1、高二数学期末试题 第 1 页 共 6 页 宁德市 2021-2022 学年度第一学期期末高一质量检测 数学试题数学试题 本试卷有第 I 卷（选择题）和第 II卷（非选择题）两部分，考试时间 120 分钟 ，满分150分. 注意事项： 1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；第 II 卷用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
2、第第 I 卷（选择题卷（选择题 共共 60 分）分） 一、单项选择题一、单项选择题: : 本题共本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. 在每小题给出的四个在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1已知集合，则=（ ） 1,2,3A |2BxN xABUA1，2 B2，3 C1，2，3 D0，1，2，3 答案：D 解析：，故选 D 0,1,2B 0,1,2,3AB2命题“”的否定是（ ） (0,)sin2xxx ，A B (0,)sin2xxx ，(0,)sin2xxx ，C D (0,)sin2xx
3、x ，(0,)sin2xxx ，答案：D 解析:“”条件 P 是:“”，结论 q 是:“在定义域恒成(0,)sin2xxx ，(0,)2xsinxxx，立”，命题的否定是否定其结论，即 P :“”，q: “在定义域有解”(0,)2x000sinxxx，使得故选 D 3已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） 36A B C D 3132343高二数学期末试题 第 2 页 共 6 页 答案：B 解析: ，故选 B 326lr123Slr4不等式恒成立，则的取值范围为（ ）A B,xR 2410axx a4a 或 C D 4a 0a 4a 40a 答案： 解析:由得，故选 204
4、40aa 4a 5已知，则（ ） 0.50.5,ln5,logaebce A B C D cabcbabacabc答案： 解析: 故选 0.50.501,1ln5,log0ee6已知函数是定义在上的奇函数，且， ( )f xR( )(4)f xf x( 1)1f 则（ ） (2020)(2021)ff A B C D 1012答案： 解析: (0)0,4,fT(2020)(0)0,(2021)(4 505 1)(1)1fffff故选 C (2020)(2021)1ff7 已知函数，的零点分别为则( )xf xex( )lng xxx( )sinf xxx, , ,a b c的大小顺序为（ ）
5、, ,a b cA B C D cbabacacbcab答案： 解析: 如图： 1086422468101510551015q x( ) = sin x( )h x( ) = ln x( )g x( ) = xf x( ) = exbac，故选 acb8已知函数的图象的一部分如图 1 所示，则图 2 中的函数图象对应( )sinf xAx的函数解析式为： 高二数学期末试题 第 3 页 共 6 页 A B C D 1(2)2yfx(21)yfx1()22xyf(1)2xyf 答案：B 解析:由（）得，由（）得 ( )sinf xx3( )sin2 ()sin(23 )2g xxx所以 ()sin
6、()sin()sin(23 )fxxxx 所以，即，B选项满足题意，故选 B 2,32 , k kZ1k 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5分，分， 共共 20分分. 在每小题给出的选项在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3分，有选错的分，有选错的得得 0分）分） 9下列函数中，既是偶函数又在区间上是增函数的是 （ ） 0,A B 21yx3yxC D 23yx3xy答案：AC 解析: Ayx2+1 43.532.521.510.50.511.522.533.54
7、76543211234567 Byx3 43.532.521.510.50.511.522.533.5476543211234567为奇函数 C 43.532.521.510.50.511.522.533.5476543211234567 D 43.532.521.510.50.511.522.533.5476543211234567在上单调递减 . 23yx3xy0,故选 AC 10若，则下列不等式正确的是 ( ) 110abA B abababab2baab图 1图 21y-1x-1O-12xy-11O-11高二数学期末试题 第 4 页 共 6 页 答案： BCD 解析: ,A选项错误;
8、1100baab由得B. 成立，该选项正确； ababba C. ,该选项正确； 0ababD. 0,2baababab且方法2.特殊值检验，取，排除A. 1,2ab 故选BCD. 11若函数，则下列选项正确的是（ ） ( )tan(2)3f xxA最小正周期是 B图象关于点对称 (,0)3C在区间上单调递增 D图象关于直线对称 7(,)12 1212x答案：BC 解析： ( )tan(2)3f xxA最小正周期是,故 A 错； 2B图象的对称点横坐标满足，得，当0 x02,32kxkZ046kx，所以图象的对称点为，故 B正确； 023kx时，(,0)3C令即故，当2,232kxkkZ5,1
9、22122kkxkZ时，在区间上单调递增，故 C正确; 1k ( )tan(2)3f xx7(,)12 12D正切函数图象无对称轴，故 D 错. 综上，选 BC. 12设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令xR xx yx，以下结论正确的是（ ） 22f xxxA B为偶函数 1.10.8f fx高二数学期末试题 第 5 页 共 6 页 C最小正周期为 D的值域为 f x12 fx0,1答案：AC 解析：A，故 A 正确; 1.12.22.22.2( 3)0.8f B存在,且1.12.22.22.2(2)0.2f1.11.1ff1.11.1ff 故函数为非奇非偶函数，故
10、B错误； C 0,( )Tf xTf x使得 22f xTxTxT= nN 22xTxT使得222xTxn= 22222( )xxTnxxf x此时，故最小正周期为，故 C正确; 122nT f x12D设，则函数=2,0,1)xnm nZ m 22f xxxnmnm故的值域为，故 D 错误. nmnm0,1) f x0,1法 2：由 C选项知 12fxf x所以 121,0212 ,02121,12xxf xxxxxKK 0,1f x 法 3：如图所示 1.81.61.41.210.80.60.40.20.20.40.60.811.21.41.61.832.521.510.50.511.52
11、2.53 综上，选 AC. 第 II卷（非选择题共 90分） 高二数学期末试题 第 6 页 共 6 页 三、填空题三、填空题:（本大题共（本大题共 4小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 20分分. 把答案填在答题卡的相把答案填在答题卡的相应位置）应位置） 13 25( 4)log 25答案：6 解析：. 2255( 4)log 254log 5614请写出一个同时满足下列两个条件的函数： . （1） 若则（2） 12xxR，12xx12()()f xf x121212,()() ()x xR f xxf xf x答案：选其中一个函数. ( )2 ,3 ,.xxxf xe解析：条件（1）表
12、示函数，条件（2）表示（乘性）柯西函数方程 ( )f xR在 上单调递增，故可取 ( ),xf xa(1)fa( ),1xf xaa如：选其中一个函数. ( )2 ,3 ,.xxxf xe15在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单xOyOx位圆相交于，两点，的纵坐标分别为， 则的终边与单位圆交点PQPQ3545的纵坐标为 . 答案：1 解析：得 35Py 45Px 得 45Qy 35Qx sin()sincoscossin=1. 3344555516已知函数，有 4 个不同的解： 2log,042cos,428xxf xxx,tR f xt使方程，则的取值范围是 ; 的取
13、值范围是 . 1234,x x x x1234x x x x1234xxxx(本小题第一个空 3分，第二个空 2 分) 答案：； 32,356514,4解析：如图，时，方程存在 4 个不同根，当时，02t 2t 14x 54.543.532.521.510.50.511.52112345678910DCBA高二数学期末试题 第 7 页 共 6 页 1311,454xx时，得即 2log xt1222loglogxx1222loglogxx21211,1xx xx由正弦函数对称性知 3412xx 2123434333312636,45x x x xx xxxxx 在上单调递增，所以； 233()
14、636f xx 4,512343235x x x x 123411112xxxxxx在上单调递减，所以 1111()12f xxx1,14123465144xxxx四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6小题，共小题，共 70分分. 解答应写出文字说明，证明过程或演解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤算步骤. 17. （本小题满分 10 分） 设集合， UR|1327xAx|12Bx mxm （I），求； 3m UAC B（II）若“”是“”的充分条件，求的取值范围 xBxAm参考解析： .1分 |03Axx（I）当时，.2 分 3m |26Bxx得.3 分 |26UC Bx xx或所以
15、.4分 UAC B|02xx（II）由“”是“”的充分条件知， xBxABA若，则得.5 分 B 12mm 1m 若，则得.9 分 B 121023mmmm 312m综上所述：或.10 分 1m 312m 高二数学期末试题 第 8 页 共 6 页 18. （本小题满分 12 分） 已知是上的奇函数，且 21xbf xaR 113f（I）求的解析式； ( )f x（II）判断的单调性，并根据定义证明 ( )f x参考解析：（I）由.2 分 (0)0113ff得解得.4 分 02133baba12ab所以.5 分 2( )121xf x （II）在上单调性递增 ( )f xR（备注：只判断没有证明
16、给 1 分） 证明：.6 分 1221,Rx xxx且则.7 分 2212()()121xf xf x12121x.8 分 12222121xx21122 222121xxxx由得，即.9 分 21xx2122xx21220 xx又.10 分 1221210 xx所以，即 21()()0f xf x21()()f xf x所以在上单调性递增.12 分 ( )f xR高二数学期末试题 第 9 页 共 6 页 19. （本小题满分 12 分） 已知函数，只能同时满足下列三个条件中的两个： 2( )f xaxbxc, ,a b cR的解集为； ( )0f x ( 1,3)； 1a 最小值为 ( )f
17、 x4（I）请写出这两个条件的序号，求的解析式； ( )f x（II）求关于的不等式的解集 x2( )(2)23,f xmxmmR参考解析：选.1 分 由的解集为可知的根为 ( )0f x ( 1,3)( )0f x 121,3xx 故顶点.2 分 ( )1f xx 且对称轴，14（， ）法一：设将（3，0）代入上式.4 分 2( )(1)4f xa x得解得.5分 044a1a 所以.6 分 2( )(1)4f xx法二：前述分值同法一 设将代入上式4 分 ( )(1)(3)f xa xx14（， ）得解得.5分 44a 1a 所以.6 分 ( )(1)(3)f xxx法三：由.3 分 21
18、 33444bacaacba 得 所以.6 分 123abc 2( )23f xxx法四：由.3 分 09304abcabcabc 得 所以.6 分 123abc 2( )23f xxx高二数学期末试题 第 10 页 共 6 页 （II）化简得.7 分 2( )(2)23f xmxm2220 xmxm即，对应方程的根为.8 分 20 xmxm12,2xm xm 若，即时，解集为.9 分 2mm0m R若，即时，解集为10 分 2mm0m |2x xmxm 或若，即时，解集为11 分 2mm0m |2x xmxm 或综上，时，解集为； 0m R时，解集为； 0m |2x xmxm 或时，解集为.
19、12 分 0m |2x xmxm 或20.（本小题满分 12 分） 已知 ( )4cos()cos13f xxx（I）设，求的值域； ,6 3x ( )f x（II）设，求的值 2()2123f5cos(2 )3参考解析：（I）.1分 13( )4( cossin )cos123f xxxx 22cos2 3sin cos1xxx.3 分 cos23sin2xx.4 分 2sin(2)6x令，由，.5 分 6tx,6 3x 5,66t 可知，所以.6 分 1sin,12t ( ) 1,2f x （II）解法 1.7分 2()2sin()2sin()2126633f得.8分 1sin()33由.
20、9 分 522()33高二数学期末试题 第 11 页 共 6 页 得.10 分 5cos(2 )cos(2()33.11分 cos2()3 .12 分 27(1 2sin ()39 解法 2.7 分 2()2sin()2sin()2126633f得.8分 1sin()33.9 分 1cos()63由.10分 5cos(2 )cos(22 )33.11 分 cos(2)3.12 分 272cos () 169 21. (本小题满分 12分) 闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关如果刚泡好的茶水温度是，空气的温度是，那么 分钟后茶水的温度1C0Ct
21、（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触C 010kttek状况而定的正常数现有某种刚泡好的红茶水温度是，放在的空气中自然冷却，80 C20 C10分钟以后茶水的温度是 50 C（I）求的值； k（II）经验表明，温度为 的该红茶水放在的空气中自然冷却至时饮用，80 C20 C60 C可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感? （结果精确到，附：参考值） 0.1ln20.7,ln31.1参考解析： （I）依题意， 10500120,80.1 分 1020802050ke高二数学期末试题 第 12 页 共 6 页 化简，.2 分 1012ke得，.3分 110ln2
22、k即， （不扣分）.4 分 ln20.70.071010k ln210k （II）由（I）得.5 分 ln2102060tte，即，.6 分 60t令ln210206060te化简，.7 分 ln21032te.8 分 3ln2ln210t 得11 分 310 ln10ln3ln2101.1 0.74025.7ln2ln20.77t所以，刚泡好的茶水大约需要静置 5.7 分钟才能达到最佳饮用口感. 12 分 22.（本小题满分 12 分） 已知函数 ln ,f xx xxg xee（I）若，成立，求实数的取值范围; 0,1x g xf aa（II）证明：有且只有一个零点，且 ( )sin2h
23、xf xxe0 x03sin22xge参考解析：（I）由在上单调递增，在上单调递减，知xexRxexR xxg xee在上单调递增.1 分 xR在上最小值为.2 分 ( )g x0,1xmin( )(0)0gxg由，成立知3分 0,1x g xf a mingxf a得，即.4 分 0f a ln0,1aa（II） lnsin2h xxxe当时，在恒成立.5 分 xe lnsin1 sin022h xxxxee ,xe当时，在上单调递增， 0 xeln ,sin2xxe0,xe高二数学期末试题 第 13 页 共 6 页 所以在上单调递增，6分 lnsin2h xxxe0,xe又，7 分 1sin02he211 sin02hee （备注：比如也得分） 111( )lnsinln2ln022422ehe 可知存在唯一使8 分 01,1xe00h x即 00lnsin02xxe.9 分 00sin( ln)2xggxe.10 分 00lnlnxxee001xx由 111( )lnsinln2ln022422ehe （备注：直接判断也得分） 1( )02h可知.11分 01,12x 0001sin2xgxex由在上单调递减，所以 001xx1,12001302xx所以.12 分 00013sin22xgxex
