1、3.1.13.1.1变化率问题变化率问题郫 县 四 中 G2.6PIXIAN NO.4 MIDDLE SCHOOL G2.6微积分创立者微积分创立者LeibnizNewton微积分的创立主要与四类问题处理有关：微积分的创立主要与四类问题处理有关：（1）瞬时变化率）瞬时变化率微积分的创立是人类精神文明的最高胜利微积分的创立是人类精神文明的最高胜利恩格斯恩格斯（2）切线问题）切线问题（3）函数最值）函数最值（4）几何求积）几何求积微积分创立背景微积分创立背景时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月1
2、8日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4时间3月18日4月18日4月20日日最高气温3.518.633.4现有武汉今年现有武汉今年3月和月和4月中三天日最高气温记载表月中三天日最高气温记载表. t(d)20303421020300210T()C (34,
3、 33.4)B (32, 18.6)A (1, 3.5)问题情境问题情境问题1：A到B和B到C这两段时间哪一段的温度差较大？问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？ t(d)20303421020300210T()C (34, 33.4)B (32, 18.6)A (1, 3.5) t(d)20303421020300210T()C (34, 33.4)B (32, 18.6)A (1, 3.5)( 1 .15C)( 8 .14C)(31d)( 2 d问题问题1 1：A A到到B B和和B B到到C C这两段时间哪一段的温度差较大？这两
4、段时间哪一段的温度差较大？ABAB段：段：BCBC段：段：温差温差温差温差= = =5 . 36 .18= =1 .156 .184 .338 .14= =时间差时间差= =时间差时间差= =13231= =32342= =问题问题2 2：能不能说：能不能说“温度差越大，气温变化越快？温度差越大，气温变化越快？” t(d)20303421020300210T()C (34, 33.4)B (32, 18.6)A (1, 3.5)( 1 .15C)( 8 .14C)(31d)( 2 d问题问题3 3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？温温
5、差差时间差时间差)/(49. 0311 .15dC8 .14ABAB段段：BCBC段：段：温温 差差1 .15时间差时间差31温温 差差时间差时间差2)/(4 . 728 .14dC温温 差差时间差时间差问题问题4 4：如果把气温：如果把气温C看作时间看作时间t的函数，即的函数，即C=f(t),则则t1至至t2这段时间内气温的平这段时间内气温的平均变化率如何表示？均变化率如何表示？ t(d)20342300210T()1t2t)(1tf)(2tf)()(12tftf12tt )(tfC 1212)()(tttftf对应对应函数值的变化量自变量的变化量 若函数关系为若函数关系为 , , 当当 从
6、从 增加增加到到 时，则它的平均变化率如何表示？时，则它的平均变化率如何表示？)(xfy x1x2x2121()()f xf xxx函数值的变化量函数值的变化量自变量的变化量自变量的变化量思考讨论思考讨论 我们把式子：我们把式子： 称为函数称为函数 从从 到到 的的平均变化率平均变化率. .)(xfy 1212)()(xxxfxf1x2x12 xxx令)()(12xfxfy平均变化率表示为：平均变化率表示为：2121( )( )f xf xyxxx 11()( )f xxf xx 平均变化率概念平均变化率概念在高台跳水中，运动员相对于水面的高度在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h（单（单位：
7、位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t（单位：（单位：s）存在函数关）存在函数关系：系：105 . 69 . 4)(2ttth21 (2) t5 . 00 ) 1 ( t问题问题1求该运动员在以下时间段内的平均速度：求该运动员在以下时间段内的平均速度：解：解：)/(05. 405 . 0)0()5 . 0() 1 (smhhthv)/(2 . 812) 1 ()2()2(smhhthv探究探究 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平这段时间里的平均速度，并思考：均速度，并思考：49650 t(1)运动员在这段时间内是静止的吗？运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的
8、运动状态有你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？什么问题吗？在高台跳水中，运动员相对于水面的高度在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h（单（单位：位：m）与起跳后的时间）与起跳后的时间t（单位：（单位：s）存在函数关）存在函数关系：系：105 . 69 . 4)(2ttth问题问题1 已知函数已知函数f(x)=3x+1,g(x)= -2x,分别求分别求f(x)及及g(x)从从 -3到到2的平均变化率的平均变化率.探究探究函数函数y=kx+b从从m到到n(mn)的平均变化率等于多少？的平均变化率等于多少？问题问题22121()()f xf xyxxx平均变化率：表示什么几何意义？ A
9、B斜率斜率21212121()()yyf xf xkxxxx思考思考12xx )()(12xfxf )(1xf)(2xf2x1x)(xfy xyAB已知函数已知函数 f(x)=x2,分别计算分别计算f(x)在下列区间在下列区间上的平均变化率：上的平均变化率： （1）1，3；（2）1，2；（3）1，1.1；（4）1，1.001. 432.12.001（5）0.9，1；（6）0.99，1；（7）0.999，1.变变式式1.991.91.999思考思考: :为什么趋近于为什么趋近于2 2呢？呢？ 2 2的几何意义是什么？的几何意义是什么？xyP P13问题问题31.1.平均变化率的定义：平均变化率的
10、定义： 这节课我收获了什么？这节课我收获了什么？3.3.平均变化率的意义平均变化率的意义: :2.2.求平均变化率的步骤求平均变化率的步骤：表示变量的变化快慢，刻画曲线的陡峭程度表示变量的变化快慢，刻画曲线的陡峭程度（1）求自变量的增量）求自变量的增量x=x2-x12121( )( )f xf xyxxx 11()( )f xxf xx （2）求函数值的增量）求函数值的增量y=f(x2)-f(x1)xy（3）计算平均变化率）计算平均变化率祝高二（祝高二（6 6）班同学们学有所成！）班同学们学有所成！探究探究观察函数 的图象，讨论：)(xfy Oxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12x
11、x 1x2xAB当 逼近于 ，即 逼近于 0 时，其割线AB的斜率有什么样的变化趋势？1x2xx记忆保持量（百分数记忆保持量（百分数）天数天数10204060801002345 21.1%21.1%一个月后一个月后25.4%25.4%6 6天后天后27.8%27.8%2 2天后天后33.7%33.7%1 1天后天后35.8%35.8%8-98-9小时之后小时之后44.2%44.2%1 1小时之后小时之后58.2%58.2%2020分钟之后分钟之后100%100%刚刚记忆完毕刚刚记忆完毕记忆保持量记忆保持量时间间隔时间间隔德国著名心理学家德国著名心理学家艾宾浩斯的遗忘曲线艾宾浩斯的遗忘曲线 艾宾浩斯遗忘曲线艾宾浩斯遗忘曲线21.( )( 12)( 12).已已知知函函数数的的图图像像上上的的一一点点，及及附附近近一一点点，则则f xxxAyBxyx 22.3(3 3)_. 物物体体运运动动规规律律为为, ,则则在在时时间间 ，中中相相应应的的平平均均速速度度为为stt 2()33yxxxxx 3x 2()66ttsttt 6t
