1、第七章第七章 刚体的简单运动刚体的简单运动第七章第七章 刚体的简单运动刚体的简单运动第七章第七章 刚体的简单运动刚体的简单运动刚体的简单运动：刚体的简单运动：一、一、平移运动平移运动二、定轴转动二、定轴转动三、定轴转动刚体上点的速度三、定轴转动刚体上点的速度加速度加速度四、定轴轮系的传动比四、定轴轮系的传动比五、角运动量的矢量表示五、角运动量的矢量表示平移运动平移运动实例实例平移运动平移运动一、一、平移运动平移运动定义定义：刚体运动：刚体运动时时，刚体上任，刚体上任一一直线始终直线始终保持与其保持与其初始初始位置平行的运动。位置平行的运动。特点特点：在：在同一瞬时，同一瞬时，刚体上刚体上各点的
2、轨迹相同、速度相同、各点的轨迹相同、速度相同、加速度相同。加速度相同。简化简化：刚体平移：刚体平移运动运动时，可简化为点的运动来研究（通常时，可简化为点的运动来研究（通常取作质心），归结为点的运动学问题。取作质心），归结为点的运动学问题。分类分类：按轨迹可将刚体平移：按轨迹可将刚体平移运动运动分为分为直线直线平移平移和和曲线曲线平移平移两类。两类。平移运动平移运动ABrrBA 0dBAdt ABABdrdrvvdtdt2222ABABd rd raadtdt刚体平移刚体平移运动运动 点的运动学问题点的运动学问题二、二、定轴转动定轴转动定义定义：刚体运动时，刚体上有两点的位置始终刚体运动时，刚体
3、上有两点的位置始终保持不动保持不动定轴转动定轴转动实例实例定轴转动定轴转动实例实例定轴转动定轴转动实例实例dtd 22dtddtd 转速转速 n (rpm)(t 定轴转动定轴转动整体分析整体分析定义定义：刚体刚体定轴转动定轴转动时，刚体上时，刚体上保持不动的两点的连线称为保持不动的两点的连线称为转轴转轴或或轴线轴线用转角表示的用转角表示的转动方程转动方程（一个自由度）（一个自由度） ：角速度角速度：角加速度角加速度：xyoMvr602 n 换算关系：换算关系：转动刚体转动刚体整体整体的运动的运动：加速度加速度：速度速度： trs rv运动方程运动方程：ra2ran42ra2arctan全加速度
4、全加速度：定轴转动定轴转动速度速度 加速度加速度xyoMvraana（转动刚体上转动刚体上点点的运动的运动）s三、三、定轴转动刚体上各点的速度定轴转动刚体上各点的速度 加速度加速度v各点的速度各点的速度 加速度是定轴转动刚体的局部性质的描述！加速度是定轴转动刚体的局部性质的描述！定轴转动刚体上的速度分布定轴转动刚体上的速度分布定轴转动定轴转动速度分布速度分布定轴转动刚体上的速度分布定轴转动刚体上的速度分布定轴转动定轴转动速度分布速度分布定轴转动刚体上的加速度分布定轴转动刚体上的加速度分布定轴转动定轴转动加速度分布加速度分布定轴转动刚体上的加速度分布定轴转动刚体上的加速度分布定轴转动定轴转动加速
5、度分布加速度分布思考思考：定轴转动圆盘上：定轴转动圆盘上M点的加速度如图所示，则该瞬时圆盘点的加速度如图所示，则该瞬时圆盘的角速度的角速度 和角加速度和角加速度 分别为分别为定轴转动定轴转动思考题思考题O OM MaO OM MaO OM Ma 0 = 0 0 0 = 0 0四、四、定轴轮系的传动比定轴轮系的传动比定轴轮系的传动比定轴轮系的传动比定轴轮系的传动比定轴轮系的传动比122121rr 1212212112zzrri 规定：规定：外啮合取负外啮合取负（反向转动）（反向转动）内啮合取正内啮合取正（同向转动）（同向转动）传动比公式也适用于皮带轮传动传动比公式也适用于皮带轮传动21MMvv
6、2211 rr 21MMaa 2211 rr vvaa定轴轮系的传动比定轴轮系的传动比MOOMrr解：解： OA杆作定轴转动：杆作定轴转动：4cos4tdtdcm/s56. 5rvA4sin16222tdtd2cm/s36. 4raA22cm/s54. 1raAnAB杆作平移杆作平移:cm/s56. 5AMvv2cm/s36. 4AMaa2cm/s54. 1AnMnaavM AaMna Ma当当 t =1s时：时：vAOA=OB =r =10 cm，OA转角转角 = sin t/4，求，求t =1s时，时，AB杆杆中点中点M 的速度和加速度。的速度和加速度。例例 1：平行四边形机构：平行四边形
7、机构OABM OAna平行四边形机构平行四边形机构速度分布速度分布平行四边形机构的速度分布平行四边形机构的速度分布例例 2：减速运动的飞轮：减速运动的飞轮飞轮转速飞轮转速 n=240r/min，断电后作匀减速运动，经，断电后作匀减速运动，经 4min10s 停止，停止，求求飞轮的角加速度和飞轮的角加速度和停止前所转过的转角。停止前所转过的转角。解解: :02408rad/s3030n20080.1 rad/s250t 2012tt2182500.1 2503155 rad2例例 3：胶带轮：胶带轮绞车机构绞车机构r1r2r3ADCBPIIIn1胶带轮胶带轮绞车机构如图，已知绞车机构如图，已知r
8、1=0.3m，r2=0.75m，r3=0.4m，轮轮I 作匀速转动，转速作匀速转动，转速n1=100rpm，胶带与带轮之间无滑动，求重物胶带与带轮之间无滑动，求重物 P 的上升速度和胶带各段的加速度。的上升速度和胶带各段的加速度。解解: : 轮轮I的转速的转速31060211n（rad/s）轮轮II的转速：的转速：3475. 03 . 011212rr（rad/s）重物重物 P 上升的速度：上升的速度：616. 1344 . 023rv（m/s）例例 3：胶带轮：胶带轮绞车机构绞车机构r1r2r3ADCBPIIIn1胶带胶带AB、CD段上各点作直段上各点作直线运动，各点的加速度与两线运动，各点
9、的加速度与两轮轮缘的切向加速度相同，轮轮缘的切向加速度相同，因此因此思考思考：在在A、B、C、D四点，轮缘上的加速度与胶带上的加四点，轮缘上的加速度与胶带上的加速度是否相同？为什么？速度是否相同？为什么？0CDABaa胶带胶带AD、BC段上各点作圆周运动，段上各点作圆周运动，各点加速度与两轮轮缘的法向加各点加速度与两轮轮缘的法向加速度相同，因此速度相同，因此（m/s2）9 .32211raAD（m/s2）2 .13222raBC摇杆机构的滑杆摇杆机构的滑杆AB 以匀速以匀速 u向上运动，初瞬时向上运动，初瞬时 =0，求，求 = /4时摇杆时摇杆OC 的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。例例
10、 4：摇杆机构：摇杆机构OBACu yxLb解解tanutLarctanutL求导：求导：22 2duLdtLu t再求导：再求导：3222 22du LtdtLu t 当当 = /4时，时，t =L/u，所以：，所以：2uL222uL 负号说明此刻负号说明此刻角加速度的方向与转角加速度的方向与转角的方向相反！角的方向相反！例例 5：平动物块与转动杆：平动物块与转动杆物块物块B 以匀速以匀速v0 沿水平直线运动，杆沿水平直线运动，杆OA与物块棱边（与物块棱边（C点）保持接触，物块点）保持接触，物块高度为高度为 h，求杆，求杆OA 转动的方程、角速度和角加速度。转动的方程、角速度和角加速度。解解
11、: : 取坐标如图，取取坐标如图，取 =0为计算的为计算的起点，按题意有起点，按题意有 x = v0t ，则，则htvhx0tan所以杆所以杆OA的转动方程为：的转动方程为：htv0arctan杆杆OA的角速度为：的角速度为：杆杆OA的角加速度为：的角加速度为：22020200/1/tvhhvhtvhvdtd22202302tvhthvdtdv0CxyOBhx A用矢量表示角速度与角加速度用矢量表示角速度与角加速度考察三维定轴转动刚体：考察三维定轴转动刚体：三维定轴三维定轴转动刚体转动刚体角速度矢量、角加速度矢量角速度矢量、角加速度矢量xyz五、五、角运动量的矢量表示角运动量的矢量表示角运动量
12、的矢量表示角运动量的矢量表示角运动量的矢量表示角运动量的矢量表示用矢量表示角速度与角加速度用矢量表示角速度与角加速度如图（考察三维定轴转动刚体）：如图（考察三维定轴转动刚体）：角运动量的矢量表示角运动量的矢量表示PPPdrvrdt证明（证明（1）速度的大小：）速度的大小：PPvrsin,PPrr1PO Pv（2）速度的方向（矢积的方向）速度的方向（矢积的方向）角运动量的矢量表示角运动量的矢量表示PPPdvdardtdtPPdrdrdtdtPPrvPPrrtnPPaa例例 6：计算点的速度与加速度：计算点的速度与加速度刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O，角
13、速度矢为，角速度矢为解解: :5sin5cos5 322ttijk求求：t =1s时，时，刚体上点刚体上点M (0，2，3)的速度矢及加速度矢。的速度矢及加速度矢。5sin5cos5 322023ijkttvr101510ijk darvrvdt7.575 320075ijk 例例 7：刚体上点的速度：刚体上点的速度某定轴转动刚体的转轴通过点某定轴转动刚体的转轴通过点M0(2,1,3)，其角速度矢的方向余弦，其角速度矢的方向余弦为为 l =(0.6,0.48,0.64)，角速度的大小，角速度的大小 =25rad/s 。解解: :求求：刚体上点：刚体上点M(10,7,11)的速度。的速度。25
14、0.60.480.6486868ijkvlrjkl其中其中 l =(0.6,0.48,0.64)点点M相对于相对于点点M0的矢径的矢径0MMrrr=(10,7,11)(2,1,3) = (8,6,8) 泊松公式泊松公式考察三维定轴转动刚体：考察三维定轴转动刚体： 动参考系动参考系O1x y z 绕绕 z 轴转动，角轴转动，角速度为速度为 ，基，基矢量为矢量为()角运动量的矢量表示角运动量的矢量表示?didt?djdt?dkdt如果将如果将基基矢量矢量 (i , j , k)视为视为动参考动参考系系O1 x y z 中的矢径，根据速度矢量中的矢径，根据速度矢量的定义，基矢量对时间的一阶导数就的定
15、义，基矢量对时间的一阶导数就是基矢量端点轨迹上各点（例如是基矢量端点轨迹上各点（例如P1、 P2 、P3点）的速度矢量。点）的速度矢量。角运动量的矢量表示角运动量的矢量表示泊松公式（续）泊松公式（续）P1P3P21Pdiivdt2Pdjjvdt3Pdkkvdt自然轴系自然轴系加速度的推导（加速度的推导（1）泊松公式的应用泊松公式的应用在任一瞬时，可将点在任一瞬时，可将点M 的运动的运动看作绕密切面内曲率中心看作绕密切面内曲率中心O 的的瞬时转动瞬时转动，因此：，因此：v = ， a = naanvaa2所以：所以：sMObnbvsnaaanvbdtd利用利用泊松公式泊松公式以及以及 v = ：
16、vdtdvadtdvv由由加速度的定义加速度的定义：自然轴系自然轴系加速度的推导（加速度的推导（2）瞬时定轴转动的类比瞬时定轴转动的类比利用利用定轴转动（点）公式定轴转动（点）公式，有：，有：naanva2sMObnbvsnaaa在任一瞬时，可将点在任一瞬时，可将点M 的运动的运动看作绕密切面内曲率中心看作绕密切面内曲率中心O 的的瞬时转动瞬时转动， 因此：因此：v = ， a = vabvnb nbb其中：其中：例例 8：定轴转动刚体：定轴转动刚体 一定轴转动的刚体，在初瞬时角速度为一定轴转动的刚体，在初瞬时角速度为 0 0=20rad/s，刚体上某，刚体上某点的运动规律为点的运动规律为s
17、= t +t 3（m/s）。求）。求 t =1=1s 时刚体的角速度和角时刚体的角速度和角加速度以及该点到转轴的距离。加速度以及该点到转轴的距离。 解解: : 点的速度和切向加速度分别为：点的速度和切向加速度分别为： 当当t =1 1s时：时：21 36tdsdvvt , atdtdt 利用初始时刻（利用初始时刻（t =0 0）速度与角速度的关系，有：）速度与角速度的关系，有： = av=2m/s6,m/s4 m050 , 1000.vrv例例 8：定轴转动刚体：定轴转动刚体在在 t =1 1s 时的角速度和角加速度分别为：时的角速度和角加速度分别为：2rad/s120 ,rad/s80rar
18、v验证：利用（验证：利用（t =1 1s）时刻速度与角速度的关系，有：）时刻速度与角速度的关系，有： m050 , 4.vrv例例 9：飞轮的转动规律：飞轮的转动规律 某飞轮绕固定轴某飞轮绕固定轴O转动的过程中，轮缘上任一点的全加速度与转动的过程中，轮缘上任一点的全加速度与其转动半径的夹角恒为其转动半径的夹角恒为 =60o。在运动开始时刻，飞轮转角。在运动开始时刻，飞轮转角 = 0 = 0，角速度为，角速度为 0 。求飞轮的转动方程以及角速度和转角间的。求飞轮的转动方程以及角速度和转角间的关系。关系。解解: : 由切向和法向加速度关系可知由切向和法向加速度关系可知, 360tan2naa23d
19、td0203tddtdtdt0031分离变量积分分离变量积分得到得到 a ana 例例 9：飞轮的转动规律：飞轮的转动规律23dddddtddtd003dd3exp0另外：另外：031ln313t0013ddtt再次分离变量积分再次分离变量积分000013tdtdt得到飞轮的转动方程得到飞轮的转动方程 a ana 例例 10：纸（磁带）盘的转动规律：纸（磁带）盘的转动规律纸盘由厚度为纸盘由厚度为 a 的纸条卷成，若以不变的速度的纸条卷成，若以不变的速度 v 拉出纸条，求拉出纸条，求纸盘的角加速度纸盘的角加速度 与其半径与其半径 r 的函数关系。的函数关系。解解: : 设纸盘初始半径为设纸盘初始
20、半径为r0，面积为，面积为 r02，纸盘，纸盘面积减小的速度为面积减小的速度为av，经过，经过时间时间 t 后纸盘后纸盘面积变为面积变为 r 2，因此存，因此存在关系式在关系式: :avtrr220 vra求导求导：avdtdrr 2即即：ravdtdr 2 另外由另外由rv 所以角加速度为所以角加速度为32222ravravrvdtdrrdtd两边求导，得：两边求导，得：dtdrdtdr0思考思考（1 1）各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动吗？）各点都作圆周运动的刚体一定是定轴转动吗？（2 2）刚体作平移运动时，各点的轨迹一定是直线，对否？）刚体作平移运动时，各点的轨迹一定是直线，对否？（3 3）刚体作定轴转动时，各点的轨迹一定是圆，对否？）刚体作定轴转动时，各点的轨迹一定是圆，对否？思思 考考 ？
