的一个重要而实用的概念 例例1 将一枚硬币掷两次观察其出现正反面的情况设将一枚硬币掷两次观察其出现正反面的情况设事件事件A“至少有一次为正面至少有一次为正面”，事件，事件B为为“两次掷出同一两次掷出同一面面”现现在来求已知事件在来求已知事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生的概率发生的概率 这里，样本空间这里，样本空间=HH,HT,TH,TT ,A=HH,HT,TH BHH,TT已知事件已知事件A已发生，有了这一信息，即知试验已发生，有了这一信息，即知试验所有可能结果所成的集合就是所有可能结果所成的集合就是A，A中共有中共有3个元素，其中只个元素，其中只有有HHB于是，在于是，在A
3、已经发生的条件下已经发生的条件下B发生的概率发生的概率 P(B|A)1/3在这里，在这里，P(B)2/4P(B|A)这是因为在求这是因为在求P(B|A)时是限制时是限制在在A已经发生的条件下考虑已经发生的条件下考虑B发生的概率的发生的概率的另外，另外，P(A)3/4， P(AB) 1/4， P(B|A)1/3 故有故有)()()|(APABPABP 当当P(A)0时上式对古典概型都是成立的时上式对古典概型都是成立的 事实上事实上, 设试验的基本事件总数为设试验的基本事件总数为n， A所包含的基本事所包含的基本事件数为件数为nA(nA 0)，AB所包含的基本事件数为所包含的基本事件数为 nAB，
4、即有即有 AABnAnABABP所包含的样本点数所包含的样本点数事件事件所包含的样本点数所包含的样本点数事件事件 )|()()(/ApABPnnnnAAB 由此给出一般情况下条件概率的定义：由此给出一般情况下条件概率的定义： 设设A、B为两个事件，且为两个事件，且P(A)0，则则)()()|(APABPABP 称为事件称为事件A已发生的条件下，事件已发生的条件下，事件B发生的条件概率发生的条件概率 可以验证条件概率满足：可以验证条件概率满足： (1)对任一事件对任一事件B，有有P(B | A)0； (2)P(| A)=1； (3)设设B1，B2，Bn，为两两互不相容的事件，则为两两互不相容的事
5、件，则 11)|()|(iiiiABPABP 例例2 袋中有袋中有5个大小相同的球，其中编号为个大小相同的球，其中编号为1、2、3的是的是红球，编号为红球，编号为4、5的是白球甲乙两人从中各摸一球求下的是白球甲乙两人从中各摸一球求下列事件的概率列事件的概率(1)“甲摸到了红球甲摸到了红球”；“乙摸到了白球乙摸到了白球”；“甲甲摸到红球且乙摸到白球摸到红球且乙摸到白球”；(2)“甲先摸到红球后，乙摸到白甲先摸到红球后，乙摸到白球球”的概率的概率 解解 (1)令令A表示表示“甲摸到了红球甲摸到了红球”，B表示表示“乙摸到了白乙摸到了白球球”，则则AB为为“甲摸到红球且乙摸到白球甲摸到红球且乙摸到白
6、球”将甲、乙两人所摸到将甲、乙两人所摸到的的球的编号用球的编号用(i，j)表示，则样本空间由下列样本点构成：表示，则样本空间由下列样本点构成： (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (2，1) (2，3) (2，4) (2，5) (3，1) (3，2) (3，4) (3，5) (4，1) (4，2) (4，3) (4，5) (5，1) ( 5，2) (5，3) ( 5，4) 样本空间所含样本点数样本空间所含样本点数n =A52 = 54=20， 事件事件A所含样本点数所含样本点数nA= A31A41=4 3=12， 事件事件B所含样本点数所含样本点数nB= A21A41= 2 4 =
7、8， 事件事件AB所含样本点数所含样本点数nAB= A31A21=2 3=6， P(A) =12/20 = 0.6；P(B)=8/20=0.4； P(AB)=6/20=0.3 (2)“甲先摸到红球后，乙摸到白球甲先摸到红球后，乙摸到白球”的概率是的概率是A发生条件发生条件下，下，B发生的概率发生的概率P(B | A)由（由（1）可见导致）可见导致A发生的样发生的样本点有本点有12个，个，AB同时发生的样本点有同时发生的样本点有6个，故有个，故有 P(B | A)=P(AB)/P(A) =6/12=1/2 对第二问，若利用第一次摸取的所有可能结果作成的样对第二问，若利用第一次摸取的所有可能结果作
8、成的样本空间，即本空间，即=1, 2, 3, 4, 5, 则做法更简洁由于则做法更简洁由于中共有中共有5个元素，已知个元素，已知A发生，即发生，即1,2,3号三个球中已摸走一个，于是，号三个球中已摸走一个，于是，第二次的所有可能结果的集合中共有第二次的所有可能结果的集合中共有4个球，个球，2红红2白，故得白，故得 P(B|A) = 2/4 = 1/2 例例3 在在0至至9这这10个数字中随机取一个，个数字中随机取一个，(1)已知抽到的为已知抽到的为奇数，求该数大于奇数，求该数大于6的概率；的概率；(2)已知抽到的数大于已知抽到的数大于6，求该数，求该数为奇数的概率为奇数的概率 解解 令令A表示
9、表示“抽到的为奇数抽到的为奇数”，B表示表示“抽到的数大于抽到的数大于6”（1）要求）要求P（B | A）；（）；（2）要求要求P（A | B） =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,，A=1,3,5,7,9，B=7,8,9，AB=7,9 故有故有P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.2 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 2/5， P(A| B ) =P(AB)/P(B) = 2/3 由此例可见由此例可见P(B | A)与与P(A | B)是不同的是不同的 二、二、乘法公式乘法公式 由条件概率定义可得两个事件积的概率公式由条件概率定义可得两个事件积的概率公式 若若P
10、(A)0，P(AB) =P(A)P(B | A) 若若P(B)0，P(AB)=P(B)P(A | B) 两式都称为概两式都称为概率的乘法公式率的乘法公式 例例4 10件产品中有件产品中有7件正品和件正品和3件次品，件次品，(1)任取两件任取两件(不放不放回抽样回抽样)，求，求“取到一正一次取到一正一次”的概率；的概率；(2)任取两件任取两件(有放回抽有放回抽样样)，求，求“取到的两件正品取到的两件正品”的概率的概率 解解 此题在古典概型时讨论过，现用乘法公式来讨论令此题在古典概型时讨论过，现用乘法公式来讨论令Ai表示表示“取到的第取到的第i 件为正品件为正品”，i=1，2那么问题那么问题(1)
11、中中“取取到一到一正一次正一次”可表示为可表示为2121AAAA 问题（问题（2）中）中“取到的两件均为正品取到的两件均为正品”可表示为可表示为A1A2902193107)|()()()1(12121 AAPAPAAP902197103)|()()(12121 AAPAPAAP互不相容互不相容与与而而2121AAAA)()()(21212121AAPAAPAAAAP （2）P(A1A2)=P(A1)P(A2 | A1) 10049107107 注意：在有放回抽样问题中注意：在有放回抽样问题中P(A2 | A1) = P(A2) 乘法公式还可推广到多个事件的情况，如乘法公式还可推广到多个事件的情况，如 P(ABC) =P(AB)P(C | AB) =P(A)P(B | A)P(C | AB)1579042 例例5 10件产品中件产品中3件为次品，每次从中任取一件不放回，件为次品，每次从中任取一件不放回，求第求第3次才取到次品的概率次才取到次品的概率 解解 令令Ai表示表示“第第i次取到的为正品次取到的为正品”（i=1，2，3），），则则“第第3次才取到次品次才取到次品”的概率为的概率为)(321AAAP)(321AAAP)|()(21321AAAPAAP )|()|()(213121AAAPAAPAP 4078396107
