1、CH03. 大气方程组大气方程组四、湍流偏差和方差预报方程四、湍流偏差和方差预报方程五、湍流动能预报方程五、湍流动能预报方程六、湍流方程组的封闭方法六、湍流方程组的封闭方法四、湍流偏差和方差预报方程四、湍流偏差和方差预报方程以运动方程为例，推导速度偏差和速度方差的预报方程以运动方程为例，推导速度偏差和速度方差的预报方程用用 的预报方程减去的预报方程减去 的预报方程，即得到偏差的预报方程，即得到偏差 的预报方程的预报方程 iiuu iu iu ) () (1) (1) () () (2233jiiijjijvvijiijjiixuuxpPuufgxuuuutuu 12233jjijiijijij
2、ijixuuxuxPufgxuutu上式减去下式就得到速度偏差的预报方程上式减去下式就得到速度偏差的预报方程 x1j2233jijiijijvvijijjijjijiuuxuxpufgxuuxuuxuutu得到速度偏差的预报方程：得到速度偏差的预报方程：速度偏差预报方程两边乘以速度偏差预报方程两边乘以 ，方程两边，方程两边再取雷诺平均，整理后得到速度方差再取雷诺平均，整理后得到速度方差 的预报方程的预报方程 2iu 2iu x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuuxuuutuututuuiii22速度
3、方差的局地变化速度方差的局地变化 x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuuxuuutuujijjiijxuuxuuu22速度方差的平流速度方差的平流 x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuuxuuutuujijijijixuuuxuuu22雷诺应力与平雷诺应力与平均风切变的相均风切变的相互作用互作用 x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuu
4、ufguxuuuxuuuxuuutuujjijijjijjijixuuxuuxuuxuuu2222方差与脉动场相互作用方差与脉动场相互作用0 x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuuxuuutuu 2233vivivviiuggu热通量热通量对垂直对垂直速度方速度方差的影差的影响响 x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuuxuuutuu科氏力科氏力对方差对方差的影响的影响 2233jiijjiijuufuuf
5、 x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuuxuuutuu气压扰动气压扰动对方差的对方差的影响影响 222iiiiiixupxpuxpu x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuuxuuutuu分子粘性分子粘性对方差的对方差的影响影响2222222 2jijijiixuxuxuu x222222222j2233jiijiiiijiijvviijijijijijiijiiuuuxuuxpuuufguxuuuxuuu
6、xuuutuu0222232322222222jijiiiiijiijjijjijivivijijixuxuxupxpuuufxuuxuuuugxuutu速度方差的预报方程速度方差的预报方程i=1,2,3分别代表分别代表3个个方向的速度方差。这方向的速度方差。这是相当复杂的方程，是相当复杂的方程，一般要做简化处理一般要做简化处理.2322vivijijiugxuutuFrom Atmospheric Science. Wallace, 2005.p382热通量热通量对速度对速度方差的方差的影响影响（浮力（浮力通量）：通量）：只对垂只对垂直速度直速度方差有方差有影响，影响，可正可可正可负。负。雷
7、诺应力与平均风切变的相互作用（机械产生项）：雷诺应力与平均风切变的相互作用（机械产生项）：总是正贡献！总是正贡献！.222jijijijixuuuxuutu为什么总是正贡献？为什么总是正贡献？.222jijjijixuuxuutu湍流输送项：湍流输送项：描述湍流涡旋描述湍流涡旋 如何影响速度方差如何影响速度方差该项可正可负。该项可正可负。ju2iu科氏力项：科氏力项：只在水平方向，即只在水平方向，即x和和y方向起作用。但两个方向起作用。但两个方向影响之和为方向影响之和为0，也即科氏力不做功！科氏力对总速度，也即科氏力不做功！科氏力对总速度方差没有影响。科氏力项比方程中其它项小很多，一般方差没有
8、影响。科氏力项比方程中其它项小很多，一般忽略。忽略。.2322jiijjijiuufxuutu22 , 13vufuufijiij22 , 23uvfuufijiij压强相关项：压强相关项：气压扰动引起速度扰动，反之亦然。包含气压扰动引起速度扰动，反之亦然。包含两项。其中第二项在两项。其中第二项在3个方向的总和为个方向的总和为0，也称为压强再，也称为压强再分配项或恢复各向同性项。分配项或恢复各向同性项。.2222iiiijijixupxpuxuutu分子粘性作用：分子粘性作用：包括两项，及方差的分子粘性扩散、方包括两项，及方差的分子粘性扩散、方差的分子粘性耗散。前者远小于后者！粘性耗散永远为差
9、的分子粘性耗散。前者远小于后者！粘性耗散永远为负值！负值！.2222222jijijijixuxuxuutu速度方差分子扩散10-1110-7速度方差粘性耗散10-610-2湍流动湍流动能耗散能耗散率定义：率定义：2222222222zwywxwzvyvxvzuyuxuxuji位温方差、水汽方差、标量方差预报方程，请自行推导位温方差、水汽方差、标量方差预报方程，请自行推导2*222222jjjpjjjjjjxxFcxuxuxut222222jqjjjjjjxqxquxquqxqutq222222jcjjjjjjxcxcuxCucxcutc五、湍流动能预报方程五、湍流动能预报方程22223232
10、2222222jijiiiiijiijjijjijivivijijixuxuxupxpuuufxuuxuuuugxuutu3个方差预报方程相加除以2即得到湍流动能的预报方程22221wvue22221wvue21jiiijjjijivvjjxuxpuxeuxuuuwgxeuteiijjjijivvjjxpuxeuxuuuwgxeute1TKE局地变化项局地变化项TKE平均风平流项平均风平流项浮力产生或消耗项浮力产生或消耗项机械或切变产生项机械或切变产生项湍流输运项湍流输运项压强相关项压强相关项分子粘性耗散项分子粘性耗散项TKE方程的简化：方程的简化：x取为平均风方向，假设水平均匀，无上升取为平
11、均风方向，假设水平均匀，无上升或下沉运动，则或下沉运动，则TKE方程的简化形式为：方程的简化形式为：zpwzewzuwuwgtevv1TKE储存项：储存项：teTKE随时间的变随时间的变化，取决于各影化，取决于各影响因子。白天响因子。白天TKE大，夜间大，夜间TKE小。在水平小。在水平均匀下垫面，均匀下垫面，TKE随时间的变随时间的变化很小。化很小。TKE的平流项：的平流项：对该项的了解还不是很多。大范围水平均匀时，往往忽略该项。对该项的了解还不是很多。大范围水平均匀时，往往忽略该项。较小尺度范围时，一般不能忽略，或者非均匀下垫面如城市、海较小尺度范围时，一般不能忽略，或者非均匀下垫面如城市、
12、海陆、山区时，也不能忽略。陆、山区时，也不能忽略。jjxeu浮力产生或消耗项：浮力产生或消耗项：该项符号取决于浮该项符号取决于浮力通量的符号！力通量的符号！vvwgzuwuxuuujiji机械或剪切项：总是正的机械或剪切项：总是正的自由对流和强迫对流的近似状况自由对流和强迫对流的近似状况zew湍流输送项：湍流输送项：对某层大气而言，该对某层大气而言，该项可正可负。但对整项可正可负。但对整个边界层而言，该项个边界层而言，该项为为0zpw1压强相关项：压强相关项：大气的静压脉动很小（大气的静压脉动很小（0.010.05hPa），极难测量，对该项的了解），极难测量，对该项的了解很少。很少。耗散项：总
13、是负耗散项：总是负2jixu平均动能与湍流的相互作用平均动能与湍流的相互作用 12233jjijiijijijijixuuxuxPufgxuutu平均动能： 5 . 0)0.5(MKE2222iuwvuE由平均风预报方程，可以得到MKE预报方程。 2233jjiijiiiijiijiijjxuuuxuuxPuuufugxEutE.jijijjxuuuxeute jijijjiijjiixuuuxuuuxuuu对比TKE的预报方程：说明平均风说明平均风失去的动能失去的动能转给了湍流转给了湍流平均动能湍流动能做功热能重力、气压、雷诺应力浮力、气压、雷诺应力分子粘性分子粘性涡旋粘性能量传输示意图能量
14、传输示意图关于稳定性的概念关于稳定性的概念层流（片流）和湍流的差异：层流（片流）和湍流的差异：分子扩散分子扩散在层流中起重要在层流中起重要作用，而作用，而湍流扩散湍流扩散在湍流流动中起重要作用。层流和湍在湍流流动中起重要作用。层流和湍流之间可以相互转化，取决于湍流动能的收支项的相对流之间可以相互转化，取决于湍流动能的收支项的相对大小。因而引入了一些量表征稳定性的概念，比如雷诺大小。因而引入了一些量表征稳定性的概念，比如雷诺数、理查逊数、罗斯贝数等。数、理查逊数、罗斯贝数等。静力稳定度和动力稳定度静力稳定度和动力稳定度静力稳定度是浮力对流能力的一种量度，不涉及静力稳定度是浮力对流能力的一种量度，
15、不涉及“运运动动”，因而与风无关。，因而与风无关。“动力动力”是对运动讲的，因此，是对运动讲的，因此，动力稳定度部分地取决于风，即时空气是静力稳定的，动力稳定度部分地取决于风，即时空气是静力稳定的，动力上风切变也能产生湍流。动力上风切变也能产生湍流。 z 静力稳定度，可以由密度或者气温的垂直递减率判断静力稳定度，可以由密度或者气温的垂直递减率判断静力稳定静力稳定静力不稳定静力不稳定动力稳定度及动力稳定度及 Kelvin-Helmholtz 波：波：实验室试验。密度大的流体位于密实验室试验。密度大的流体位于密度小的流体之上（静力稳定的），度小的流体之上（静力稳定的），然后使其产生相对运动，则在界
16、面然后使其产生相对运动，则在界面处出现处出现KH波。这是动力不稳定（速波。这是动力不稳定（速度切变）导致的。（另：晴空湍流）度切变）导致的。（另：晴空湍流）clouds over Mount Duval in Australia. Wikipedia. 静力和动力两种不稳定，类似于化学过程中的静力和动力两种不稳定，类似于化学过程中的LeChatelier定定律律：“如果把某一应力作用于处于平衡状态的系统，该系统将向如果把某一应力作用于处于平衡状态的系统，该系统将向尽量减少应力影响的方向上变化尽量减少应力影响的方向上变化”。湍流就是一种流体流动力图。湍流就是一种流体流动力图破坏不稳定的起因。在静
17、力不稳定情况下，对流使更多的浮力流破坏不稳定的起因。在静力不稳定情况下，对流使更多的浮力流体向上移动，从而能使系统稳定下来。对动力不稳定而言，湍流体向上移动，从而能使系统稳定下来。对动力不稳定而言，湍流会使风切变减弱，从而也能使系统稳定下来。所以，湍流起着消会使风切变减弱，从而也能使系统稳定下来。所以，湍流起着消灭自身的作用，不稳定系统稳定之后，湍流就趋于消失。灭自身的作用，不稳定系统稳定之后，湍流就趋于消失。 假设边界层中有长期湍流观测结果，我们推测必定有外力使假设边界层中有长期湍流观测结果，我们推测必定有外力使边界层长期不稳定是合乎逻辑的。在静力不稳定情况下，太阳对边界层长期不稳定是合乎逻
18、辑的。在静力不稳定情况下，太阳对地面的加热就是这种外力，在动力不稳定情况下，天气尺度系统地面的加热就是这种外力，在动力不稳定情况下，天气尺度系统产生的气压梯度，形成风以克服湍流的耗散作用。产生的气压梯度，形成风以克服湍流的耗散作用。动力稳定性参数：动力稳定性参数：Richardson数数通量通量Richardson数：数：Rfiijjjijivvjjxpuxeuxuuuwgxeute1TKE局地变化项局地变化项TKE平均风平流项平均风平流项浮力产生或消耗项浮力产生或消耗项机械或切变产生项机械或切变产生项湍流输运项湍流输运项压强相关项压强相关项分子粘性耗散项分子粘性耗散项jijivvfxuuuw
19、gRzvwvzuwuwgRvvf简化：Rf=1是临界值，即机械产生率平衡了湍流动能的浮力消耗是临界值，即机械产生率平衡了湍流动能的浮力消耗Rf1，流动是层流（动力稳定），流动是层流（动力稳定）静力不稳定流动总是动力不稳定的。静力不稳定流动总是动力不稳定的。Rf的缺点，可以判断湍流是否能变成层流，但反过来，不的缺点，可以判断湍流是否能变成层流，但反过来，不能判断层流是否能变成湍流能判断层流是否能变成湍流梯度梯度Richardson数：数：RizvwvzuwuwgRvvfzKwvHvzuKwuMzvKwvM222zvzuzgRvviiMHfRKKR利用了利用了K理论（或涡动扩散理论）理论（或涡动扩
20、散理论）理论和实验指出，当理论和实验指出，当Ri小于临界理查逊数小于临界理查逊数RC时，层流不时，层流不稳定导致湍流开始，另一个值稳定导致湍流开始，另一个值RT指示湍流终止时的临界指示湍流终止时的临界理查逊数。理查逊数。RiRT 时，时， 湍流变成层流湍流变成层流RC =0.210.25RT =1.0RiRC=0.25RT=1.0湍流湍流层流层流？表观滞后表观滞后：若当前即为湍流状态，若想继续维持，则只若当前即为湍流状态，若想继续维持，则只需要需要Ri1.0，及浮力抑制小于机械产生；若当前为层流，及浮力抑制小于机械产生；若当前为层流状态，状态， Ri必须降到必须降到RT以下（以下（ RC ）才
21、能出现湍流，一旦）才能出现湍流，一旦湍流形成，则湍流可以一直持续到湍流形成，则湍流可以一直持续到RT为止。为止。总体总体Richardson数：数：RBzvwvzuwuwgRvvf222zvzuzgRvviiMHfRKKR用差分代替微分，一种近似用差分代替微分，一种近似)()(22vuzgRvvB例：在稳定边界层中，已知：例：在稳定边界层中，已知： 1 -*1 -*-1-2 ms4 . 0,s )4 . 0/(/,Kms 033. 0/uzuzugv v温度递减率温度递减率c1不随高度变化，高度每上升不随高度变化，高度每上升200m则则 递增递增6，湍流层厚度是多少？，湍流层厚度是多少？22-
22、22*122)m 00099. 0()4 . 0/4 . 0(03. 0033. 04 . 0zzucgzuzgRvvvim9 .1525. 0)m1010()m1010(221cRzm8 .310 . 1)m1010()m1010(222TRz15.9m以下为湍流层；以下为湍流层；31.8m以上为层流层；以上为层流层；二者之间不确定！二者之间不确定！Richardson数、雷诺数及静力和动力稳定性数、雷诺数及静力和动力稳定性六、湍流方程组的封闭方法六、湍流方程组的封闭方法 vdTRP 0jjxu 12233jjijiijijijijixuuxuxPufgxuutu 1*22jjpjjpjjj
23、xucLExFcxxut 22jjqjqjjxquESxqxqutq 22jjcjcjjxcuSxCxCutC平均量方程组：平均量方程组：未知量个数大于方程个数，导致湍流方程组的不闭合问未知量个数大于方程个数，导致湍流方程组的不闭合问题，要想求解方程组，必须用已知量近似表示其余未知题，要想求解方程组，必须用已知量近似表示其余未知变量（不能再出现其它预报方程）。变量（不能再出现其它预报方程）。局地闭合方法局地闭合方法：在空间任何一点的一个未知量被同一地：在空间任何一点的一个未知量被同一地点的已知量进行参数化；点的已知量进行参数化；非局地闭合方法非局地闭合方法：在一点的未知量被空间许多点的已知：在
24、一点的未知量被空间许多点的已知量参数化，它假设湍流是涡的相互叠加，每一个涡都象量参数化，它假设湍流是涡的相互叠加，每一个涡都象平流过程那样输送着流体。平流过程那样输送着流体。闭合的参数化法则：闭合的参数化法则：l在物理上必须合理；在物理上必须合理；l与未知量有相同量纲；与未知量有相同量纲；l有相同的张量特性；有相同的张量特性；l有相同的对称性；有相同的对称性；l在坐标系任意变换时不变；在坐标系任意变换时不变；l满足同样的收支方程或约束。满足同样的收支方程或约束。注意：湍流闭合参数化方案不是唯一的！注意：湍流闭合参数化方案不是唯一的！1阶闭合：阶闭合：K理论理论 )( )(zwvuuftvzwu
25、vvftugg这是一组简化的水平运动方程，未知数这是一组简化的水平运动方程，未知数4个，但只有个，但只有2个方程，个方程，需要补充需要补充2个方程，才能求解。个方程，才能求解。zvKwvzuKwuMM将湍流微团的运动比作分子的运动：将湍流微团的运动比作分子的运动：zu/KM称为湍流扩散系数或涡动粘性系数或涡动输送系数。称为湍流扩散系数或涡动粘性系数或涡动输送系数。此方法简称此方法简称K理论或梯度输送理论或理论或梯度输送理论或涡动扩散理论。涡动扩散理论。其理论基础为其理论基础为Prandtl于于1925年提出的混合长理论，年提出的混合长理论，这这是一种是一种局地闭合理论。局地闭合理论。 )()(zwvuuftvzwuvvftugg )()(zvKzuuftvzuKzvvftuMgMg如果知道如果知道KM的形式，的形式，则这个方程则这个方程组就可以求组就可以求解了！解了！第三章第三章 大气方程组大气方程组结束结束Thank you
