1、高三数学试卷 第 1 页（共 4 页） 唐山市 2022 年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练 数 学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2、解答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号解答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 z 在复平面内对应的点为(1，2)，则 5 z A12i B12i C12i D2
2、i 2已知集合 Ax|x25x60，Bx|4x4，则 AB Ax| |2x3 Bx| |3x2 Cx| |1x4 Dx| |4x1 3圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为 A11 B12 C21 D23 4已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，点 A(1，3)在角 的终边上，则 sin2 A 3 10 B 3 5 C 3 10 D 3 5 5已知向量 a(2，1)，| |b| | 10，| |ab| |5，则 a 与 b 的夹角为 A45 B60 C120 D135 6已知 F 为双曲线 C：x2a2y2b21（a0，b0）的右焦点，A 为双曲
3、线 C 上一点，直线AFx 轴，与双曲线 C 的一条渐近线交于 B，若| |AB| | |AF| |，则 C 的离心率 e A4 1515 B2 33 C52 D2 高三数学试卷 第 2 页（共 4 页） 7已知函数 f(x)x3ax2xb 的图象关于点(1，0)对称，则 b A3 B1 C1 D3 8在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，M 为棱 BB1的中点，平面 A1DM 将该正方体分成两部分，其体积分别为 V1，V2， （V1V2） ，则 V1 V2 A519 B 1 3 C717 D 1 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合
4、题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分 9 有一组互不相等的数组成的样本数据 x1， x2， ， x9， 其平均数为 a （axi， i1， 2， ，9） ，若插入一个数 a，得到一组新的数据，则 A两组样本数据的平均数相同 B两组样本数据的中位数相同 C两组样本数据的方差相同 D两组样本数据的极差相同 10设函数 f(x)2sin(3x 4)，则 Af(x)在 9， 9上单调递增 Bf(x)在0，2内有 6 个极值点 Cf(x)的图象关于直线 x 12对称 D将 y2sin3x 的图象向右平移 4个单位，可得 yf(x)的图象 11已知直线 l：xty4 与抛
5、物线 C：y24x 交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O 为坐标原点，直线 OA，OB 的斜率分别记为 k1，k2，则 Ay1y2为定值 Bk1k2为定值 Cy1y2为定值 Dk1k2t 为定值 12已知 a1，x1，x2，x3为函数 f(x)axx2的零点，x1x2x3，下列结论中正确的是 Ax11 Bx1x20 C若 2x2x1x3，则x3x2 21 Da 的取值范围是(1，e 2 e) 高三数学试卷 第 3 页（共 4 页） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13设函数 f(x)x21，x0，lgx，x0若 f(a)0，则 a_ 14记 Sn是公差不
6、为 0 的等差数列an的前 n 项和，若 a3S5，a1a4a5，则 an_ 15为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取 k（kN*）包食品，并测量其质量（单位：g） 根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布 N(，2)假设生产状态正常，记 表示每天抽取的 k 包食品中其质量在(3，3)之外的包数，若 的数学期望 E()0.05，则 k 的最小值为_ 附：若随机变量 X 服从正态分布 N(，2)，则 P(3X3)0.9973 16已知 A(2，0)，B(2，0)，P(x0，y0)是圆 C：(x1)2y23 上的动点，当| |PA| | |PB| |
7、最大时，x0_；| |PA| | |PB| |的最大值为_ （第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 已知数列an的各项均不为零，Sn为其前 n 项和，且 anan12Sn1 （1）证明：an2an2； （2）若 a11，数列bn为等比数列，b1a1，b2a3求数列anbn的前 2022 项和 T2022 18 （12 分） 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知BAC60 ，a2 3 （1）若 C45 ，求 b； （2）若 D 为 BC 的中点，且 AD 5，求ABC 的面积
8、19 （12 分） 甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为 0.5；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为 0.6，乙队获胜的概率为 0.4 （1）若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了 局比赛，求随机变量 的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； （2）如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 高三数学试卷 第 4 页（共 4 页） 20 （12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACBCCC12，D 为
9、BC 的中点，E 为棱 AA1上一点，ADDC1 （1）求证：BC平面 A1AD； （2）若二面角 A1-DE-C1的大小为 30，求直线 CE 与平面 C1DE 所成角的正弦值 21 （12 分） 已知函数 f(x)ex1 x1 （1）讨论 f(x)的单调性； （2）证明：f(x)x2 22 （12 分） 已知椭圆 C：x2a2y2b21（ab0）经过点(1， 3 2)，离心率为 1 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）如图，椭圆 C 的左、右顶点为 A1，A2，不与坐标轴垂直且不过原点的直线 l 与C 交于 M，N 两点（异于 A1，A2） ，点 M 关于原点 O 的对称点为点 P，直线
10、 A1P 与直线A2N 交于点 Q，直线 OQ 与直线 l 交于点 R 证明：点 R 在定直线上 C1 B C A A1 B1 D E O y A2 A1 Q N M P R x l 高三数学答案第 1 页（共 4 页） 唐山市 2022 年普通高等学校招生统一考试第一次模拟演练 数学参考答案 一选择题：BCAD DBCC 二选择题：AD BC ABD ACD 三填空题：131 143n 1519 161，4 2（第一空 2 分，第二空 3 分） 四解答题：（若有其他解法，请参照给分） 17解： （1）因为 anan12Sn1 所以 an1an22Sn11 得 an1(an2an)2an1，
11、因为 an10，所以 an2an2 （2）由 a11 得 a31，于是 b2a31， 由 b11 得bn的公比 q1 所以 bn(1)n，anbn(1)nan 由 a1a22a11 得 a23 由 an2an2 得 a2 022a2 021a2 020a2 019a2a14， 因此 T2 022a1a2a3a4a2 021a2 022 (a2a1)(a4a3)(a2 022a2 021) 1011(a2a1) 10114 4044 18解： （1）因为 C45 ，所以 sinBsin(BACC)sin(60 45 )6 24 在ABC 中，由正弦定理得asinBACbsinB， 即 basin
12、BsinBAC 6 2 （2）在ABC 中，由余弦定理得 b2c2bc12 因为 D 为 BC 的中点，所以 BDCD 3 在ABD 中，由余弦定理得 cosADBBD2AD2AB22BDAD8c22 15 在ACD 中，由余弦定理得 cosADCCD2AD2AC22CDAD8b22 15 由 cosADBcosADC0 得 b2c216 联立（1） （2）可得 bc4，即 SABC 3 高三数学答案第 2 页（共 4 页） 19解： （1）因为是五局三胜制，所以 的可能取值为 3，4，5 P(3)0.630.430.28； P(4)C130.40.63C130.60.430.3744； P(
13、5)C240.420.620.3456； 则 的分布列为 由上述可知，进行四局比赛的可能性最大 （2）作为领队希望己方获胜，故需比较两种赛制下甲队获胜概率的大小 若采用五局三胜制，甲队获胜的概率为 p10.63C130.40.63C240.420.620.50.648； 若采用三局两胜制，甲队获胜的概率为 p20.62C120.40.60.50.6； 因为 p1p2，所以作为甲队领队，希望采用五局三胜制 20解： （1）证明： 在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，CC1底面 ABC，AD底面 ABC，则 CC1AD； 又 ADDC1，CC1DC1C1，CC1平面 BCC1B1，DC1平面 BC
14、C1B1， 于是 AD平面 BCC1B1，又 BC平面 BCC1B1，故 ADBC 由直三棱柱知 AA1底面 ABC，BC底面 ABC，则 AA1BC， 又因为 ADAA1A，AD平面 A1AD，AA1平面 A1AD， 故 BC平面 A1AD （2）由（1）知 ADBC，又 D 为 BC 中点，故 ABAC 以 D 为坐标原点，DC的方向为 x 轴正方向，DA 的方向为 y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系 D-xyz 则 D(0，0，0)，C(1，0，0)，B(1，0，0)， A(0， 3，0)，C1(1，0，2) 设 AEt（0t2），则 E(0， 3，t) 由（1）知平面 A1D
15、E 的法向量可取 BC(2，0，0) 设平面 C1DE 的法向量 n(x，y，z)， 因为DC1(1，0，2)，DE(0， 3，t)， 所以x2z0，3ytz0取 n(2 3，t， 3) 由题设得|cos BC，n|32，即2 3t21532，解得 t1 3 4 5 P 0.28 0.3744 0.3456 C1 B C A A1 B1 D E y z x 高三数学答案第 3 页（共 4 页） 此时，n(2 3，1， 3) 设 CE 与平面 C1DE 所成角为 ， 因为 CE(1， 3，1)， 所以 sin|cos CE，n|2 34 51510， 即直线 CE 与平面 C1DE 所成角的正弦
16、值为1510 21解： （1）f(x)的定义域为(，1)(1，)， f(x)xex 1(1x)2 当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减； 当1x0 时，f(x)0，f(x)单调递减； 当 x0 时，f(x)0，f(x)单调递增 故 f(x)在(，1)和(1，0)上单调递减，在(0，)上单调递增 （2）令 g(x)(x1)2e1x，x0，则 g(x)e1x(1x2)， 所以 0 x1 时，g(x)0，g(x)单调递增； x1 时，g(x)0，g(x)单调递减， 所以 g(x)的最大值为 g(1)4，即(x1)2e1x4， 从而ex1 x1x14，所以 f(x)x14 又x14x2( x1)
17、240， 所以x14x2，等号当且仅当 x1 时成立 故 f(x)x2 22解： （1）由题意知，1a294b21，1b2a2 1 4 解得a24b23， 故椭圆 C 的方程为x24y231 高三数学答案第 4 页（共 4 页） （2）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 P(x1，y1) 直线 l 的方程为 xmyn，其中 mn0，且 n2， 将 xmyn 代入椭圆 C：x24y231， 整理得(3m24)y26mny3n2120， 由0 与韦达定理得 3m2n240，y1y26mn3m24，y1y23n2123m24 由（1）可知 A1(2，0)，A2(2，0)，设 Q(x0，y0)， 由 A1，P，Q 三点共线，得y0 x02y1x12， 由 A2，N，Q 三点共线，得y0 x02y2x22， 则2x0y0 x02y0 x02y0 x12y1x22y2 my1n2y1my2n2y2 2m(n2)y1y2y1y2 2m(n2)6mn3n212 4mn2 于是直线 OQ 的斜率为 ky0 x0n22m，直线 OQ 的方程为 yn22mx， 联立yn22mxxmyn，解得 x2 即点 R 在定直线 x2 上
