1、北师大版小升初小学数学毕业考试重难点突破立体图形一、立体图形的认识与分类1、常见立体图形的认识立体图形名称图形概念及各部分名称特征长方体由6个长方形（也可能两个相对的面是正方形）所围成的立体图形叫做长方体。围成长方体的长方形（或正方形）叫做长方体的面；两个面相交的线叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点。长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫做它的长、宽、高。有8个顶点，12条棱，6个面。相对的面完全相同，相对的棱长度相等。正方体由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体。有8个顶点，12条棱，6个面。每个面都是完全相同的正方形，棱的长度都相等。正方体是特殊的长方体。圆柱圆柱的上下
2、面叫做底面。围成圆柱的曲面叫做侧面。两个底面之间的距离叫做圆柱的高。圆柱的上、下两个底面是完全相同的圆。侧面是一个曲面，展开后是一个长方形。圆柱有无数条高。圆锥圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。圆锥有一个顶点，底面是一个圆，侧面是一个曲面，展开后是扇形。圆锥只有一条高。球空间中到定点的距离小于或等于定长的所有点组成的图形，叫做球。或一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。从各个方向看到的图形都一样，球是所有立体图形中最容易滚动的立体图形。2、立体图形的分类常见立体图形有柱体（圆柱、棱柱），锥体（圆锥、棱锥
3、），台体（圆台、棱台），球体（球）。1把图形的序号填入括号内。长方体有( )正方体有( )圆柱有( )球有( )【答案】 【解析】略2有( )个，有( )个，有( )个，有( )个【答案】 2 5 4 7【解析】【详解】略3看图回答问题 （1）球有 _ 个， 圆柱体有_ 个； （2）长方体比球多_ 个，正方体比圆柱体少_【答案】 4 3 1 2【解析】略4用下面的物体能画出哪些图形呢？圈一圈。【答案】【解析】略5（1）一共有（）个物体，其中正方体有（）个、长方体有（ ）个，圆柱有（）个、球有（）个。（2）如果排第一， 排第()。 如果排第一， 排第()。（3） 左边有（ ） 个物体，右边有（）
4、个物体。（4）把右边的3个图形圈在一起，把左边的第2个图形圈起来。【答案】（1）82231（2）45（3）34（4）【解析】略二、立体图形的特征1、长方体特征（1）长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。（2）长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。（3）长方体长方体有8个顶点，每个顶点连接三条三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。（4）长方体相邻的两条棱互相垂直。2、正方体特征（1）6个面都是正方形，且面积相等（2）8个顶点（3）12条棱长度都相等3、圆柱
5、的特征（1）圆柱上下两个底面是相等的两个圆 （2）圆柱的侧面展开图，是个长方形（也可能是正方形），这个长方形的长是圆柱的底面周长，宽是这个圆柱的高。 （3）同一个圆柱两底面间的距离处处相等。（4）圆柱有无数条高。4、圆锥的特征圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线，且底面为一圆形，侧面展开图是扇形，是曲面。6在下图中，标出圆柱和圆锥各部分名称。【答案】圆柱：底面侧面高底面圆锥：顶点侧面高底面【解析】【详解】圆柱和圆锥的特点，主要是从其形状、组成、面等方面来观察和研究的圆柱的上下两个面是两个完全相同的圆，叫做底面有一个面是曲面，叫做侧面，圆柱两底面之间的距离叫做圆柱的高。圆锥有一
6、个顶点和两个面（一个底面是圆，一个曲面是侧面），从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫做圆锥的高。7至少用_cm的铁丝，才能做成一个底面周长是16cm，高3cm的长方体框架【答案】44【解析】【详解】162+3432+1244（厘米）答：至少用44厘米的铁丝故答案为：448圆锥的侧面展开图是一个( )，将圆锥沿高展开，所得到的横截面是一个( )。【答案】 扇形 等腰三角形【解析】【详解】圆锥的底面是个圆面，圆锥的侧面是一个曲面，展开后是一个扇形，把圆锥沿底面直径和高切成两半，得到的每个截面是一个以底面直径为底，以圆锥的高为高的等腰三角形；故答案为：扇形；等腰三角形。【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图、
7、切割面的特点，是对圆锥基础知识的掌握情况的了解，应注意平时基础知识的积累。9以长方形的长为轴旋转一周，可以得到一个_；以直角三角形的一个直角边为轴旋转一周，就可以得到一个_【答案】 圆柱体； 圆锥体【解析】【详解】（1）我们知道点动成线，线动成面，面动成体由于长方形或正方形的对边相等，长方形或正方形以它的一边为轴旋转一周，它的上、下两个面就是以半径相等的两个圆面，与轴平行的一边形成一个曲面，这个长方形或正方形就成为一个圆柱（2）根据圆锥的认识：为轴的那条直角边是旋转后的圆锥的高，另一条直角边是旋转后的圆锥的底面半径；进而得出结论10商店营业员用一根塑料绳为顾客捆扎两个食品盒，每个食品盒的长、宽
8、、高分别是15厘米、11厘米、4厘米，如下图那样捆扎一道并留下16厘米长为手提环，这样一共需要( )厘米长的塑料绳【答案】100【解析】略11一个正方体有六个面，每个面分别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六种颜色，你能根据这个正方体的三种不同的摆法，判断出这个正方体每一种颜色对面各是什么颜色吗？红色的对面是_色，黄色的对面是_色，白色的对面是_色。【答案】 蓝 黑 绿【解析】【分析】如果直接思考某种颜色的对面是什么颜色比较困难，可以从某种颜色的对面不应该是哪种颜色开始推理。【详解】我们从图（1）中可以看出，红色的对面肯定不是白色和黑色；从图（2）中可以看出，红色的对面肯定不是黄色和绿色，所以红色的对
9、面是蓝色。从图（2）中可以看出，黄色的对面不是红色和绿色；从图（3）中可以看出，黄色的对面肯定不是白色和蓝色，所以黄色的对面是黑色。所以白色的对面是绿色。【点睛】此题需要学生认真仔细分析各个面的颜色，然后推理解答。三、立体图形的表面积1、表面积定义物体表面面积的总和，叫做物体的表面积，通常用S表示，常用单位是平方千米、平方米、平方分米、平方厘米。（1）长方体、正方体的表面积等于6个面的面积之和（2）圆柱的表面积=侧面积+2个底面面积=底面周长高+2个底面面积（3）圆锥的表面积=侧面积+底面面积2、常见立体图形表面积计算公式立体图形名称图形表面积计算公式长方体正方体圆柱球r是球的半径12一种圆柱
10、形状的烟囱，底面半径10厘米，高95厘米做一节这样的烟囱，至少需要_平方厘米的铁皮(接头处忽略不计)【答案】5966【解析】【分析】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决。【详解】23.141095=62.895=5966（平方厘米）答：至少需要5966平方厘米铁皮。13把两个相同的正方体拼成一个长方体后,长方体的表面积正好是80平方厘米原来每个正方体的表面积是( )平方厘米【答案】48【解析】略14一个长方体棱长的总和是60厘米，它正好能被切成3个同样的正方体原来长方体的表面积是( )平方厘米【答案】126【解析】【详
11、解】略15一个长方体的所有棱长之和为1.8米，长、宽、高的比是6：5：4把这个长方体截成两个小长方体，表面积最多可以增加_平方米【答案】0.054【解析】【分析】要求此题的问题，先根据棱长和1.8米和长、宽、高的比求出长方体的长、宽、高分别是多少，再求出横切增加的面积和纵切增加的面积，最后两个增加的面积比较一下可得出答案把一个大长方体截成两个小长方体，表面积增加2个面【详解】一条长、宽、高的长度和：1.84=0.45（米）；一条长、宽、高的长度份数：6+5+4=15；长方体的长：0.45=0.18（米）；求长方形的宽：0.45=0.15（米）；求长方形的高：0.45 =0.12（米）；如果把这
12、个长方体横切，表面积可增加：0.180.152=0.054（平方米）；如果纵切，表面积可增加：0.150.122=0.036（平方米）0.054平方米0.036平方米故答案为0.05416将4个棱长为2厘米的正方体拼成一个表面积最大的长方体，这个长方体的表面积比4个正方体表面积之和减少了( )%，这个长方体的体积是4个正方体体积之和的( )%【答案】 25 100【解析】略17用两个长4厘米、宽3厘米、高1厘米的小长方体拼成一个大长方体，表面积最大是( )平方厘米，最小是( )平方厘米【答案】 70 52【解析】【详解】略18如图是两位同学对同一个圆柱的两种不同的切分(平均分成两份)，甲切分后
13、，表面积比原来增加多少；乙切分后，表面积比原来增加多少，()。A2r2；r2B2r2；4rh【答案】B【解析】略19把底面半径是1分米、高2分米的圆柱纵向切成体积相等的若干块，然后拼成一个近似的长方体(如图)这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了_平方分米【答案】4【解析】【分析】把底面半径是1分米、高2分米的圆柱纵向切成体积相等的若干块，然后拼成一个近似的长方体(如图)这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了长为2分米，宽为1分米的两个长方形面积之和，据此列式解答.【详解】122=22=4（平方分米）故答案为4.20如图，两个立方体组成的雕塑小立方体的四个顶点正好在大立方体四条棱的中点
14、上已知小立方体一个面的面积是24平方米，那么雕塑的表面积是_【答案】384平方米【解析】【详解】略21如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的半径分别为0.5分米，2分米，5分米，而高都是2分米，则这个物体的表面积是_平方分米【答案】251.2【解析】【分析】这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式计算即可【详解】大圆柱的表面积：3.14522+23.1452=157+62.8=219.8（平方分米）中圆柱侧面积：23.1422=25.12（平方分米）小圆柱侧面积：23.140.52=6.28（平方分米）这个物体的表面积：219.8+25.12+6.28=251.2（平方分
15、米）答：这个物体的表面积是251.2平方分米故答案为251.2四、立体图形的体积1、体积的定义物体所在空间的大小，叫做物体的体积。2、常见立体图形的体积计算公式：立体图形名称图形体积公式长方体正方体圆柱S是圆柱底面面积，r是圆柱底面半径，h是圆柱的高圆锥S是圆锥底面面积，r是圆锥底面半径，h是圆锥的高球r是球的半径3、容积（1）容积的概念箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做容积或容量，常用容积单位是升，毫升。（2）体积单位与容积单位之间的换算1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升22一个正方体的表面积是384cm2，体积是_cm3 【答案】512【解析】【分析】根据正方体的表面积S=6
16、a2， 可知a2=S6，表面积是384平方厘米，据此可求出棱长的平方是多少，进而可求正方体的棱长，再根据正方体的体积公式：V=a3求出它的体积即可。【详解】3846=64（平方厘米）64=88，所以正方体的棱长是8厘米。888=512（立方厘米）答：它的体积是512立方厘米。23下面的两个盒子相比较，( )号盒子的体积大，( )号盒子的容积大【答案】 【解析】略24一个长方体三个不同面的面积分别是40cm2，30cm2和48cm2，（如下图）每个面的棱长都是整数，这个长方体的体积是_立方厘米。 【答案】240【解析】【详解】因为58=40，56=30，68=48，所以长是8cm、宽是6cm、高
17、是5cm，体积：865=240（cm）。故答案为：240。 【点睛】长方体前面的面积是长方体的长乘高得到的，右面是长方体的宽乘高得到的，上面是长方体的长乘宽得到的；根据这三个面的面积判断出长方体的长宽高，再根据长方体体积公式计算体积即可。25一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积和是72立方分米，圆锥的体积是( )立方分米【答案】18【解析】【详解】略26有一个深4分米的长方体容器，其内侧底面为边长3分米的正方形。当容器底面的一边紧贴桌面倾斜如图时，容器内的水刚好不溢出。容器内的水有_升。【答案】22.5【解析】【详解】容器的容积：43336（立方分米）；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱
18、，底面积是 3324.5（平方分米），高是3分米所以体积是 4.5313.5（立方分米）；所以容器内有水：3613.522.5立方分米22.5升答：容器内的水有22.5升故答案为：22.5【点睛】先根据长方体的体积公式求出容器的容积；无水的部分看作是底面是直角三角形的棱柱，再根据棱柱的体积公式求出无水的部分的体积；相减即可求得容器内的水的体积27如图，一个内直径是6cm的瓶里装满矿泉水，小兰喝了一些后，这时瓶里水的高度是12cm，把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高8cm小兰喝了( )ml 水；这个瓶子的容积是( )ml【答案】 226.08 565.2【解析】【分析】因为原来瓶子是装满水的，所以
19、小红喝的水的体积就是瓶子倒置后无水部分的体积，这个瓶子的容积相当于底面直径是6厘米，高是（12+8）厘米的圆柱的容积，根据圆柱的体积（容积）公式：Vr2h，把数据代入公式解答【详解】3.14（62）283.149828.268226.08（立方厘米）3.14（62）2（12+8）3.1492028.2620565.2（立方厘米）226.08立方厘米226.08毫升565.2立方厘米565.2毫升答：小红喝了226.08毫升，这个瓶子的容积是565.2毫升故答案为：226.08、565.2【点睛】此题主要考查圆柱的容积（体积）公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积单位之间的
20、换算28如图所示，圆柱的底面积与侧面积的比是1:8，把这个圆柱沿半径切分成若干等份，拼成一个近似的长方体若长方体表面积增加了40平方厘米，则圆柱的底面积是( )平方厘米；若以圆柱底面半径为棱长的正方体体积是11立方厘米，则图中长方体的体积是( )立方厘米【答案】 15.7 138.16【解析】【详解】可得，可得，底面积；可得圆柱体积29如图，把2升水全部倒入两个容器中，先将圆锥容器倒满，剩余的正好倒入圆柱容器的.已知圆柱和圆锥容器的高相等，底面内半径的比是2：3，圆柱容器的容积是( )升.【答案】【解析】【详解】略五、立体图形的切拼两个立体图形（比如正方体之间、圆柱之间）拼起来，因为面数目减少
21、，所以表面积减少，但是体积没变。以圆柱的分割与拼合为例，正方体的分割与拼合类似。圆柱分割切分后表面积之和比原来表面积增加了，分割一次增加2个面拼合只要拼合，表面积之和都会减少，拼合依次就减少了两个相等的面的面积30 左图是由( )个 拼成的，至少再加( )个 就可以拼成一个大正体【答案】 6 2【解析】略31长城,又称万里长城,是中国古代第一军事工程,用以阻隔敌骑的行动长城的建筑材料主要是土、石和木料、瓦件等,在高山峻岭的地方,就在山上开取石料,把石料切割成长方体或正方体石块砌筑,下面图(1)是长城某一墙角的现状,要用( )个小正方体石块才能修整成和原来(2)一样(1)(2)【答案】8【解析】
22、【详解】略32用长20cm、宽15cm、高6cm的长方体木块堆成一个正方体，至少需要_块。【答案】120【解析】【分析】首先要求出堆成的正方体的棱长是多少厘米，也就是要求出20、15、6的最小公倍数，这个数就是堆成的正方体的棱长；再分别用棱长除以原来的长、宽、高，求出长要堆几块，宽要堆几块，高要堆几块，最后用这三个块数相乘就得需要的总块数。【详解】20225153562320、15和6的最小公倍数是523260，堆成的正方体的棱长是60厘米，60203（块）60154（块）60610（块）3410120（块）至少需要120块这样的木块。【点睛】此题考查了最小公倍数的求法以及长方体的体积计算，明
23、确正方体的棱长就是长方体长、宽、高长度的最小公倍数是解题关键。33一种盒装牛奶，长6厘米，宽5厘米，高8厘米，将2盒这样的牛奶包装在一起，至少要用包装纸( )平方厘米【答案】140【解析】【详解】这两盒牛奶拼成一个长6厘米，宽5210厘米，高8厘米的长方体，（61068108）2（604880）21882376（平方厘米）答：至少需要包装纸376平方厘米。故答案为：37634在一个棱长为8的正方体上切去一个三棱柱（如图）那么表面积减少( )【答案】28【解析】【详解】从正方体上切去三棱柱后，正方体的表面积减少3848342=68，但又增加了一个面的面积，是58=40.总体上减少68-40=28
24、.六、观察物体1、从不同的方向观察物体根据观察者观察位置的变化，我们可以发现观察者所看到的被观察的对象的范围也随着发生相应的变化。观察的位置越高，看到的范围越大，观察的距离越远，看到的目标越小，在生活中我们通常关注物体的形状大小和数量，从不同角度方向观察物体，常常得到不同的结果。2、从不同的方向观察几何体观察一个用小正方体搭建的立方立方体图形，发现从不同的位置观察到图形的形状可能是不同的，但是只要从物体的前面、左面、上面这三个方向观看一个立体图形，就会得到描述这个立体图形的三张平面图形，简称为三视图。三视图可以完整地刻画一个立体图形的形状、大小、方位等所有特征信息。35老师从窗内看到的情景会是
25、下面哪幅图?在括号里画“”【答案】()【解析】【详解】略36有几堆摆好的小方块，从三个不同的方向观察看到的形状如下图，这里至少有( )个小方块【答案】8【解析】【详解】略37在下面的几何体中，按要求操作并填空。（1）移去一个小正方体，使得从左面和正面看到的图形不变，有( )种移法。（2）添加一个小正方体，使得从左面、正面和上面看到的图形不变，有( )种添法。【答案】 2 1【解析】略38一个立体图形，从正面看到的形状是，从左面看到的形状是搭这样的立体图形，最少需要( )小正方体，最多需要( )个小正方体【答案】 4 7【解析】【详解】略39搭的这组积木，从正面看是( )，从左面看是( )【答案
26、】 【解析】【详解】根据条件可知，从正面看所得的图形有4列，第一列3个正方形，第二列1个正方形，第三列1个正方形，第四列两个正方形，则为图形；从左面看所得的图形有2列，第一列3个正方形，第二列2个正方形，则为图形40仔细观察，认真思考，按照要求把正确的序号填入括号内(答案可能不止一个)AB. CD. (1)( )从正面能看到4个小正方形(2)( )从侧面只能看到1个小正方形(3)( )从上面看到的小正方形个数是一样的(4)从侧面看到2个小正方形的有( )(5)从正面和右侧面看到的形状是一样的立体图形是( )(6)( )从正面看到的形状是(7)从正面和上面看到的形状是一样的立体图形是( )(8)( )从上面看是(9)( )从正面看到的形状是(10)从右侧面看是的立体图形是( )【答案】 C A ABCD C D BD A B C B【解析】【详解】略
