1、凌源市第二高级中学高三年级第一次调研测试凌源市第二高级中学高三年级第一次调研测试数学试题数学试题一一 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合1,2M ，2230NxZ xx，则MN （）A.1,2B.1,3C. 1D.1,2【答案】D【解析】【分析】先求出集合 N，再根据交集定义求出交集即可.【详解】2230130,1,2NxZ xxxZx ，1,2MN.故选：D.【点睛】本题考查交集的运算，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.2. “2211og aog b”是“11ab”的()A. 充分不必要
2、条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由2211og aog b可推出ab，再结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.【详解】若2211og aog b，则0ab，所以110ab，即“2211og aog b”不能推出“11ab”，反之也不成立，因此“2211og aog b”是“11ab”的既不充分也不必要条件.故选 D【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，熟记概念即可，属于基础题型.3. 若向量a，b的夹角为3，且2a ，1b ，则向量a与向量2ab的夹角为（）A.6B.3C.23D.56【答案】A【解析】【分析】根据题中条件得到1
3、a b ，再结合数量积的定义求解两个向量夹角的余弦值即可.【详解】设向量a与向量2ab的夹角等于向量a，b的夹角为3，且2a ，1b ，1a b 222426aabaa b ，222444 12 3abab ，263cos24 32aaba ab ，0,，6，故选：A4. 公元前 5 世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000 米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的 10 倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了 1000 米，此时乌龟便领先他 100 米；当阿基里斯跑完下一个 100 米时，乌龟仍然前于他 10 米.当阿基里斯跑完下一个10
4、 米时，乌龟仍然前于他 1 米，所以，阿基里斯永远追不上乌龟.根据这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为210米时，乌龟爬行的总距离为（）A.410190B.5101900C.510990D.4109900【答案】B【解析】【分析】根据乌龟爬行的距离成等比数列，利用等比数列求和公式即可求得结果.【详解】设乌龟爬行的距离成等比数列 na，则1100a ，110q ，210na，3251100 101000 1010191990010nnaa qSq，即乌龟爬行的总距离为5101900.故选：B.【点睛】本题考查了数学史和等比数列求和公式的应用，关键是明确乌龟爬行的距离成等比数列，进而利用等比数
5、列的知识来进行求解.5. 抛物线22yx的准线方程是（）A.12x B.12x C.18y D.18y 【答案】D【解析】抛物线22yx可化为212xy，焦点在y轴上，112,228pp 抛物线22yx的准线方程是18y ，故选 D.6. 关于函数2sin 314yx，下列叙述有误的是(）A. 其图象关于直线4x 对称B. 其图象关于点,112对称C. 其值域是1,3D. 其图象可由2sin14yx图象上所有点的横坐标变为原来的13得到【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质，逐个判断各个选项是否正确，从而得出【详解】当4x 时，1y ，为函数最小值，故 A 正确；当12x时，sin
6、(3)1124，3y ，所以函数图象关于直线12x对称，不关于点,112对称，故B 错误；函数的值域为1,3，显然 C 正确；2sin14yx图象上所有点的横坐标变为原来的13得到2sin(3) 14yx，故 D 正确综上，故选 B【点睛】本题主要考查正弦函数的图象与性质，牢记正弦函数的基本性质是解题的关键7. 甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如图， 甲乙两组数据的平均数分别为x甲、x乙， 标准差分别为甲、乙，则（）A.x 甲x乙，甲乙B.x 甲x乙，甲乙C.x甲x乙，甲乙D.x甲x乙，甲乙【答案】C【解析】【分析】根据拆线统计图所反应的实际意义，可以看出两同学的平均成绩的高低和其稳定程度，
7、可得选项.【详解】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x甲x乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故甲乙.故选：C.【点睛】本题考查平均数及标准差的实际意义，是基础题.8. 在数列 na中，114a ，1111nnana ，则2018a的值为()A.14B. 5C.45D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】将114a 代入递推关系，依次得到2a，3a，4a，可观察得数列 na是周期为 3 的数列，从而得解.【详解】在数列 na中，由114a ，1111nnana ，可得：23121141515aaaa ，45634511114115145aaaa
8、aa ，所以数列 na是周期为 3 的数列，所以201825aa.故选 B.【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.9. 下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】分析：逐一分析判断每一个命题的真假.详解：对于（1） ，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能异面或相交.所以是错误的.对于（2） ， 与同一个平面夹角相等的
9、两条直线可能互相平行， 也可能相交或异面， 所以是错误的.对于 （3） ，平行于同一个平面的两条直线可能互相平行，也可能异面或相交，所以是错误的.对于（4）两条直线能不一定确定一个平面，还有可能不能确定一个平面,所以是错误的.对于（5） ，垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，还有可能相交,所以是错误的.故答案为 A点睛： （1） 本题主要考查空间位置关系的判断， 意在考查学生对该基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)判断空间位置关系命题的真假，可以直接证明或者举反例.10. 点 A，B，C，D 在同一个球的球面上，AB=BC=6，ABC=90，若四面体 ABCD 体积的最大值为3，则这个
10、球的表面积为A.2B.4C.8D.16【答案】D【解析】由题意，结合圆的性质知当四面体ABCD的体积为最大值时，点D在平面ACD上的射影为AC中点O，则3BO 设球的半径为R，球心为O，则OBODR，23O DR，23DORR ，于是由133ACDSDO， 即211663332RR， 解得2R ， 所以球的表面积为2416R，故选 D11. 曲线214yx= +-与直线(2)4yk x有两个相异交点，则 k 的取值范围是（）A.50,12B.1 3,3 4C.53,12 4纟棼D.5,12【答案】C【解析】【分析】曲线214yx= +-表示半圆，作出半圆，直线过定点(2,4)，由直线与圆的位置
11、关系，通过图形可得结论【详解】曲线214yx= +-是半圆，圆心是(0,1)C，圆半径为 2，直线(2)4yk x过定点(2,4)P，作出半圆与过P的点直线，如图，PD与圆相切，由221 421kk ，解得512k ，即512PDk，( 2,1)A ，4 132( 2)4PAk ，53,12 4k故选：C【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想是解题关键，由于题中曲线是半圆，因此作出图形，便于观察得出结论12. 已知双曲线22221xyab(0a ，0b )的左右焦点分别为1F，2F，P为双曲线右支上的任意一点，若212PFPF的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（）A.1,2B
12、.2,3C.1,3D.2,3【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和基本不等式可得当22PFa，14PFa时，212PFPF取得最小值， 再由1212PFPFFF即可求出离心率范围.【详解】P为双曲线右支上的任意一点，则122PFPFa，即122PFPFa，则2222212222222444248PFaPFaaPFaPFaaPFPFPFPF，当且仅当2224aPFPF，即22PFa时等号成立，此时14PFa，1212 PFPFFF，即62ac，即3e ，13e .故答案为：C.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，
13、c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二二 填空题：填空题：13. 设1zi ，则3z _.【答案】5【解析】【分析】求出3z，利用复数的模长公式可求得3z .【详解】1zi Q，3132zii ，因此，223215z ，故答案为：5.14. 若251()axx的展开式中5x的系数是-80，则实数 a=_.【答案】2【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知项的系数，即可求得参数值.【详解】因为5102 5521551()()rrrrrrrTC axC axx，所以由510522rr，因此
14、25 25C802.aa 故答案为：2.【点睛】本题考查二项式展开式通项公式的应用，属简单题.15. 现有 7 名志愿者， 其中只会俄语的有 3 人， 既会俄语又会英语的有 4 人.从中选出 4 人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2 人担任英语翻译，2 人担任俄语翻译，共有_种不同的选法【答案】60【解析】【分析】考虑多面手（既会俄语又会英语的）的特殊性，按照多面手从事的工作进行分类，分别求出每种情况的选法种数，由分类加法原理即得【详解】因为英语翻译只能从多面手中选，所以有（1）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，没人从事俄语翻译，所以有224318C C 种选法；（2）当选出的多面手 2
15、 人从事英语翻译，1 人从事俄语翻译，所以有12134236C C C 种选法；（3）当选出的多面手 2 人从事英语翻译，2 人从事俄语翻译，所以有246C 种选法；共有 18+36+6=60 种选法【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及到分类讨论思想的运用，选好标准，要做到不重不漏16. 若命题“2,0 xR xxa ”是假命题，则实数a的取值范围是_【答案】1,4【解析】【分析】根据特称命题是假命题进行转化即可【详解】命题“20 xRxxa ，”是假命题，则命题“20 xRxxa， ”是真命题，则1 40a ，解得14a 则实数a的取值范围是14，故答案为14，【点睛】本题主要考的是命
16、题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题三三 解答题：解答应写出文字说明解答题：解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤17. 在ABC中，已知45A，cos45B .（1）求cosC的值；（2）若10BC ，D为AB的中点，求CD的长.【答案】 （1）210 （2）37CD 【解析】试题分析： （）4cos,5B 且(0 ,180 )B，23sin1 cos5BB-2 分coscos(180)cos(135)CABB-3 分2 42 3cos135 cossin135 sin2525BB 210 -6 分（）由（）可得2227si
17、n1 cos1 ()21010CB -8 分由正弦定理得sinsinBCABAC，即10722102AB，解得14AB -10 分在BCD中，7BD ，22247102 7 10375CD ，所以37CD -12 分考点：本题考查了正余弦定理的运用点评：正余弦定理是处理三角形边角关系的重要工具，应用时注意三角形中的性质及角的范围18. 已知等差数列 na的前n项和nS满足30S ，55S （1）求 na的通项公式；（2）求数列21211nnaa的前n项和【答案】(1)2nan； （2）12nn.【解析】【分析】（1）根据等差数列的前 n 项和公式解方程组即可求an的通项公式；（2）求出求数列2
18、1211nnaa的通项公式，利用裂项法即可求前 n 项和 Sn【详解】解： （1）由等差数列的性质可得113305 4552adad ，即11021adad ，解得 a11，d1，则an的通项公式 an1（n1）2n；（2）21211111321 221 232nnaannnn（21232123nnnn ）12（112321nn） ，则数列21211nnaa的前 n 项和 Sn12（1111 1 132321nn ）12（1121n）12nn【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及利用裂项法进行求和，考查学生的计算能力19. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PBC
19、 平面ABCD，PBPD（1）证明：平面PAB 平面PCD；（2）若PBPC，E为棱CD的中点，90PEA，2BC ，求二面角BPAE的余弦值【答案】 （1）见解析； （2）66【解析】【详解】分析： （1）由四边形ABCD为矩形，可得CDBC，再由已知结合面面垂直的性质可得CD 平面PBC，进一步得到CDPB，再由PBPD，利用线面垂直的判定定理可得PB 面PCD，即可证得PAB 平面PCD；（2）取BC的中点O，连接,PO OE，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题得0PEEA ，解得2 2a .进而求得平面PAB和平面PAE的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解二面角APB
20、C的余弦值.详解： （1）证明：四边形 ABCD 是矩形，CDBC.平面 PBC平面 ABCD，平面 PBC平面 ABCD=BC，CD平面 ABCD，CD平面 PBC，CDPB.PBPD，CDPD=D，CD、PD平面 PCD，PB平面 PCD.PB平面 PAB，平面 PAB平面 PCD.（2）设 BC 中点为O,连接,PO OE，,PBPCPOBC，又面PBC面ABCD，且面PBC 面ABCDBC，所以PO 面ABCD.以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，OC为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由（1）知 PB平面 PCD，故 PB112PCPOBC，设ABa=，可得0,0,1
21、 ,1,0 ,1, ,0 ,1,0,0 ,2aPEAaB所以1, 1 ,2,0 ,22aaPEEA 由题得0PE EA ，解得2 2a .所以0,2 2,0 ,1,2 2, 1 ,2,2,0 ,BAPAEA 设, ,nx y zr是平面PAB的法向量，则00n PAn BA ，即2 202 20 xyzy ，可取1,0, 1n .设, ,mx y z是平面PAE的法向量，则00m PAm EA ，即2 20220 xyzxy ，可取1,2,3m .则6cos,6n mn mn m ，所以二面角APBC的余弦值为66.点睛：本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空
22、间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20. 已知直线: l yxm与抛物线28yx交于,A B两点.（1）若10AB ，求m的值（2）若OAOB，求m的值【答案】 （1）716m ； （2）8m .【解析】试题分析： （1）设1122,A x yB xy由28yxmyx可得22280 xmxm，利用韦达定理及弦长公式根据10AB ，列方程求解即可； （2）由OAOB，0OA OB 可得12120 x xy
23、 y，即12120 x xxmxm，利用韦达定理列方程求解即可.试题解析：设1122,A x yB xy（1）28yxmyx22280 xmxm222840mm ，解得：2m由韦达定理得1221282xxmxxm2212121410ABABkxxx x代入解得716m （2）OAOB0OA OB 12120 x xy y12120 x xxmxm2121220 x xm xxm由（1）知21212,82xxmxxm222820mmmm280mm0m 或8m 经检验，0m 时不符合题意，8m .21. 某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放
24、比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同.（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以表示，求的分布列.【答案】 （1）80243； （2）分布列答案见解析.【解析】【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的
25、概率；（2）由题可知，随机变量的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量在不同取值下的概率，由此可得出随机变量的分布列.【详解】 （1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X服从二项分布，即15,3XB，所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率为3225218033243PC；（2）随机变量的可能取值为：0、1、2、3、4，103P，2121339P，221423327P，321833381P，42164381P.所以的分布列如下表所示：01234P13294278811681【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：
26、 （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.22. 已知双曲线2215xy的焦点是椭圆C：22221(0)xyabab的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆C的方程；（2）设动点M，N在椭圆C上，且4 33MN ，记直线MN在y轴上的截距为m，求m的最大值.【答案】(1)2216xy.(2)153.【解析】试题分析： （I）双曲线的焦点为6,0，
27、离心率为305，对于椭圆来说，56,30caea，由此求得1b 和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得,m k的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得,m k一个等量关系，利用k表示m，进而用基本不等式求得m的最大值.试题解析：（）双曲线2215xy的焦点坐标为6,0，离心率为305.因为双曲线2215xy的焦点是椭圆C：22221xyab（0ab）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以6a ，且22306aba，解得1b .故椭圆C的方程为2216xy.（）因为4 323MN ，所以直线MN的斜率存在.因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可
28、设直线MN的方程为ykxm.代入椭圆方程2216xy得221612kxkmx2610m .因为221224 1 6kmk 2124m 22160km，所以221+6mk.设11,M x y，22,N xy，根据根与系数的关系得1221216kmxxk，2122611 6mx xk.则2121MNkxx22121214kxxx x222222411211 61 6mkmkkk.因为4 33MN ，即222222411211 61 6mkmkkk4 33.整理得4222183979 1kkmk.令211kt ，则21kt .所以221875509ttmt15075189tt752 30593 .等号成立的条件是53t ，此时223k ，253m 满足2216mk ，符合题意.故m的最大值为153.
