1、北师大版小升初小学数学毕业考试重难点突破（四）比和比例一、比的意义1、比的定义两个数相除又叫做两个数的比。2、相关概念在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）3、比的意义比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程速度=时间。4、比和除法、分数的联系：1将40克糖溶解在200克水中，水与糖水的比是_，这种糖水的含糖率是_【答案】 5：6 16.7%【解析】【详解】200：（40+200）200：240（20040）：（24040）5：6；
2、40（40+200）4024016.7%；答：水与糖水的比是5：6，这种糖水的含糖率是 16.7%故答案为：5：6，16.7%2已知a：b=5：4，那么a是b的，b是a的 ，b比a少 ，a比b多。【答案】 【解析】【分析】根据条件“a：b=5：4”可以把a看作5份，则b看作4份，要求a是b的几分之几，用ab，要求b是a的几分之几，用ba，要求b比a少几分之几，用（a-b）a，要求a比b多几分之几，用（a-b）b，据此列式解答。【详解】已知a：b=5：4，那么a是b的54=，b是a的45=， b比a少（5-4）5=， a比b多（5-4）4=。故答案为：;.3六（1）班人数比六（2）班多，六（2）
3、班和六（1）班人数的比是（）A1：6B7：6C6：5D6：7【答案】D【解析】【分析】把六（2）班的人数看作单位“1”，那么六（1）班的人数就是1+【详解】1：6：7；答：六（2）班和六（1）班人数的比是6：7故选D4中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天这一天，宁波市的白昼与黑夜时间比约是75，那么白昼有( )时，黑夜有( )时【答案】 14 10【解析】【详解】略5六年级三个班植树，其中一班植树棵树占总棵数的30，二班和三班植树棵树的比是3：5，且二班比三班少植树28棵求一班植树多少棵?【答案】48棵【解析】【详解】28(5-3)(5+3)=2828=148=112(棵)11
4、2(1-30%)=11270%=160(棵)16030%=48(棵)答：一班植树48棵二、比的基本性质1.除法的性质被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。2.分数的基本性质分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。3.比的基本性质比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。6一个比如果将前项增加30%，后项必须加上3比值才能不变，这个比的后项是_。【答案】10【解析】【分析】根据比的性质可知：如果比的前项增加30%，要使比值不变，那么后项也要增加30%，进而根据后项增加的30%是3，用3除以30%即得这个比的后项。【详解】比的前项增加30%，要使比
5、值不变，后项也要增加30%，那么330%=10。答：这个比的后项是10。故答案为10。【点睛】解决此题关键是理解如果比的前项增加30%，要使比值不变，后项也要增加30%，进一步得解。7把5：3这个比的前项加上15，要使比值不变，后项应该（）A加上10B加上9C乘3D乘10【答案】B【解析】5：3的前项加上15，是5+1520，即可看出前项扩大了2054倍，要使比值不变，后项也要扩大4倍，即加上3439；由此即可解答【详解】（5+15）533205334331239答：后项应该加上9故选：B【点睛】此题主要考查比的基本性质，关键由前项加上一个数要看前项扩大了几倍，再利用比的基本性质解决问题8同时
6、点燃两支蜡烛，当第一支燃去 时，第二支燃去 ，这两支蜡烛余下部分可以燃烧的时间比是_【答案】1：2【解析】【分析】根据题意，可知这两支蜡烛不一样长，设第一支全长是x，第二支全长是y；再根据“同时点燃两支蜡烛，当第一支燃去 时，第二支燃去 ”，可知两支蜡烛燃烧的时间相等，进而算出第一支蜡烛与第二支原来的长度比，然后算出第一支和第二支蜡烛剩下的长度比，也即剩下的部分可以燃烧的时间比即可此题考查比的意义，解决此题关键是根据两支蜡烛燃烧的时间相等，先求出原来两支蜡烛的长度比，进一步求得两支蜡烛剩下的长度比，也即剩下的部分可以燃烧的时间比【详解】解：设第一支全长是x，第二支全长是y，由题意得：x= y，
7、x：y= ： =5：6，所以x= y，第一只剩下的是：（1 ）x= x，第二只剩下的是：（1 ）y= y，这两支蜡烛余下部分可以燃烧的长度比是：x： y= y： y=1：2，所以这两支蜡烛余下部分可以燃烧的时间比也是1：2故答案为1：29填空并加以证明已知X0，y0，若将3xy：（xy）中的x、y扩大2倍，则3xy：（xy）的值就_【答案】扩大2倍【解析】【分析】把分式中的分子，分母中的x，y都同时变成原来的2倍，就是用2x，2y分别代替式子中的x，y，看得到的式子与原式子的关系【详解】32x2y：（2x2y）=12xy：2（xy）=6xy：（xy）=2，则3xy：（xy）的值扩大2倍；10下
8、图中，四边形ABCD是长方形，已知甲、乙两圆相等，那么甲、丙两圆的周长比是( )，面积比是( )（填最简整数比）【答案】 1:2 1:4【解析】【详解】甲圆半径：201822=（厘米）丙圆半径：20182=1009（厘米）甲周长：丙周长=2：21009=1:2甲面积：丙面积=（）2：10092=1:4【点睛】本题考查比、圆的周长、面积解题的关键是明确甲的直径是长方形宽的一半，丙的直径与长方形宽相等三、化简比与求比值的区别1.求比值及方法求比值：前项除以后项的商叫做比值。比值是一个数。方法：整数比或者小数比求比值，可以把它写成分数形式（前项是分子，后项是分母），再把它约分，约成最简分数或整数。这
9、个结果就是比值。2.化简比及方法化简比：将比的前项和后项同时扩大或缩小相同倍数，使变化后的前项和后项只有公因数1的新的比。方法：可以采用求比值的方法，先求比值，再把比值转化为最简整数比。（比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。）116：8的比值是_；把1.4米：70厘米化成最简单的整数比是_【答案】 0.75 2：1【解析】【详解】（1）6：8680.75；（2）1.4米：70厘米140厘米：70厘米（14070）：（7070）2：1；故答案为：0.75，2：112甲数的和乙数的相等（甲数、乙数均不为0），甲数与乙数的最简比是( )如果乙数比甲数少26，甲数是( )【答
10、案】 5：4 130【解析】【详解】设甲数为“1”则乙数为11：5：426（54）52615265130答：甲数与乙数的最简比是5：4如果乙数比甲数少26，甲数是130故答案为5：4，13013当x = ( )时， x的比值恰好是的倒数【答案】【解析】【详解】略14如果a与b互为倒数，且=，那么c=( ),=( )【答案】 0.2 【解析】【详解】略15果园里有梨树、苹果树和桃树三种果树，其中梨树的棵数占总数的，苹果树与桃树棵数的比是3：4已知桃树有60棵，果园里这三种果树一共有_棵【答案】168【解析】【详解】（60+6043）（1）（60+45） 105168（棵）答：果园里这三种果树一共
11、有 168棵故答案为：168四、比例1.比例定义表示两个比相等的式子叫做比例。写成a:b=c:d,其中两端的a、d叫做比例的外向，里面的b、c叫做比例的内向。2.比例性质前后两个比的最简整数比相同；两外项之积等于两内向之积。比例中项： Failed to download image : 比例改写： 3、比例方程含有未知项的比例叫做比例方程。解比例：求比例中的未知项叫做解比例。方法：先利用比例性质两外项之积等于两内向之积转化成一般方程后再求解。4、连比表示三个或三个以上数量进行比率比较，一般写作a:b:c或a:b:c:d将两个比改写成连比，如a:b、c:d中b、c表示同一数量，可转化成连比ac
12、:bc:bd5、比例的应用图形的放大和缩小：利用方格纸按一定比把一个简单图形按指定的比放大或缩小。判断两个图形是否组成比例，放大或缩小的图形和原来的比较，对应边长、高等的比值相同。比例尺：图上距离：实际距离=比例尺，实际距离=图上距离Failed to download image : 实物缩小到图上，比例尺小于1；实物扩大到图上，比例尺大于1。比例应用题：整理题中的数量组成比例，求出比例中的未知项。6.规律归纳图形缩放：将图形按照给定比放大或缩小，对应边长、高之比等于给定比。面积比等于给定比的平方。比例尺：比例尺=图上距离实际距离；图上距离=实际距离比例尺；实际距离=图上距离比例尺。缩小，比
13、例尺1；放大，比例尺1比例应用题：整理题中的数量组成比例，求出比例中的未知项。16解比例:_【答案】【解析】【分析】解比例的依据是比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积，据此解答.【详解】(3x+4):(+)=:解：(3x+4)=(+)+2=+2=3+2-2=3-2=1x=故答案为17给甲乙丙三个小朋友分苹果，甲和乙的比是，乙和丙是，这样甲比丙多10个，甲得到苹果_。【答案】30个【解析】【分析】根据比的基本性质，54的前、后项都乘3就是1512，65的前、后项都乘2就是1210，组成连比是甲、乙、丙三个小朋友分得苹果个数的比是151210，这样甲就比丙多（15-10）份，求出每份
14、是几个，即可求出甲是几个。【详解】54=151265=1210，=甲、乙、丙三个小朋友分得苹果个数的比是151210；甲就比丙多：15-10=5（份）10515=215=30（个）故答案为：30个【点睛】此题可把把比转化成分数，再根据分数除法的意义，求出一共有多少个苹果，再求出甲有苹果的个数。18从1、4、5、6这四个数中，选三个数构成一个三角形，x（x0）与这三个数能组成一个比例，求出所有符合条件的x，则将x的倒数的倒数，由大到小排列为( )【答案】【解析】【详解】根据三角形两边之和大于第三边，可知选出来的三个数只能是4，5，6当x是一个外项，6是比例的另一个外项时，例如x：4=5:6时，6
15、x=45，x=当x是一个外项，5是比例的另一个外项时，例如x：4=6:5时，5x=46，x=当x是一个外项，4是比例的另一个外项时，例如x：5=6:4时，4x=56，x=根据倒数的定义，x的倒数的倒数就是x本身，故答案为19有四个数，分别是2、5、8和a，正好可以组成一个比例，a最小是_，a最大是_。【答案】 1.25 20【解析】【分析】根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积。如a最小，则，a最大数=其余两个最小数的积；如a最大，则，a最小数=其余两个最大数的积。【详解】2a=582a=40a=208a=258a=10a=1.25故答案为：1.25；20。20甲乙两堆水泥，已知甲堆水泥
16、比乙堆多50袋，当甲堆运走80%，乙堆运走 后，甲、乙两堆剩下的水泥袋数的比是65，甲堆水泥原来有_袋（用比例解）【答案】150【解析】【分析】设甲堆水泥原来有x袋，则乙堆水泥有(x-50)袋；甲剩下的水泥：(1-80%)x袋，乙剩下的水泥：(1-)(x-50)袋，根据甲、乙两堆剩下的水泥袋数的比是6:5列出比例解答即可.【详解】解：设甲堆水泥原来有x袋0.2x5=0.25(x-50)6x=1.5x-750.5x=75x=150故答案为15021如图，将直角三角形ABC按比例放大成三角形ADE。（1）根据图中的数据（单位：cm）写出一个比例式：_（2）已知AC10cm，那么CE_cm【答案】
17、8：126：9 5【解析】【分析】（1）三角形放大前后对应边的长度比是不变的，由此根据对应边的长度写出一个比例；（2）根据对应边的长度比相等列出比例求出AE的长度，再求出CE的长度即可。【详解】（1）根据图中数据写出比例式是8：126：9；（答案不唯一）（2）解：设AE的长是x厘米，10：x8：128x1012x1208x15CE15105（cm）【点睛】本题主要考查学生对比例及解比例知识的掌握和灵活运用。22一幅地图的比例尺如图所示，在这幅地图上，图上距离和实际距离的比是( )；实际600千米的距离，在地图上应画成( )厘米.【答案】 1：2500000 24【解析】【详解】根据线段比例尺可
18、求出这幅地图的数值比例尺，用600除以25可求出600千米的图上距离，即在地图上应画成多少厘米.1厘米：25千米1厘米：2500000厘米1：250000060025=24（厘米）答：图上距离和实际距离的比是1：2500000；实际600千米的距离，在地图上应画成24厘米.故答案为1：250000，24.【点睛】本题主要考查了学生对线段比例尺画成数值比例尺方法的掌握.23下图是一个正方形。请你在图中画一条线段，把它分成一个梯形和一个三角形，使它们的面积之比为32。（请保留画图痕迹或写出计算过程）【答案】（计算过程略）画法不唯一；如图：【解析】略24在比例尺是1:5000000的地图上，量得两地
19、的距离是6cm甲、乙两车同时从两地相对开出，2时后相遇已知甲、乙两车的速度比是2:3，甲车每时行驶多少千米？【答案】60千米【解析】【详解】6500000030000000（cm）30000000cm300km3002150（km）15060（千米）五、正比例和反比例1、正比例两个量相除，商一定，则这两个量成正比例关系。ab=k（k为定值），a与b成正比例。2、反比例两个量相乘，积一定，则这两个量成反比例关系。ab=k（k为定值），a与b成反比例。注意：a、b代表两个相关联的量，分别可以对应多个数值，且两两一组。3、正反比例的区别及辨别正反比例是指两个量之间的大小变化的规律，即相除或相乘结果不
20、变。这两个量都有多个取值，但一一对应。正比例中两个量变化趋势一样，一同变大或一同变小。反比例中两个量变化趋势相反，一个变大一个变小。25先判断x与y成什么比例，再把表格填完整。（1）x与y成( )比例x124( )y1.5( )0.3750.3（2）x与y成( )比例x24512y( )67.5( )【答案】 反 5 0.75 正 3 18【解析】略26X和Y表示两种相关联的量，同时5X7Y（X、Y0），X和Y（）。A成正比例B成反比例C不成比例【答案】A【解析】【分析】根据比例的基本性质，把5X7Y改写成比例的形式，使X和5做比例的外项，Y和7做比例的内项，即X：Y7：5，再根据正比例的意义
21、，两种相关联的量，如果这两种相关联的量相对应的两个数的比值，那么这两种相关联的量成正比例据此解答【详解】因为，5X7Y所以X：Y7：5也就是比值一定，所以X和Y成正比例故选：A27仔细观察统计表，按要求完成问题 某生产车间洗衣机的生产情况如表：时间/天12345产量/台4080120160200（1）表中哪两种量是相关联的量？（2）写出几组两种量中相对应的两个数的比，求出比值并比较大小（3）说明这个比值所表示的意义（4）表中的两种量是否成比例，成什么比例？【答案】（1）表中有两种相关联的量：工作时间，工作量；（2）40：140，80：240，120：340，160：440，200：540，它们
22、的比值都是40；（3）这个比值是用工作量除以工作时间所得，所以这个比值表示工作效率；（4）因为表中相关联的两种量：工作量：工作时间工作效率（一定）符合正比例的意义，所以表中相关联的两种量成正比例关系【解析】【详解】本题考查了正比例的意义的理解和灵活应用同时考查了学生分析解决问题的能力28一艘轮船往返于甲、乙两个码头，去时顺水，每小时行20千米；返回时逆水，每小时行15千米，去时比返回时少用了2小时甲、乙两个码头相距多少千米？【答案】120千米【解析】【详解】轮船去时速度返回速度=2015=43,则去时所用时间返回所用时间=34去时所用时间:2(4-3)3=6(时)甲、乙两个码头相距:206=120(千米)答:甲、乙两个码头相距120千米29学校为了丰富同学们的课余生活,买回甲、乙两种篮球共100个,已知甲种篮球每个30元,乙种篮球每个20元,且买甲、乙两种篮球所用的钱数一样多甲、乙两种篮球各买了多少个?【答案】甲种40个 乙种60个【解析】【详解】因为甲、乙两种篮球的单价比为3020=32,所以甲、乙两种篮球的数量比为23甲种篮球:100=40(个)乙种篮球:100=60(个)答:甲种篮球买了40个,乙种篮球买了60个
