1、第二十一讲 矩形、菱形、正方形1.1.了解了解: :矩形、菱形、正方形的概念矩形、菱形、正方形的概念, ,以及它们与平行四边以及它们与平行四边形之间的关系形之间的关系. .2.2.理解理解: :矩形、菱形、正方形的性质和判别的推导矩形、菱形、正方形的性质和判别的推导, ,以及它以及它们之间的区别与联系们之间的区别与联系. .3.3.能能: :利用矩形、菱形、正方形的性质和判别进行计算和证利用矩形、菱形、正方形的性质和判别进行计算和证明明. .一、矩形的性质与判别一、矩形的性质与判别性质性质1.1.四个角都是四个角都是_._.2.2.对角线相等对角线相等. .3.S=ab(a,b3.S=ab(a
2、,b分别表示长和宽分别表示长和宽).).判别判别1.1.有一个角是有一个角是_的平行四边形是矩形的平行四边形是矩形( (定义定义).).2.2.有三个角是有三个角是_的四边形的四边形. .3.3.对角线对角线_的平行四边形的平行四边形. .直角直角直角直角直角直角相等相等二、菱形的性质和判别二、菱形的性质和判别性质性质1.1.四条边都四条边都_._.2.2.对角线互相垂直对角线互相垂直, ,每一条对角线每一条对角线_一组对角一组对角. .3.3.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. .判别判别1.1.有一组邻边有一组邻边_的平行四边形的平行四边形( (定义定义
3、).).2.2.四条边都相等的四条边都相等的_._.3.3.对角线互相垂直的对角线互相垂直的_._.相等相等平分平分相等相等四边形四边形平行四边形平行四边形三、正方形的性质和判别三、正方形的性质和判别性质性质1.1.四个角都是四个角都是_._.2.2.四条边四条边_._.3.3.对角线对角线_且互相且互相_,_,对角线与边的对角线与边的夹角为夹角为_._.判别判别1.1.有一个角是直角有一个角是直角, ,一组邻边相等的一组邻边相等的_( (定义定义).).2.2.一组邻边相等的一组邻边相等的_._.3.3.一个角是直角的一个角是直角的_._.直角直角相等相等相等相等垂直平分垂直平分4545平行
4、四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形1.1.对角线互相平分且相等的四边形是对角线互相平分且相等的四边形是( )( )A.A.菱形菱形 B.B.矩形矩形C.C.平行四边形平行四边形 D.D.等腰梯形等腰梯形B B2.2.如图如图, ,若要使平行四边形若要使平行四边形ABCDABCD成为菱形成为菱形. .则需要添加的条件是则需要添加的条件是( )( )A.AB=CDA.AB=CD B.AD=BCB.AD=BCC.AB=BCC.AB=BC D.AC=BDD.AC=BDC C3.3.如图如图, ,在矩形在矩形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O.O.已知已知AOB=60
5、AOB=60,AC=16,AC=16,则图中长度为则图中长度为8 8的线段有的线段有( )( )A.2A.2条条 B.4B.4条条 C.5C.5条条 D.6D.6条条4.4.矩形的两条对角线的夹角为矩形的两条对角线的夹角为6060, ,一条对角线与短边的和为一条对角线与短边的和为15,15,则对角线的长为则对角线的长为_._.D D10105.5.如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD中中,A=60,A=60, ,对角线对角线BD=7,BD=7,则菱形则菱形ABCDABCD的周的周长等于长等于_._.6.6.在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O,
6、AC,BDO,AC,BD的长分别为的长分别为5cm,10cm,5cm,10cm,则菱形则菱形ABCDABCD的面积为的面积为_cm_cm2 2. .28282525热点考向热点考向 一一 矩形的性质和判定矩形的性质和判定【例例1 1】(1)(2013(1)(2013北京中考北京中考) )如图如图,O,O是矩形是矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC的中点的中点,M,M是是ADAD的中点的中点, ,若若AB=5,AD=12,AB=5,AD=12,则四边形则四边形ABOMABOM的周长为的周长为. .(2)(2012(2)(2012扬州中考扬州中考) )如图如图, ,在四边形在四边形ABCD
7、ABCD中中,AB=BC,AB=BC,ABC=CDA=90ABC=CDA=90,BEAD,BEAD,垂足为垂足为E.E.求证求证:BE=DE.:BE=DE.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据矩形的对边相等求出根据矩形的对边相等求出CDCD的长的长, ,根据勾股根据勾股定理求出定理求出ACAC的长的长, ,根据根据OMOM是是ACDACD的中位线求出的中位线求出OMOM的长的长. .(2)(2)作作CFBECFBE于于F,F,先根据先根据AASAAS证明证明ABEABEBCF,BCF,得得BE=CF,BE=CF,再证四边形再证四边形FEDCFEDC是矩形是矩形, ,得得CF=DE.CF=DE.
8、【自主解答自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形, ,CD=AB=5,CD=AB=5,根据勾股定理解得根据勾股定理解得AC=13.AC=13.又又O O为为ACAC的中的中点点,BO=6.5.M,BO=6.5.M是是ADAD的中点的中点,AM=6,OM=2.5,AM=6,OM=2.5,四边形四边形ABOMABOM的周长为的周长为5+6.5+2.5+6=20.5+6.5+2.5+6=20.答案答案: :2020(2)(2)如图如图, ,作作CFBECFBE于于F,F,BFC=CFE=90BFC=CFE=90. .BEAD,BEAD,AEB=BED=90AEB=BED=90
9、. .ABE+A=90ABE+A=90, ,而而ABE+FBC=90ABE+FBC=90,A=FBC.,A=FBC.又又AB=BC,AB=BC,ABEABEBCF(AAS),BCF(AAS),BE=CF.BE=CF.在四边形在四边形FEDCFEDC中中,BED=CFE=CDE=90,BED=CFE=CDE=90, ,四边形四边形FEDCFEDC是矩形是矩形, ,CF=DE.BE=DE.CF=DE.BE=DE.【名师助学名师助学】 1.1.矩形性质的应用矩形性质的应用(1)(1)从角上看从角上看: :矩形的四个角都是直角矩形的四个角都是直角, ,可将矩形问题转化为直可将矩形问题转化为直角三角形的
10、问题去解决角三角形的问题去解决. .(2)(2)从对角线上看从对角线上看: :对角线将矩形分为四个面积相等的等腰三对角线将矩形分为四个面积相等的等腰三角形角形, ,可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决可将矩形问题转化为等腰三角形的问题去解决. .(3)(3)矩形是中心对称图形矩形是中心对称图形, ,对称中心是对角线的交点对称中心是对角线的交点, ,过对称中过对称中心的任意一条直线将矩形分成面积相等的两个多边形心的任意一条直线将矩形分成面积相等的两个多边形. .2.2.矩形的判定矩形的判定(1)(1)若四边形若四边形( (或可证或可证) )为平行四边形为平行四边形, ,则再证一个角为直角或则
11、再证一个角为直角或对角线相等对角线相等. .(2)(2)若直角较多若直角较多, ,可证三个角为直角可证三个角为直角. .热点考向热点考向 二二 菱形的性质与判别菱形的性质与判别【例例2 2】(2013(2013黄冈中考黄冈中考) )如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,对角线对角线AC,BDAC,BD相交于点相交于点O,O,DHABDHAB于于H,H,连结连结OH,OH,求证求证:DHO=DCO.:DHO=DCO.【思路点拨思路点拨】OD=OBOD=OB，DHABOH=OBOHB=OBHDHABOH=OBOHB=OBH ABCDOBH=ODC ABCDOBH=ODCOHB
12、=ODCOHB=ODC等角的余角相等等角的余角相等DHO=DCO.DHO=DCO.【自主解答自主解答】四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,OD=OB,COD=90OD=OB,COD=90, ,DHABDHAB于于H,H,DHB=90DHB=90,OH=OB= BD,OH=OB= BD,OHB=OBH.OHB=OBH.又又ABCD,ABCD,OBH=ODC,OHB=ODC.OBH=ODC,OHB=ODC.在在RtRtCODCOD中中,ODC+DCO=90,ODC+DCO=90, ,在在RtRtDHBDHB中中,DHO+OHB=90,DHO+OHB=90, ,DHO=DCO.DHO=DC
13、O.12【高手支招高手支招】关于菱形的计算问题关于菱形的计算问题, ,经常放在菱形被对角线分经常放在菱形被对角线分割成的等腰三角形或直角三角形中解决割成的等腰三角形或直角三角形中解决. .而在由两条对角线的而在由两条对角线的一半和菱形的边长所构成的直角三角形中利用勾股定理求解一半和菱形的边长所构成的直角三角形中利用勾股定理求解更是计算菱形中的有关线段长度的常用方法更是计算菱形中的有关线段长度的常用方法. .【名师助学名师助学】菱形性质的三个应用菱形性质的三个应用1.1.菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形, ,可将菱形可将菱形的问题转化为直角三角
14、形去解决的问题转化为直角三角形去解决. .2.2.有一个内角为有一个内角为6060( (或或120120) )的菱形的菱形, ,连结对角线可构成等连结对角线可构成等边三角形边三角形, ,可将菱形问题转化到等边三角形中去解决可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. .3.3.巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. .热点考向热点考向 三三 正方形的性质与判别正方形的性质与判别【例例3 3】(2012(2012宁夏中考宁夏中考) )正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为3,E,F3,E,F分别是分别是AB,BCAB,BC边上的点边上的点,
15、 ,且且EDF=45EDF=45. .将将DAEDAE绕点绕点D D逆时针旋转逆时针旋转9090, ,得到得到DCM.DCM.(1)(1)求证求证:EF=FM.:EF=FM.(2)(2)当当AE=1AE=1时时, ,求求EFEF的长的长. .【思路点拨思路点拨】(1)(1)由由DAEDAE旋转旋转, ,得得DE=DM,EDM=90DE=DM,EDM=90, ,再证再证FDM =EDF,FDM =EDF,可得可得DEFDEFDMF,DMF,得得EF=MF.EF=MF.(2)(2)设设EF=x,EF=x,把所有的数据转化到把所有的数据转化到RtRtEBFEBF中中, ,由勾股定理求解由勾股定理求解
16、. .【自主解答自主解答】(1)(1)DAEDAE逆时针旋转逆时针旋转9090得到得到DCM,DCM,DE=DM,EDM=90DE=DM,EDM=90, ,EDF +FDM=90EDF +FDM=90, ,EDF=45EDF=45, ,FDM =EDF=45FDM =EDF=45. .又又DF= DF,DF= DF,DEFDEFDMF,DMF,EF=FM.EF=FM.(2)(2)设设EF=x,AE=CM=1,EF=x,AE=CM=1,BF=BM-MF=BM-EF=4-x,BF=BM-MF=BM-EF=4-x,EB=2,EB=2,在在RtRtEBFEBF中中, ,由勾股定理得由勾股定理得EBEB
17、2 2+BF+BF2 2=EF=EF2 2, ,即即2 22 2+(4-x)+(4-x)2 2=x=x2 2, ,解之解之, ,得得 5x.2【名师助学名师助学】判定正方形的三步法判定正方形的三步法1.1.先证明它是平行四边形先证明它是平行四边形. .2.2.再证明它是矩形再证明它是矩形( (或是菱形或是菱形).).3.3.最后证明它是正方形最后证明它是正方形. .矩形中的折叠问题矩形中的折叠问题 【典例典例】(2012(2012武汉中考武汉中考) )如图如图, ,矩形矩形ABCDABCD中中, ,点点E E在边在边ABAB上上, ,将矩形将矩形ABCDABCD沿直线沿直线DEDE折叠折叠,
18、,点点A A恰好落在边恰好落在边BCBC上的点上的点F F处处. .若若AE=5,BF=3,AE=5,BF=3,则则CDCD的长是的长是( () )A.7A.7 B.8 B.8 C.9 C.9 D.10 D.10【思路点拨思路点拨】创新点创新点把折叠问题与矩形的性质相结合把折叠问题与矩形的性质相结合突破口突破口1.1.由折叠知由折叠知AEDAEDFED,EF=AEFED,EF=AE2.2.在在RtRtBEFBEF中中, ,根据勾股定理求根据勾股定理求BE,BE,进而求出进而求出ABAB3.3.利用矩形的性质利用矩形的性质, ,求出求出CDCD【自主解答自主解答】选选C.C.将矩形将矩形ABCD
19、ABCD沿直线沿直线DEDE折叠折叠, ,点点A A恰好落在恰好落在边边BCBC上的点上的点F F处处.AEDAEDFED,FED,EF=AE=5,EF=AE=5,在在RtRtBEFBEF中中, , CD=AB=AE+BE=5+4=9.CD=AB=AE+BE=5+4=9.2222BEEFBF534,【思考点评思考点评】1.1.方法感悟方法感悟: :(1)(1)折起部分与重合部分是全等的折起部分与重合部分是全等的. .(2)(2)利用轴对称的性质利用轴对称的性质对称轴垂直平分对应点之间的连线对称轴垂直平分对应点之间的连线. .(3)(3)从矩形含有直角这一特殊性出发从矩形含有直角这一特殊性出发,
20、 ,巧用勾股定理等知识巧用勾股定理等知识. .2.2.技巧提升技巧提升: :(1)(1)折叠的本质特征折叠的本质特征, ,折叠前后的图形关于折痕成轴对称折叠前后的图形关于折痕成轴对称. .(2)(2)解决这类问题的关键首先要把握折叠的变化规律解决这类问题的关键首先要把握折叠的变化规律, ,即即: :弄清弄清折叠前后哪些量变了折叠前后哪些量变了, ,哪些量没有变哪些量没有变, ,折叠后又有哪些条件可折叠后又有哪些条件可利用利用; ;其次要充分挖掘图形的几何性质其次要充分挖掘图形的几何性质, ,利用全等三角形、勾利用全等三角形、勾股定理或相似三角形的知识股定理或相似三角形的知识, ,将其中的基本的
21、数量关系将其中的基本的数量关系, ,用方用方程的形式表达出来程的形式表达出来, ,由此解决问题由此解决问题. .【学以致用学以致用】(2013(2013枣庄中考枣庄中考) )如图如图, ,已知矩形已知矩形ABCDABCD中中,AB=1,AB=1,在在BCBC上取一点上取一点E,E,沿沿AEAE将将ABEABE向上折叠向上折叠, ,使使B B点落在点落在ADAD上上的的F F点点, ,若四边形若四边形CEFDCEFD与矩形与矩形ABCDABCD相似相似, ,则则AD=AD=. .【解析解析】AB=1AB=1，设，设AD=xAD=x，则，则FD=x-1FD=x-1，FE=1FE=1，四边形四边形C
22、EFDCEFD与矩形与矩形ABCDABCD相似，相似， 解得解得 ( (负值舍去负值舍去) )，经检验，经检验， 是原方程的解是原方程的解. .答案答案: : EFAD1x,FDAB x11，121515xx22，115x25121.(20131.(2013宜昌模拟宜昌模拟) )矩形、菱形、正方形都一定具有的性质矩形、菱形、正方形都一定具有的性质是是( () )A.A.邻边相等邻边相等 B.B.四个角都是直角四个角都是直角C.C.对角线相等对角线相等 D.D.对角线互相平分对角线互相平分【解析解析】选选D.D.因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形形
23、, ,所以对角线互相平分是它们都具有的性质所以对角线互相平分是它们都具有的性质. .2.(20132.(2013金华模拟金华模拟) )如图如图, ,矩形纸片矩形纸片ABCDABCD中中, ,已知已知AD =8,AD =8,折叠纸片使折叠纸片使ABAB边边与对角线与对角线ACAC重合重合, ,点点B B落在点落在点F F处处, ,折痕折痕为为AE,AE,且且EF=3,EF=3,则则ABAB的长为的长为( () )A.3A.3 B.4 B.4 C.5 C.5 D.6 D.6【解析解析】选选D.D.在在RtRtCEFCEF中中,EF=3,EC=BC-BE=AD-EF=5,EF=3,EC=BC-BE=
24、AD-EF=5, 设设AB=x,AB=x,那么那么AF=AB=x,AC=x+4,AF=AB=x,AC=x+4,在在RtRtABCABC中中,x,x2 2+8+82 2=(x+4)=(x+4)2 2, ,解得解得x=6,x=6,即即ABAB的长为的长为6.6.22FCECEF4,3.(20133.(2013杭州模拟杭州模拟) )如图如图, ,把一个长方把一个长方形纸片沿形纸片沿EFEF折叠后折叠后, ,点点D,CD,C分别落在分别落在D D, ,C C的位置的位置. .若若EFB=65EFB=65, ,则则AEDAED等于等于( () )A.70A.70 B.65 B.65C.25C.25 D.
25、50 D.50【解析解析】选选D.EFB=65D.EFB=65,ADBC,ADBC,DEF=EFB=65DEF=EFB=65.DEF=DEF,.DEF=DEF,AED=180AED=180-DEF -DEF =50-DEF -DEF =50. .4.(20134.(2013黄冈模拟黄冈模拟) )若顺次连结四边形若顺次连结四边形ABCDABCD各边的中点所得各边的中点所得四边形是矩形四边形是矩形, ,则四边形则四边形ABCDABCD一定是一定是( () )A.A.矩形矩形B.B.菱形菱形C.C.对角线互相垂直的四边形对角线互相垂直的四边形D.D.对角线相等的四边形对角线相等的四边形【解析解析】选
26、选C.C.如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD各边各边的中点分别是的中点分别是E,F,G,H,E,F,G,H,如四边形如四边形EFGHEFGH是矩形是矩形, ,由三角形中位线性质由三角形中位线性质可知可知HGAC,EHBD,EHG=90HGAC,EHBD,EHG=90, ,AOD=90AOD=90, ,因此四边形因此四边形ABCDABCD的对角线互相垂直的对角线互相垂直. .5.(20135.(2013沈阳模拟沈阳模拟) )如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD的边长为的边长为8cm,A=608cm,A=60,DEAB,DEAB于点于点E,E,DFBCDFBC于点于点F,F,则四边形则四
27、边形BEDFBEDF的面积的面积为为cmcm2 2. .【解析解析】连结连结BD,A=60BD,A=60,AB=AD(,AB=AD(菱形的边长菱形的边长).).ABDABD是等边三角形是等边三角形, , 根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得, ,四边形四边形BEDFBEDF的面积等于的面积等于ABDABD的面积的面积, ,四边形四边形BEDFBEDF的面积的面积 答案答案: :161633DEAD84 3(cm),22214 3 816 3(cm ).236.(20136.(2013无锡模拟无锡模拟) )如图如图, ,在平行在平行四边形四边形ABCD
28、ABCD中中,DAB=60,DAB=60,AB=2AD,AB=2AD,点点E,FE,F分别是分别是AB,CDAB,CD的中点的中点, ,过点过点A A作作AGBD,AGBD,交交CBCB的延长线于点的延长线于点G.G.(1)(1)求证求证: :四边形四边形DEBFDEBF是菱形是菱形. .(2)(2)请判断四边形请判断四边形AGBDAGBD是什么特殊四边形是什么特殊四边形? ?并加以证明并加以证明. .【解析解析】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形, ,CDAB,AB=CD,DFBE.CDAB,AB=CD,DFBE.E,FE,F分别是分别是AB,CDAB,CD的中
29、点的中点, ,BE= AB,DF= CD,BE=DF,BE= AB,DF= CD,BE=DF,四边形四边形DEBFDEBF为平行四边形为平行四边形. .AB=2AD,AD=AE.AB=2AD,AD=AE.又又DAB=60DAB=60,DE=AE=AD,DE=AE=AD,DE=EB,DE=EB,四边形四边形DEBFDEBF是菱形是菱形. .1212(2)(2)四边形四边形AGBDAGBD为矩形为矩形. .理由如下理由如下: :平行四边形平行四边形ABCDABCD中中,ADBC,ADBG.,ADBC,ADBG.AGBD,AGBD,四边形四边形AGBDAGBD为平行四边形为平行四边形. .EE为为A
30、BAB的中点的中点,AB=2AE.,AB=2AE.AB=2AD,AD=AE.AB=2AD,AD=AE.DAB=60DAB=60,ADEADE为等边三角形为等边三角形. .DE=AE= AB,DE=AE= AB,ADBADB为直角三角形为直角三角形, ,ADB=90ADB=90, ,四边形四边形AGBDAGBD为矩形为矩形. .121.(20131.(2013绵阳中考绵阳中考) )如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是菱形，对角线是菱形，对角线AC=8 cmAC=8 cm，BD=6 cmBD=6 cm，DHABDHAB于点于点H H，且，且DHDH与与ACAC交于交于G G，则，则GH=(
31、)GH=( )28212825A. cmB. cmC. cmD. cm25201521【解析解析】选选B.B.由菱形的对角线互相垂直且平分得菱形的边长由菱形的对角线互相垂直且平分得菱形的边长为为5 cm5 cm，根据菱形的面积等于底乘高或两条对角线乘积的一，根据菱形的面积等于底乘高或两条对角线乘积的一半得，半得， 在在RtRtADHADH中，可得中，可得AH= .AH= .由题易证由题易证RtRtAGHAGH与与RtRtABOABO相似，所以相似，所以 即即解得解得GH= cm.GH= cm.24DH.575AHGHAOBO，7GH5,4321202.(20132.(2013连云港中考连云港中
32、考) )如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为4 4，点，点E E在对角线在对角线BDBD上，上，且且BAE=22.5BAE=22.5，EFABEFAB，垂足为，垂足为F F，则则EFEF的长为的长为( )( )A.1 B.A.1 B.C.4-2 D.3 -4C.4-2 D.3 -4222【解析解析】选选C.C.过点过点A A作作AGBDAGBD，则，则AGDAGD为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，DAG=45DAG=45，所以所以GAE=FAE=22.5GAE=FAE=22.5，AFE=AGE=90AFE=AGE=90，AE=AE,AE=AE,所以所以AFEAFEAGE,
33、AGE,故设故设EF=EG=xEF=EG=x，BE= x,BG=x+ x=BE= x,BG=x+ x= BD=2 , BD=2 ,所以所以x=4-2 .x=4-2 .2222123.(20123.(2012荆门中考荆门中考) )如图如图, ,已知正方形已知正方形ABCDABCD的对角线长为的对角线长为2 ,2 ,将正方形将正方形ABCDABCD沿直沿直线线EFEF折叠折叠, ,则图中阴影部分的周长为则图中阴影部分的周长为( () )A.8A.8 B.4 B.4C.8C.8 D.6 D.6【解析解析】选选C.C.正方形正方形ABCDABCD的对角线长为的对角线长为2 ,2 ,正方形的正方形的边长
34、为边长为2.2.阴影部分的周长阴影部分的周长= =正方形的周长正方形的周长=4=42=8.2=8.22224.(20134.(2013凉山州中考凉山州中考) )如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD中中,B=60,B=60,AB=4,AB=4,则以则以ACAC为为边长的正方形边长的正方形ACEFACEF的周长为的周长为( () )A.14A.14 B.15B.15C.16C.16 D.17 D.17【解析解析】选选C.C.四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形,AB=BC,AB=BC,B=60B=60,ABCABC是等边三角形是等边三角形,AC=AB=4,AC=AB=4,正方形正方形ACEF
35、ACEF的周长是的周长是AC+CE+EF+AF=4AC=4AC+CE+EF+AF=4AC=44=16.4=16.5.(20125.(2012龙岩中考龙岩中考) )如图如图,Rt,RtABCABC中中, ,C=90C=90,AC=BC=6,E,AC=BC=6,E是斜边是斜边ABAB上任意上任意一点一点, ,作作EFACEFAC于于F,EGBCF,EGBC于于G,G,则矩则矩形形CFEGCFEG的周长是的周长是. .【解析解析】AC=BC,A=B.AC=BC,A=B.矩形矩形CFEGCFEG中中,EFBC,EFBC,AEF=B,A=AEF,AEF=B,A=AEF,AF=FE,AF=FE,同理同理E
36、G=BG,EG=BG,矩形矩形CFEGCFEG的周长的周长=EF+FC+CG+GE=AF+FC+CG+GB=AC+CB=2AC=12.=EF+FC+CG+GE=AF+FC+CG+GB=AC+CB=2AC=12.答案答案: :12126.(20136.(2013泉州中考泉州中考) )如图如图, ,菱形菱形ABCDABCD的周长为的周长为8 ,8 ,对角线对角线ACAC和和BDBD相交于相交于点点O,ACBD=12,O,ACBD=12,则则AOBO=AOBO=, ,菱形菱形ABCDABCD的面积的面积S=S=. .5【解析解析】在菱形在菱形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC,BDAC,BD
37、互相平分互相平分, ,所以所以AO= AC,BO= BD,AO= AC,BO= BD,因为因为ACBD=12,ACBD=12,所以所以AOBO=12.AOBO=12.边长边长AB=8 AB=8 4=2 ,4=2 ,对角线对角线AC,BDAC,BD互相垂直互相垂直, ,设设AO=x,AO=x,则则BO=2x,BO=2x,在直角三角形在直角三角形AOBAOB中中,AO,AO2 2+BO+BO2 2=AB=AB2 2, ,即即x x2 2+(2x)+(2x)2 2=(2 )=(2 )2 2, ,解得解得x=2,Sx=2,S菱形菱形ABCDABCD=4=4S SABOABO=4=4 2 24=16.4
38、=16.答案答案: :121216161212125557.(20137.(2013张家界中考张家界中考) )如图如图, ,ABCABC中中, ,点点O O是边是边ACAC上一个动点上一个动点, ,过过O O作直线作直线MNBC.MNBC.设设MNMN交交ACBACB的平分线于点的平分线于点E,E,交交ACBACB的外的外角平分线于点角平分线于点F.F.(1)(1)求证求证:OE=OF.:OE=OF.(2)(2)若若CE=12,CF=5,CE=12,CF=5,求求OCOC的长的长. .(3)(3)当点当点O O在边在边ACAC上运动到什么位置时上运动到什么位置时, ,四边形四边形AECFAEC
39、F是矩形是矩形? ?并并说明理由说明理由. .【解析解析】(1)CF(1)CF平分平分ACD,ACD,且且MNBD,MNBD,ACF=FCD=CFO,OF=OC,ACF=FCD=CFO,OF=OC,同理可证同理可证:OC=OE,OE=OF.:OC=OE,OE=OF.(2)(2)由由(1)(1)知知:OF=OC,OC=OE,:OF=OC,OC=OE,OCF=OFC,OCE=OEC,OCF=OFC,OCE=OEC,OCF+OCE=OFC+OEC,OCF+OCE=OFC+OEC,而而OCF+OCE+OFC+OEC=180OCF+OCE+OFC+OEC=180, ,ECF=OCF+OCE=90ECF=
40、OCF+OCE=90, , (3)(3)当点当点O O移动到移动到ACAC的中点时的中点时, ,四边形四边形AECFAECF为矩形为矩形. .理由如下理由如下: :由由(1)(1)知知OE=OF,OE=OF,当点当点O O移动到移动到ACAC的中点时有的中点时有OA=OC,OA=OC,所以四边形所以四边形AECFAECF为平行四边形为平行四边形. .又因为又因为ECF=90ECF=90, ,四边形四边形AECFAECF为矩形为矩形. .2222EFCECF12513,113OCEF.22 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
