1、 在很多数学和物理问题中，经常需要求一类特殊和式的极限:这类特殊极限问题导出了定积分的概念.1 定积分的概念 数学分析 第九章定积分01lim(),Tniiifx ( ,)| , , 0( ) .Ax yxa byf x三个典型问题( ) , , ,yf xxa b1. 设设求曲边梯形求曲边梯形 A 的面积的面积S (A), 其中其中 yxO xfy ( )S Aab后退 前进 目录 退出2. 已知质点运动的速度为已知质点运动的速度为求从时刻求从时刻 ( ) , , .v tta b3. 已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为已知质量非均匀分布的线状物体的密度函数为 , )(x , ,bax
2、 求线状物体的质量求线状物体的质量 m .显然显然, ,( )( )();f xcS Ac ba当当为为常常值值函函数数时时，0();sv ba为为匀匀速速运运动动时时, ,0( )v tv当当当当质质量量为为,x 均均匀匀分分布布时时， 即即为为常常数数时时).(abm 这就是说这就是说, ,在在“常值常值”、“均匀均匀”、“不变不变”的情的情a 到时刻到时刻 b, ,质点运动的路程质点运动的路程 s.情况下，情况下，可以用简单的乘法进行计算可以用简单的乘法进行计算. 以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合以下我们以求曲边梯形的面积为例，把这类问题合中心思想：中心思想：“有变化有变化”
3、的情形的情形, 如何来解如何来解决这些问题呢？决这些问题呢？理地归为一类理地归为一类特殊和式的极限特殊和式的极限. .把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，把曲边梯形看作许许多多小的曲边梯形之和，小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代小曲边梯形面积，可近似地用矩形的面积来替代,而现在遇到的问题是而现在遇到的问题是“非常值非常值” 、“不均匀不均匀”、每个每个虽然为此会产生误差，虽然为此会产生误差，矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积矩形面积之和就越来越接近于曲边梯形面积. .但当分割越来越细的时候但当分割越来越细的时候,一分为二一分为二yxO xfy ( )S Aab1x一分为四一分为
4、四yxO xfy ab1x2x3x( )S A一分为八一分为八yxO xfy ab8 1x1x3x( )S A一分为一分为 nyxO xfy ab1xix1ix1nxi ( )S A可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形可以看出小矩形面积之和越来越接近于曲边梯形的面积的面积. .过程呢？过程呢？1. 分割：分割：,21nAAAa1x2x1 nxb即在即在上插入上插入 个分点个分点121,nxxx , a b1n121,naxxxb 如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的如何严格地定义这一越来越逼近曲边梯形面积的这可以分三步进行这可以分三步进行. 0,nxa xb为为方方便便起起见见，记
5、记，1,iiixx 11 2, , ,iiixxxin 把曲边梯形把曲边梯形 A 分成分成 n 个小曲边梯形个小曲边梯形010, ,.nnTxxxT用用或或 = =来来记记这这个个分分割割11,( )iiiiixxxxf x 在在上上把把近近似似看看作作常常数数11( )().nniiiiiS ASfx 2. 近似近似: :1().niiifx 上上述述和和式式称称为为积积分分和和或或黎黎曼曼和和iA把把小小曲曲边边梯梯形形近近似似看看作作矩矩形形，即任取即任取().if (),iiiiASfx 此此时时的的面面积积约约为为所以所以3. 逼近逼近：当分割越来越细时当分割越来越细时, 和式和式1
6、()niiifx 问题是：问题是：(1)如如何何刻刻画画分分割割越越来来越细？越细？1(2)()?niiifxS 如如何何刻刻画画越越来来越越逼逼近近于于就会越来越小就会越来越小.S与与的的差差距距下面依次讨论这两个问题下面依次讨论这两个问题. .1()niiifx 与曲边梯形的面积与曲边梯形的面积因此黎曼和因此黎曼和不管分割多么细，小曲边梯形终究不是不管分割多么细，小曲边梯形终究不是矩形矩形,S 总有差别总有差别.来表示分割来表示分割 T 越来越细越来越细, ,n 用用max1,2,.iTxin1,iixx区区间间要要保保证证每每个个区区间间的长度不趋于的长度不趋于 0 . .1,0,iix
7、xT的的长长度度趋趋于于需需引引细细度度入入分分的的: :割割( (模模) )0T则则当当时时, ,就能保证分割越来越细就能保证分割越来越细. ., )1(100bxxxaTn：对于一般的对于一般的不能不能因为可能某些因为可能某些都都有有1().niiifxS对于另外两个实际问题对于另外两个实际问题, ,也可类似地归结为黎曼和也可类似地归结为黎曼和0, 给定的给定的的极限的极限. .1(2) (),niiifxS 要要刻刻画画能能无无限限逼逼近近需要任意需要任意能够找到能够找到 , 0 使得当使得当maxiTx时时，1,iiixx 对对任任意意总结以上分析，下面给出定积分定义总结以上分析，下面
8、给出定积分定义.定义1 ,R.fa bJ设设是是定定义义在在上上的的函函数数， 001:,nT axxxb00,若若，对对任任意意分分割割 ,fa b则则称称在在上上可可积积，并称并称 J 为为 f 在在 a, ,b上的上的1,1,2, ,iiixxin 及任意及任意01( )dlim().nbaTiJf xxfxii 定积分定积分, ,maxiTx 当当时时, ,必必有有1(),niiifxJ 记作记作分分变变量量, ,f其其中中称称为为被被积积函函数数, ,x 为为积积 ,a b 为为积积分分区区间间, ,( )f x由由定定义义 曲曲边边为为的的曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为( )d
9、.baSf xx( )v t通通过过类类似似分分析析, ,速速度度质质点点运运动动的的路路程程为为( )d ;basv tt( )x 密密度度为为线线状状物物体体的的质质量量为为( )d .bamxx ,a b 分分别别为为积积分分下下限限和和上上限限. .1()niiifx 和和式式注注1nT不不仅仅与与和和有有关关, ,还还与与列极限，也不是函数极限列极限，也不是函数极限.注注2 中中, ,我们把小曲边梯形近似看作矩形时我们把小曲边梯形近似看作矩形时, ,12,n有有关关, ,因此定积分的极限既不是数因此定积分的极限既不是数关于定积分定义，应注意以下几点：关于定积分定义，应注意以下几点：f
10、 (x)在每个小区间在每个小区间xi1, xi上变化不大上变化不大, 要求要求 f (x) 有某种程度上的连续性有某种程度上的连续性. , .a b并并非非每每个个函函数数在在上上都都可可积积 在近似过程在近似过程显然要求显然要求这相当于这相当于a, b 上的一致连续性上的一致连续性, 可证可证 f (x)在在a, b上上可积可积.下面举例来加深理解用定义求定积分的方法下面举例来加深理解用定义求定积分的方法. .122001d = limniiTiSxxx 2( )0 1f xx在在， 上上连连续续，故故解解120d .xx求求例例1存在存在. . 以后将知道以后将知道 f (x) 在在a,
11、b 上连续时上连续时, 利用利用 f (x) 在在, 2 , 1, 11210: nnnnnTn, 2 , 1,11ninininii 取取则则此时黎曼和的极限化为此时黎曼和的极限化为nniSnin1121 数列数列的极限的极限. .为方便起见为方便起见, 令令 1maxnii nTx 10,nn nniSnin11lim12 ninin12311lim 36121limnnnnn于是于是这里利用了连续函数的可积性这里利用了连续函数的可积性. .1.iin 可取特殊的分割可取特殊的分割( (等分等分) )和特殊的介点和特殊的介点 .31因为可积因为可积, 所以所以注注3. .积分的几何意义积分
12、的几何意义: :( )0,( )dbaf xf xxA曲边梯形面积曲边梯形面积( )0,( )dbaf xf xx曲边梯形面积的负值曲边梯形面积的负值abyx1A2A3A4A5A12345( )dbaf xxAAAAA各部分面积的代数和各部分面积的代数和AO( )d( )dbaabf xxf xx ( )d0;aaf xx 规定规定注注4.为了以后讨论方便，为了以后讨论方便，定积分作为和式的极限，它的值只与被积函数和定积分作为和式的极限，它的值只与被积函数和与与积分积分变量用什么字母表示无关变量用什么字母表示无关 , ,即即( )dbaf xx( )dbaf tt( )dbaf uu积分区间有关积分区间有关 ，
