1、试卷第 1页，共 5页河北省衡水中学河北省衡水中学 2022 届高三上学期高考模拟卷届高三上学期高考模拟卷（三三）数学试数学试题题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题一、单选题1设全集U R，且1,0,1,2A ，22xBx，且AB （）A1,0,1B1,0C1,0D1,0,12已知复数z满足13iiz，则复数z （）A31i44B13i44C31i44D13i443已知向量a，b的夹角为，| 2 3a b，| 2ab，则a b（）A2B2 2C2 3D4 34函数( )sin3cos22xxf x ，Rx的最小正周期为（）A2BC2D45在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱
2、中点的平面截该正方体，则截去8 个三棱锥后，剩下的几何体的体积是A23B76C45D566不等式“122x”是“2log1x ”成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知函数 221 2xf xxx ，则 yf x的图象大致为（）AB试卷第 2页，共 5页CD8已知定义域为R的函数23sincos( )( ,)2cosbxxbxxf xaa bxR有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为 6，则23ab等于（）A7B8C9D6二、多选题二、多选题9已知由样本数据点集合,1,2,iix yin，求得的回归直线方程为1.50.5yx，且3x ，现发现两个数据点
3、1 2,2(2 ).和4.8,(7 )8 .误差较大，去除后重新求得的回归直线l的斜率为 1.2，则下列各选项正确的是（）A变量x与y具有正相关关系B去除后y的估计值增加速度变快C去除后l的方程为1.21.4yxD去除后相应于样本点(2,3.75)的残差平方为 0.062510已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若1222AFBFAF，则（）试卷第 3页，共 5页A11AFBF AB B双曲线的离心率333e C双曲线的渐近线方程为63yx D原点O在以2F为圆心，2AF为半径的圆上11已知函数( )sin (c
4、os2 cossin2 sin )f xxxxxx，xR，关于函数( )f x的性质的以下结论中正确的是（）A函数( )f x的值域是 1,1B4x 是函数( )f x的一条对称轴C函数1( )( )2h xf xx在,2内有唯一极小值35412D函数( )f x向左平移6个单位后所得函数( )g x的一个对称中心为,0612P 为正方体1111ABCDABC D对角线1BD上的一点，且1()0,( 1 )BPBD.下面结论确的是（）A11ADC P；B若1BD 平面 PAC，则13；C若PAC为钝角三角形，则10,2； D 若2,13， 则PAC为锐角三角形.三、填空题三、填空题13在等比数
5、列 na中，2214aa a，则 na的公比为_1463xx的二项展开式中2x的系数为_15已知函数1( )sin26f xx在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足2coscosacCbB，则(A)f的取值范围是_16 设直线l与抛物线24yx相交于,A B两点， 与圆22250 xyrr相切于点M，且M为线段AB的中点. 若这样的直线l恰有 4 条，则r的取值范围是_.四、解答题四、解答题17已知在ABC中，2CA，3cos4A ，且227BA CB .（1）求cosB的值；（2）求AC的长度.试卷第 4页，共 5页18已知数列 na满足12a ，121nnaan（nN）.（1
6、）证明：数列nan是等比数列，并求出数列 na的通项公式；（2）数列 nb满足：22nnnban（nN） ，求数列 nb的前n项和nS.19在直角梯形PBCD中，2DC ，2BCCD，4PD ，A为PD的中点，如图 1将PAB沿AB折到SAB的位置，使SBBC，点E在SD上，且13SESD ，如图 2（1）求证：SA平面ABCD；（2）求二面角EACD的正切值20某种项目的射击比赛，开始时选手在距离目标100m处射击，若命中则记 3 分，且停止射击若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但需在距离目标150m处，这时命中目标记 2 分，且停止射击若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时需在
7、距离目标200m处，若第三次命中则记 1 分，并停止射击若三次都未命中则记 0 分，并停止射击已知选手甲的命中率与目标的距离的平方成反比，他在100m处击中目标的概率为12，且各次射击都相互独立（1）求选手甲在射击中得 0 分的概率；（2）设选手甲在比赛中的得分为，求的分布列和数学期望21设函数 2lnf xaxx，其中1.2a （1）当2a 时，求函数 fx的单调区间；（2）设 fx的最小值为 g a，证明函数 g a在1,2a上没有零点.22已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,2)Q，焦点分别为1(,0)Fc，2( ,0)F c短轴端点分别为1B，2B，24ab（1）求椭圆C
8、的方程；（2）过点2,0aPc的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当线段MN的中点落在四试卷第 5页，共 5页边形1122FB F B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围答案第 1页，共 13页参考答案参考答案1C【分析】求出集合B，利用交集的定义可得结果.【详解】221xBxx x，因此，1,0AB .故选：C.2A【分析】利用复数的除法化简可得出复数z.【详解】由已知可得i 13ii31i4413i13i 13iz.故选：A.3A【分析】将| 2 3a b，| 2ab两边平方再解方程组即可.【详解】由| 2 3a b，得22212a bba ，由| 2ab，得2224aa bb，从而有
9、48a b，即2a b =故选：A4D【分析】利用辅助角公式化简( )f x，再由正弦函数的周期公式即可求解.【详解】( )sin3cos2sin2223xxxf x，答案第 2页，共 13页所以( )f x的最小正周期为2412，故选：D5D【详解】由题意几何体的体积，就是正方体的体积减去 8 个正三棱锥的体积，V 正方体8V 三棱锥1111151 8322226 .考点：组合几何体的面积、体积问题6B【分析】分别解不等式后即可判断.【详解】由122x，可得1x ，充分性不成立；由2log1x ，可得2x ，可得1124x，必要性成立故选：B7C【分析】利用特殊值法结合排除法可得出合适的选项
10、.【详解】 212xfxx，则 00f， 2223250f，排除 A 选项， 266720f，排除 D 选项，33314164103927292f，排除 B 选项.故选：C.8D【分析】答案第 3页，共 13页先将函数( )f x变形为3sin( )2cosxf xax，再根据奇函数的性质求出3a 即可得解.【详解】定义域为R的函数23sincos3sin( )( ,)2cos2cosbxxbxxxf xaabxa bxxR有最大值和最小值，所以0b则3sin( )2cosxf xax，令( )( )g xf xa，则( )g x是奇函数，故maxmin( )( )0g xg x，故maxmi
11、n( )( )20f xf xa，又maxmin( )( )6f xf x，故3a 所以236ab.故选：D9AC【分析】重新求解的回归方程l的斜率大于 0，故具有正相关关系；且1.51.2，所以去除后y的估计值增加速度变慢；根据线性回归方程一定过样本中心点求解去除后重新求得的回归直线l；利用新的线性回归方程求解残差平方.【详解】因为重新求得的回归方程l的斜率为 1.2，故变量x与y具有正相关关系，故选项 A 正确；因为1.51.2，所以去除后y的估计值增加速度变慢，故选项 B 错误；将3x 代入回归直线方程1.50.5yx，解得5y ，则样本中心为(3,5)，去掉两个数据点1 2,2(2 )
12、.和4.8,(7 )8 .后，样本中心还是(3,5)，又去除后重新求得的回归直线l的斜率为 1.2，所以53 1 2 .a ，解得1.4a ，所以去除后的回归方程为1.21.4yx，故选项 C 正确；因为1.2 2 1.43.8y ，所以3.753.80.05yy ，则残差的平方为 0.0025，故选项 D 错误故选：AC10AB【分析】根据双曲线定义及题干中的线段的长度关系，可以得到11AFBF AB ；利用余弦定理得到c与a的关系，进而得到离心率和渐近线，从求出的离心率可以得到 D 选项的正误.【详解】设12222AFBFAFm，则22|3ABAFBFm，由双曲线的定义知，12AFAF 2
13、2mma，即2ma，答案第 4页，共 13页122BFBFa，即122BFma，13|BFmAB，11AFBF AB ，故选项 A 正确；由余弦定理，知在1ABF中，22222211111|4991cos22 233AFBFABmmmAFBAFBFmm，在12AF F中，22222212121112441coscos22 23AFAFFFmmcF ABAFBAFAFm m，化简整理得222121144cma，离心率4433123cea，故选项 B 正确；双曲线的渐近线方程为byxa 22222 613caxexxa ，故选项 C 错误；若原点O在以2F为圆心，2AF为半径的圆上，则2cma，与
14、333ca不符，故选项 D 错误故选：AB11BC【分析】先将函数( )f x变形1( )sin22f xx，再根据其性质判断即可.【详解】1( )(cos2 cossin2 sin )sincos sinsin22f xxxxxxxxx.对于 A，函数( )f x的值域为1 1, 2 2，故 1,1不正确；对于 B，对称轴为22xk，24kx ，k Z，当1k 时，4x ，故 B 正确；对于 C，11( )sin222h xxx，1( )cos22h xx， 令( )0h x， 得6xk，k Z， 令( )0h x，得66kxk，k Z；令( )0h x，得6kxk56，k Z，当56x时，
15、( )h x有极小值5356412h ，故 C 正确；对于 D，11( )sin2sin262g xx23x，23xk，26kx，其对称中心为,026kkZ，故 D 不正确答案第 5页，共 13页故选：BC12ABD【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，再根据1)0,1()BPBD 用表示P的坐标，利用向量法逐项判断后可得正确的选项.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则1BPBD ，设正方体的棱长为 3，则1110,0,0 ,3,0,0 ,0,3,0 ,3,3,0 ,0,0,3 ,3,0,3 ,0,3,3DACBDAC，故13, 3,3BD ，所以3 , 3 ,3BP ，故3 3 ,3 3
16、 ,3P，故13 3 , 3 ,33C P，而13,0, 3AD ，1199990AD C P ，所以11ADC P，故 A 正确.3 ,33 ,3AP ，3,3,0AC uuu r，33,3 , 3PC ，因为1BD 平面PAC，故11,BDAP BDAC ，所以 333333 3033333 00 ，解得13，故 B 正确.答案第 6页，共 13页由正方体的对称性可知PAPC，故PAC为等腰三角形且PACPCA .若PAC为钝角三角形，则APC为钝角，则0PA PC 即2320，解得203，故 C 错，若2,13，则0PA PC ，故APC为锐角，故PAC为锐角三角形.故 D 正确.故选：
17、ABD.【点睛】思路点睛：与正方体有关的计算与判断问题，可建立合适的空间直角坐标系，把位置关系问题转化为向量的计算问题.131【分析】先设等比数列的公比为q，根据题中条件，由等比数列的通项公式，即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为q，因为2214aa a，所以222311a qa q，解得：1q ，即等比数列 na的公比为1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记公式即可，属于基础题型.14135【分析】利用二项式展开式的通项公式求出2x的系数.【详解】63xx展开式的通项为66 21663CC3rrrrrrrTxxx，易知622r，所以2r = =，含2x项的系数为
18、226C ( 3)159135故答案为：135答案第 7页，共 13页151,12【分析】先利用正弦定理将边角关系转化为角与角的关系，利用两角和的正弦公式、诱导公式求出3B ，再根据20,3A和正弦函数的图象和性质求其范围.【详解】由2coscosacCbB及正弦定理，得2sinsincossincosACCBB，即2sincossincossincosABCBBC，即2sincossincossincossinABCBBCA，所以1cos2B ，即3B ，所以20,3A，所以1,266 2 A，所以1( ),12f A故答案为：1,12.16 （2，4）【详解】设直线l的方程为xtym，11
19、A xy，22B xy，把直线l的方程代入抛物线方程24yx，整理可得：2440ytym则216160tm，124yyt，124y ym 则 2121242xxtymtymtm线段AB的中点222Mtm t，由题意可得直线AB与直线MC垂直，且5 0C，当0t 时，有1MCABKK 即2201125ttmt ，整理得232mt答案第 8页，共 13页把232mt代入到216160tm可得230t，即203t由于圆心C到直线AB的距离等于半径即22225222 111mtdtrtt24r，此时满足题意且不垂直于x轴的直线有两条当0t 时，这样的直线l恰有2条，即5xr，05r 综上所述，若这样的
20、直线l恰有4条，则r的取值范围是2 4，点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题设直线l的方程为xtym，11A xy，22B xy，把直线l的方程代入抛物线方程24yx， 根据判别式求得线段AB的中点M的坐标， 分别讨论0t 时，0t 时r的取值范围，即可得到答案17 （1）916； （2）5.【分析】（1）利用2CA，结合二倍角的余弦公式可得cosC，再利用coscosBAC 进行计算即可；（2） 由正弦定理得到AB与BC的关系， 再利用已知数量积得到向量模的积， 从而解出AB与BC，再由余弦定理求得AC.【详解】（1）2CA，21c
21、oscos22cos18CAA ，3 7sin8C ，7sin4A，9coscos16BAC ；（2）sinsinABBCCA，32ABBC，227BA CB ，9cos16B ，24BA CB ，23242BC ，解得：4BC ，故3462AB ，答案第 9页，共 13页2292cos16362 4 6516ACBCABBC ABB .【点睛】本题考查平面向量的应用，考查正、余弦定理的应用，考查简单的三角恒等变换，考查运算能力，属于常考题.18(1)证明见解析，12nnan；(2)222nnnS.【分析】(1)将给定等式变形为1(1)2()nnanan， 计算11a 即可判断数列类型， 再求
22、出其通项而得解；(2)利用(1)的结论求出数列 nb的通项，然后利用错位相减法求解即得.【详解】(1)因数列 na满足12a ，121nnaan，则1(1)2()nnanan，而11 1a ，于是数列nan是首项为 1，公比为 2 的等比数列，11 2nnan ，即12nnan，所以数列nan是等比数列，12nnan，nN；(2)由(1)知122)2(2nnnnbnnn，231232222nnnS 则234112312221222nnnSnn于是得231111111 ( ) 111112221112222222122122nnnnnnnnnnnnS ，222nnnS，所以数列 nb的前n项和2
23、22nnnS.19 （1）见解析（2）2 2【详解】试题分析： （1）证明：在图中，由题意可知，答案第 10页，共 13页,BAPD ABCD为正方形，所以在图中，,2SAAB SA，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，因为SBBC，ABBC，所以 BC平面 SAB，又SA平面 SAB，所以 BCSA，又 SAAB，所以 SA平面 ABCD，（2）在 AD 上取一点 O，使13AOAD，连接 EO因为13SESD ，所以 EO/SA所以 EO平面 ABCD，过 O 作 OHAC 交 AC 于 H，连接 EH，则 AC平面 EOH，所以 ACEH所以EHO为二面角 EACD 的平面角，24
24、33EOSA在Rt AHO中，22245 ,sin45323HAOHOAO11 分tan2 2EOEHOOH，即二面角 EACD 的正切值为2 2考点：线面垂直的判定及二面角求解点评：本题中第二问求二面角采用的是作角求角的思路，在作角时常用三垂线定理法；此外还可用空间向量的方法求解； 以 A 为原点 AB,AD,AS 为 x,y,z 轴建立坐标系， 写出各点坐标，代入向量计算公式即可20（1）49144（2）分布列见解析，85( )48E【分析】答案第 11页，共 13页（1）先由在 100m 处击中目标的概率为12求出25000( )P xx，进而求出( )P B，(C)P，再利用相互独立事
25、件同时发生的概率进行求解；（2）先写出的可能取值，求出每个变量的概率，列表得到分布列，再利用期望公式进行求解.（1）解：记选手甲第一、二、三次射击命中目标分别为事件A、B、C，三次都没有击中目标为事件D，则1( )2P A 设选手甲在xm 处击中目标的概率为( )P x，则2( )kP xx由100 x m 时1( )2P A ，得211002k，所以5000k ，25000( )P xx，所以2( )9P B ，1( )8P C 由于各次射击都是相互独立的，所以选手甲在射击中得 0 分的概率为( )()P DP A B C17749298144（2）解：由题设知，的可能取值为 0，1，2，3
26、1(3)2P，121(2)299P，1717(1)298144P，49(0)144P则的分布列为0123P4914471441912所以数学期望为71185( )1231449248E 21 （1）( )f x在1,2上单调递增，在10,2上单调递减， （2）证明见解析【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式即可得答案；答案第 12页，共 13页（2）由min1111( )( )()ln(1 ln2 )2222g af xfaaaaa，通过a的范围，从而得答案【详解】解： （1）由 22lnf xxx（0 x ） ，得 21414xfxxxx，由( )0fx ，得12x ，由( )
27、0fx ，得102x，所以( )f x在1,2上单调递增，在10,2上单调递减，（2）由 2lnf xaxx（0 x ） ，得2121( )2axfxaxxx，由( )0fx ，得12xa，由( )0fx ，得102xa，所以( )f x在1,2a上单调递增，在10,2a上单调递减，所以min1111( )( )()ln(1 ln2 )2222g af xfaaaaa因为12a ，所以ln20a ，所以( )0g a ，所以函数 g a在1,2a上没有零点22（1）22184xy（2）3 13 1,22【分析】（1）把(2,2)Q代入椭圆方程结合24ab求出28a ，24b ，得到椭圆方程；
28、（2）设出直线l的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到两根之和，进而得到MN的中点坐标，利用中点在四边形1122FB F B内（包括边界） ，得到直线l斜率的取值范围.（1）由题设条件知，24ab，22421ab，解得：28a ，24b 故椭圆C的方程为22184xy（2）答案第 13页，共 13页易证四边形1122FB F B为正方形，点P的坐标( 4,0)，显然直线l的斜率k存在，设直线l的方程为(4)yk x如图，设点M，N的坐标分别为11,x y，22,xy，线段MN的中点为00,G xy，由22(4)184yk xxy，得22221 2163280kxk xk，由2222164 123280kkk ，解得2222k因为1x，2x是方程的两根，所以21221612kxxk ，于是212028212xxkxk ，0024412kyk xk因为2028012kxk ，所以点G不可能在y轴的右边，又直线12FB，11F B的方程分别为2yx，2yx ，所以点G在正方形1122FB F B内（包括边界）的充要条件为000022yxyx 即2222224821 21 24821 21 2kkkkkkkk ，亦即2222102210kkkk 解得313122k，此时也成立，故直线l斜率的取值范围3 13 1,22
