1、高三数学试题（文科）答案 第 1 页（共 4 页）合肥市2022 年高三第一次教学质量检测 数学(文)试题参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分分. 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分. 13.22145yx 14.2 15.4 16.(1)4；(2)2 5， 三、解答题：三、解答题： 17.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1)2nnaS， ，成等差数列，22nnSa. 当1n 时，12a ； 当2n ，且*nN时，22nnSa，1122nnSa， 两式相减得，1
2、22nnnaaa，即12nnaa. 数列 na是首项为2，公比为2的等比数列，2nna . 5分 (2)2log2nnnnbaan， 1231231 22 23 22 nnnTbbbbn ， 234121 22 23 22 nnTn ， 12311 22222122nnnnTnn ：， 11 22nnTn. 12分 18.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1)设男生和女生的平均得分分别为xy，则 180 385 890 995 6 100 49030 x ， 180 285 690 895 2 100 28920y . xy，该校高中生男生群体掌握冬奥会知识的平均水平高于女生. 6分 (
3、2)设男生中满分学生分别为abcd， ， ，女生满分学生分别为AB，共 6 人，现从 6 人中随机抽取两人，共有如下15种可能： abacadaAaBbcbdbAbBcdcAcBdAdBAB， ， ， ， ， ， ， 其中性别不同的有如下8种可能： aAaBbAbBcAcBdAdB， ，； ，；，；， ，. 抽取的两名学生性别不同的概率为815P . 12分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D A D C B A B A D 高三数学试题（文科）答案 第 2 页（共 4 页）19.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1)延长BM，交11B A的
4、延长线于点N. 11NAB，11111ABABC平面， 111NABC平面. 又NBM， BM 平面111=ABCN，点N即为所求. 连接1C N，1C B交直线1BC于点O，连接OM. 1AM1B B，11NAMNB B. 又M为线段1AA的中点， 1112AMNMNBB B，即M为线段NB的中点. 在三棱柱111ABCA BC中，四边形11BCC B为平行四边形， O为线段1C B中点， OM为?1BNC中位线，1C NOM. 又OM平面1BCM，1C N平面1BCM，1C N平面1BCM.6分 (2)取线段11AB的中点G，连接1C G. 由条件知，?111A BC为等边三角形，1C G
5、11AB，且13C G. 平面111A BC平面11ABB A，平面111ABC 平面1111=ABB AAB，1111C GABC平面， 111C GAB BA平面，即1C G是三棱锥11CAMN的高. 又1160AA B，1120NAM. 由(1)知，1112NAA B，11112AMAA，1132 1 sin12022NA MS ， 四面体11AMNC的体积111131=33322NA MVSC G. 12分 20.(本小题满分本小题满分12分分) 解: (1)当焦点在x轴时，设抛物线C：22ypx. 将点(1，2)坐标代入得2p，此时抛物线的方程为24yx. 当焦点在y轴时，设抛物线C
6、：22xpy， 将点(1，2)坐标代入得14p ，此时抛物线的方程为212xy. 综上，抛物线C的方程为24yx或212xy 6分 (2)当抛物线C的焦点在x轴时，其方程为24yx. 直线AB的斜率不存在时，4AB ，2PQ ，不符合题意， 直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为1yk x(0k)，与抛物线的交点为11A xy，22B xy，. 由214 yk xyx消去y得，2222240k xkxk. 21616k 0，212224kxxk， 1224=24ABxxk，线段AB的中点P为2221 kk， 直线PQ的方程为22121yxkkk . 令1x ，得342ykk，3421 Qkk，
7、 高三数学试题（文科）答案 第 3 页（共 4 页）22232242=11PQkkkk22112 11kk. 由=PQAB得，2221142 11=4kkk，解得33k ， 直线AB的方程为3333yx或3333yx . 12分 21.(本小题满分本小题满分12分分) 解：(1) 1fxxax，0 x . 0 x ，112 12xxx， 当2a 时， 0fx， 所以，当2a 时， f x在0 ，上单调递增； 当2a 时，令 0fx，即210 xax ， 解得2142aax，2242aax. 所以，当2a 时， f x在240 2aa，24 2aa，上单调递增， 在2244 22aaaa，上单调
8、递减. 6分 (2)由(1)知，若函数 f x有两个极值点，则2a ，12121xxax x， 2111121111111lnln111ln222xxxxx f xxxaxaxxx. 设 ln12xxg xx，则 2222ln142ln22xxxgxxx. 2a ，212420 124aaxaa，. 设 242lnh xxx，易知 h x在0 1，单调递减，且 130h xh， 0gx在0 1，恒成立， g x在区间0 1，单调递增， ln1 1131122g xg ， 21230 xf x. 12分 高三数学试题（文科）答案 第 4 页（共 4 页）22.(本小题满分本小题满分10分分) 解
9、：(1)曲线1C的参数方程为3cossinxtyt(t为参数)， 由22cossin1tt得， 2213xy，曲线1C的普通方程为2219xy. 曲线2C的极坐标方程为28 sin120，222sinxyy， 曲线2C的直角坐标方程为228120 xyy，即2244xy.5分 (2)设3cos sinPtt，tR，记2C04， 22223cos0sin4PCtt22=9cossin8sin16ttt 2=8sin8sin25tt21=8 sin272t， 当1sin 1,12t 时，22PC取最大值27， 224PQPC， PQ的最大值为23. 10分 23.(本小题满分本小题满分10分分) 解：(1)由条件 21212321211.xxf xxxxxx ， ， 作出函数 yf x的图象和直线6y ，记交点为,C D， 易求57 6 622CD， ，=6CD， 如图，所围图形为梯形ABCD，梯形的高为3，另一底长为3， 封闭图形的面积为12736322S . 5分 (2)对Rx ，1y ， 213yf xy， 等价于Rx ，1y ， 231yf xy，等价于 2minmin31yf xy. 11f xxxaa，2344122126111yyyyyy ， 当且仅当3y 时取等号， 16a，解得5a 或7a ， a的取值范围为75,) ，. 10分
