1、第六章第六章 标高投影标高投影 在各种工程中建筑物通常要建筑在各在各种工程中建筑物通常要建筑在各种高低不平的地面上，在施工中需填挖土种高低不平的地面上，在施工中需填挖土壤，需绘制地形图壤，需绘制地形图-下面介绍相关的下面介绍相关的标高投影。标高投影。 标高投影标高投影是采用水平投影并标注特征是采用水平投影并标注特征点、线、面的高度数值来表达空间形体的点、线、面的高度数值来表达空间形体的单面正投影。单面正投影。图中高程数值以米为单位，图中高程数值以米为单位，应注明绘图的比例或画出比例尺。应注明绘图的比例或画出比例尺。 三要素：三要素：u水平投影水平投影u高程数值高程数值u绘图比例绘图比例标高投影
2、标高投影点、直线、平面的标高投影点、直线、平面的标高投影曲面和地面的标高投影曲面和地面的标高投影建筑物与地形面的交线建筑物与地形面的交线 a5A543210m一、点的标高投影b-3BCc0比例尺比例尺标高标高低于基面低于基面加负号加负号基面基面高度为零高度为零6.1 6.1 点、直线、平面的标高投影点、直线、平面的标高投影a5c0b-3012345m 在点的水平投影旁，标注在点的水平投影旁，标注出该点与水平投影面的高度距出该点与水平投影面的高度距离，便得到该离，便得到该点的标高投影点的标高投影。（1 1）直线的水平投影并加注直线上任意两点的高程。）直线的水平投影并加注直线上任意两点的高程。ba
3、334543210m二、直线的标高投影 在直线的在直线的H H面投影面投影abab上，标出它的两个端点上，标出它的两个端点a a和和b b的标高，就是的标高，就是直线直线ABAB的标高投影的标高投影。1.直线的标高投影表示法 （2 2）直线上一个点的标高投影并加注直线的）直线上一个点的标高投影并加注直线的坡度和方向。坡度和方向。012345mai=15箭头表示箭头表示下坡方向下坡方向坡度坡度符号符号HAB坡度的概念：坡度的概念：aA、B两点两点的高度差的高度差A、B两点两点的水平距的水平距离离即：即：i i 值越大，直线越陡。值越大，直线越陡。2.直线的坡度和平距Hi1单位单位Li=H/L=t
4、anHAB平距的概念：平距的概念：aA、B两点两点的高度差的高度差A、B两点两点的水平距的水平距离离即：即：l 值越大，直线越缓。值越大，直线越缓。HlLl=L/H=cot1单位坡度坡度与与平距平距的关系：的关系： l=1/i 5432103987654AB45678ab3.38.6456783.直线的刻度 在直线的标高投影上标出整数标高的点，在直线的标高投影上标出整数标高的点，称为直线的称为直线的刻度刻度。l作平行于直线标高投影作平行于直线标高投影的基线，基线标高为小于的基线，基线标高为小于等于直线最低端点的整数。等于直线最低端点的整数。l利用比例尺，作平行于利用比例尺，作平行于基线等间距的
5、一组平行线。基线等间距的一组平行线。l根据直线端点根据直线端点A A、B B的标的标高，确定其在等高线组中高，确定其在等高线组中的位置。的位置。l连接连接A A、B B得到得到ABAB与各等与各等高线的交点，由各交点求高线的交点，由各交点求得直线上各整数标高点。得直线上各整数标高点。例题例题1 1、求作直线、求作直线ABAB的真长、对水平面的倾角的真长、对水平面的倾角 ，以及以及ABAB上的点上的点C C的高程。的高程。543210a1.5b5c（1 1）数解法数解法mHLAB2 . 75 . 33 . 62222293 .65 .3arctanarctanLHmXXLH7 . 345 . 1
6、3 . 65 . 15tan543210a1.5b5c（2 2）图解法图解法3.5mAB真长真长比例尺量得比例尺量得2.2mC点高程点高程：1.5+2.2=3.7m（用直角三角形法图解）（用直角三角形法图解）543210a1.5b5c（2 2）图解法图解法（用加设与（用加设与AB平行的铅垂面平行的铅垂面V 求解）求解）OX14m0.5mbaAB真长真长比例尺量得比例尺量得3.7m例题例题2 2、已知直线、已知直线ABAB的一个端点的一个端点A A，以及，以及ABAB的坡度和方的坡度和方向，另一端点向，另一端点B B的高程为的高程为4.2m4.2m，求作点，求作点B B和和ABAB的标高投的标高
7、投影，并作出影，并作出ABAB的真长。的真长。543210i=1:2a7.57.5-4.2=3.3m3.326.6mb4.2ABAB实长实长AB平面的等高线：平面的等高线： 以一系列平行以一系列平行于基准面于基准面H H且相距为且相距为一单位的水平面截一单位的水平面截割平面割平面P P，得到，得到P P面面上的一组水平线。上的一组水平线。三、平面的标高投影1.平面上的等高线 PHH0H1H2H3等高线等高线01234标高投影标高投影特性：特性：等高线都是直线；等高线都是直线； 等高线互相平行；等高线互相平行；等高线的高差相等等高线的高差相等时其平距相等。时其平距相等。AB等高线等高线12312
8、3E标高标高投影投影平面倾角平面倾角2.平面上的坡度线 平面的坡度线：平面的坡度线： 平面上对水平面平面上对水平面的最大斜度线。的最大斜度线。特性：特性：平面内的坡度线与等高平面内的坡度线与等高线互相垂直，它们的水平投影线互相垂直，它们的水平投影也互相垂直；也互相垂直；平面内坡度线的坡度代平面内坡度线的坡度代表平面的坡度，坡度线的平距表平面的坡度，坡度线的平距就是平面内等高线的平距。就是平面内等高线的平距。 3.平面的坡度比例尺 平面上的带有刻度的坡度线的水平投影，称平面上的带有刻度的坡度线的水平投影，称为平面的为平面的坡度比例尺坡度比例尺。AB123123E01230123Pi5432104
9、4.平面的标高投影表示法（1 1）用确定平面的几何元素表示（五种表示方法）用确定平面的几何元素表示（五种表示方法）直线和直线直线和直线外一点外一点c3.2a2.4b2.1不在同一直线不在同一直线上的三点上的三点c3.2a2.4b2.1c3.2a2.4b2.1相交两直线相交两直线c3.2a2.4b2.1平行两直线平行两直线d2.9任意平面图形任意平面图形c3.2a2.4b2.10123m0123m0123m0123m0123m关关键键一组等高线一组等高线03214平距平距 l=1/i如何如何转换转换关关键键 图中可以直接图中可以直接到是：到是： A 坡度坡度 B平距平距B 平距平距 一条等高线一
10、条等高线+坡度线（带箭头和坡度值）坡度线（带箭头和坡度值）i=1/255543210（2 2）用平面上的一组等高线表示）用平面上的一组等高线表示（3 3）用平面上的一条等高线和一条坡度线表示）用平面上的一条等高线和一条坡度线表示（4 4）用平面的坡度比例尺表示）用平面的坡度比例尺表示0123Pi5432104 坡度线垂直于等高坡度线垂直于等高线，线，带有刻度的坡度线带有刻度的坡度线的水平投影的水平投影即为坡度比即为坡度比例尺。例尺。坡度线的倾角坡度线的倾角为为平面倾角。平面倾角。例题3 3、已知A A、B B、C C三点的标高投影，求平面ABCABC的坡度比例尺和倾角 。23456543212
11、34565435432101a2c6b解题步骤解题步骤1、连接、连接a1、b6、c2，任取两边，求出任取两边，求出各边各边的整数标高点。的整数标高点。分分 析析2、分别连接相同整数、分别连接相同整数标高点，标高点，得等高线。得等高线。目的目的1目的目的23、作等高线的垂线，、作等高线的垂线，得平面的得平面的坡度比例尺坡度比例尺Pi。 4、作坡度线对水平面、作坡度线对水平面的倾角，得平面的的倾角，得平面的倾倾角角 。5432Pi1 1单位单位（5 5）用平面的一条倾斜线和平面的坡度表示）用平面的一条倾斜线和平面的坡度表示在该平面上作在该平面上作等高线等高线的方法：的方法： 采用素线坡度相等、锥顶
12、在采用素线坡度相等、锥顶在A A点的正圆锥面与该点的正圆锥面与该平面相切，切线平面相切，切线ACAC就是该平面的坡度线，进而可求出就是该平面的坡度线，进而可求出诸等高线。在作图前，根据已知条件（诸等高线。在作图前，根据已知条件（A B A B 两端点高两端点高程差、平面的坡度）计算出圆锥底圆的半径值，然后程差、平面的坡度）计算出圆锥底圆的半径值，然后再作图。再作图。 圆锥底圆的半径圆锥底圆的半径: RH/H/i30.51.5m。例题例题4 4、求作通过直线、求作通过直线a8b2、坡度为、坡度为1 1：0.50.5，在，在a8b2一一侧的坡度线的大致下降方向为图中带箭头的虚线的侧的坡度线的大致下
13、降方向为图中带箭头的虚线的平面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方平面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向，以及平面上的高程为向，以及平面上的高程为3m3m至至7m7m的诸等高线。的诸等高线。a8b201234m1:0.5R=3mc21:0.52345678AB345678解题步骤解题步骤1、作出所求平面：、作出所求平面：相交两直线相交两直线a8b2和和b2c2。2、作出坡度线的准、作出坡度线的准确下降方向。确下降方向。3、作高程、作高程3m至至7m的诸等高线。的诸等高线。 5.两平面相交定义定义：两面（平面或曲面）上相同标高等高线的交点：两面（平面或曲面）上相同标高等高线的交点连线
14、，就是连线，就是两面的交线两面的交线 。解法解法：用引辅助平面的方法求它们的交线。所引辅助：用引辅助平面的方法求它们的交线。所引辅助平面与两已知平面的交线平面与两已知平面的交线, ,分别是两已知平面上相分别是两已知平面上相同整数标高的等高线，他们必然相交于一点。引两同整数标高的等高线，他们必然相交于一点。引两个辅助平面，可得两个交点，连接起来，即得交线。个辅助平面，可得两个交点，连接起来，即得交线。1:11:1例题例题6 6、设地面是标高为零的水平基准面，在地面上挖一、设地面是标高为零的水平基准面，在地面上挖一基坑，基坑底面是一个水平的梯形，标高为基坑，基坑底面是一个水平的梯形，标高为3 3，
15、各边坡，各边坡的坡度如图所示，求作坡面与地面、坡面与坡面的交线。的坡度如图所示，求作坡面与地面、坡面与坡面的交线。1:0.51:1.5- -30 01 12 23 34 45m5m0 03 30.50.53 31 13 31 13 31.51.5例题例题7 7、已知一段斜路堤的倾斜顶面、已知一段斜路堤的倾斜顶面ABCDABCD，设地面是标，设地面是标高为零的水平基准面，两侧和尽端坡面的坡度如图所示，高为零的水平基准面，两侧和尽端坡面的坡度如图所示，求作路堤坡面与地面的交线以及坡面与坡面的交线。求作路堤坡面与地面的交线以及坡面与坡面的交线。0 01 12 23 34m4m1:11:11:11:1
16、3:23:2a a0 0b b0 0c c3 3d d3 32 2R3R3R3R3例题例题8 8、设地面是标高为零的水平面；有一条顶面标高、设地面是标高为零的水平面；有一条顶面标高为为4 4的大堤，大堤的左侧有一条上大堤堤顶的斜引道，的大堤，大堤的左侧有一条上大堤堤顶的斜引道，斜引道顶面的坡度为斜引道顶面的坡度为1 1：4 4，斜引道顶面的水平投影未，斜引道顶面的水平投影未画完整；大堤的右侧有一条小堤，小堤顶面的标高为画完整；大堤的右侧有一条小堤，小堤顶面的标高为3 3，小堤顶面的水平投影未画完整；大提、小堤、斜引道小堤顶面的水平投影未画完整；大提、小堤、斜引道各坡面的坡度如图所示。各坡面的坡
17、度如图所示。求作大堤、小堤、斜引道的求作大堤、小堤、斜引道的诸坡面与地面的交线，坡面与坡面的交线，斜引道顶诸坡面与地面的交线，坡面与坡面的交线，斜引道顶面与地面的交线，以及小堤顶面与大堤右坡面的交线，面与地面的交线，以及小堤顶面与大堤右坡面的交线，补全斜引道和小堤顶面的水平投影，完成这个工程建补全斜引道和小堤顶面的水平投影，完成这个工程建筑物的标高投影图。筑物的标高投影图。1:410m10m8 86 64 42 20 01:11:11:11:11:1.51:1.51:11:21:2 3 40 3 34 44.54.5R8R81 1R8R8161610m10m8 86 64 42 20 0 3
18、40 2.10.2 2.10.2 曲面和地面的标高投影曲面和地面的标高投影一、曲面的标高投影圆锥面圆锥面的标高投影特性：的标高投影特性：等高线是一组同心圆；等高线是一组同心圆；高差相同时等高线的水高差相同时等高线的水平距离相等；平距离相等；圆锥正立时，等高线愈圆锥正立时，等高线愈靠近圆心，其标高数值靠近圆心，其标高数值愈大，圆锥倒立时，等愈大，圆锥倒立时，等高线愈靠近圆心，其标高线愈靠近圆心，其标高数值愈小。高数值愈小。n如图所示是一段倾斜的弯道，它的两侧边坡是曲面，如图所示是一段倾斜的弯道，它的两侧边坡是曲面，且曲面上任何地方的坡度都相同，这种曲面称为同坡曲且曲面上任何地方的坡度都相同，这种
19、曲面称为同坡曲面，即面，即各处的坡度皆相等的曲面各处的坡度皆相等的曲面 。同坡曲面同坡曲面 二、同坡曲面二、同坡曲面同坡曲面的形成同坡曲面的形成：一正圆锥顶沿空间曲导线：一正圆锥顶沿空间曲导线ABAB运动，轴运动，轴线始终铅垂，锥顶角不变，则所有这些运动正圆锥面的线始终铅垂，锥顶角不变，则所有这些运动正圆锥面的包络曲面就是同坡曲面。包络曲面就是同坡曲面。同坡曲面的基本特性同坡曲面的基本特性：（：（1 1）运动的正圆锥与同坡曲面）运动的正圆锥与同坡曲面处处相切；（处处相切；（2 2）同坡曲面上的等高线与运动正圆锥上）同坡曲面上的等高线与运动正圆锥上相同高程的等高线相切，其切点在同坡曲面与各正圆相
20、同高程的等高线相切，其切点在同坡曲面与各正圆锥面的切线上；（锥面的切线上；（3 3）运动的正圆锥坡度与同坡曲面的）运动的正圆锥坡度与同坡曲面的坡度相等。坡度相等。应用应用：利用同：利用同坡曲面的特性坡曲面的特性可求作弯道坡可求作弯道坡脚线和坡面交脚线和坡面交线。线。例题例题9、在高程为、在高程为 0 的地面上修建一条弯道，路面自的地面上修建一条弯道，路面自0逐渐上升逐渐上升为为4m，与干道相接。作出干道和弯道坡面的坡脚线以及干道和，与干道相接。作出干道和弯道坡面的坡脚线以及干道和弯道的坡面交线。弯道的坡面交线。【解解】（1）作坡脚线）作坡脚线 a.干道坡脚线是与干道边线平行的干道坡脚线是与干道
21、边线平行的直线，由直线，由L41/28m作图；作图；b.弯道两侧边坡是同坡曲面，作图步弯道两侧边坡是同坡曲面，作图步骤：在曲导线上定出整数标高点骤：在曲导线上定出整数标高点a0、 b1、 c2 、d3、e4作为运动正圆锥的锥作为运动正圆锥的锥顶位置。以各锥顶为圆心，顶位置。以各锥顶为圆心，Rl、2 2l、3 3l、4 4l（l=2m)=2m)画同心圆，得各锥画同心圆，得各锥面上等高线。自面上等高线。自a0作各锥面上作各锥面上0等等高线的公切线，即为弯道坡脚线，内高线的公切线，即为弯道坡脚线，内外侧作法相同。外侧作法相同。（2）作坡面交线）作坡面交线 作各正圆锥作各正圆锥上相同高程等高线的公切线
22、，得同上相同高程等高线的公切线，得同坡曲面的等高线；画出干道坡面上坡曲面的等高线；画出干道坡面上3、2、1诸等高线。将同高程等诸等高线。将同高程等高线的交点依次连成光滑曲线。高线的交点依次连成光滑曲线。 （3）画出各坡面的示坡线）画出各坡面的示坡线，完成。，完成。注意：不要忘了注意：不要忘了画出示坡线！画出示坡线！二、地面的标高投影 地面的标高投影图称为地面的标高投影图称为地形图地形图。以一系列整数标高以一系列整数标高的水平面与山地相截，把所得的等高截交线正投影到水的水平面与山地相截，把所得的等高截交线正投影到水平面上，便得一系列不规则形状的等高线，注上相应的平面上，便得一系列不规则形状的等高
23、线，注上相应的标高值，就得到一个山地的标高投影图。标高值，就得到一个山地的标高投影图。地形断面图：地形断面图：用铅垂面剖切地形面，画出剖切平用铅垂面剖切地形面，画出剖切平面与地面形成的截交线，形成断面，在断面上画面与地面形成的截交线，形成断面，在断面上画出地面的材料图例。出地面的材料图例。地形图一般应符合下述规定： (1)(1)地形面上等高线高程数字的字头按规定指地形面上等高线高程数字的字头按规定指向上坡方向。向上坡方向。 (2)(2)每隔四条等高线应有一条画得较粗并注有每隔四条等高线应有一条画得较粗并注有单位为米的标高数字的等高线，称为计曲线。单位为米的标高数字的等高线，称为计曲线。 (3)
24、(3)图中除了等高线外，还应画出比例尺和指图中除了等高线外，还应画出比例尺和指北针。北针。 (4)(4)等高线一般都是封闭曲线，有时只画出地等高线一般都是封闭曲线，有时只画出地形的一个局部。形的一个局部。例题1010、已知直管线两端的标高分别为21.521.5和23.523.5，求管线ABAB与地面的交点。11202122232021222324a21.5b23.5k1k2k3k4k1k2k3k42.10.3 2.10.3 建筑物和地形面的交线建筑物和地形面的交线 在实际工程中，许多建筑物要修建在不在实际工程中，许多建筑物要修建在不规则的地形面上，修建在地形面上的建筑物规则的地形面上，修建在地
25、形面上的建筑物必然与地面产生交线，一般是不规则曲线。必然与地面产生交线，一般是不规则曲线。求此交线时，需求出交线上一系列的点获得，求此交线时，需求出交线上一系列的点获得，采用辅助平面法，即用一组水平面作为辅助采用辅助平面法，即用一组水平面作为辅助面，求出建筑物表面与地面的一系列共有点，面，求出建筑物表面与地面的一系列共有点，然后依次连接，即得交线。然后依次连接，即得交线。实质：求建筑物坡面与地形相同高程等高线实质：求建筑物坡面与地形相同高程等高线的交点。的交点。例题1111、需在所给的山坡上修建一个水平广场，形状和高程如图所示，广场的高程为25m25m，填方边坡坡度为1212，挖方边坡坡度为1
26、1.511.5。求作填、挖方坡面的边界线及各坡面交线。 因为水平广场高程为因为水平广场高程为25m25m，所以地面上高程为，所以地面上高程为25m25m的等高线是挖方和填方的分界线，它与水平广的等高线是挖方和填方的分界线，它与水平广场边线的交点场边线的交点C C、D D就是填、挖边界线的分界点。就是填、挖边界线的分界点。 挖方部分挖方部分在地面高程为在地面高程为25m25m的等高线北侧，其的等高线北侧，其坡面包括一个倒圆锥面和两个与它相切的平面，坡面包括一个倒圆锥面和两个与它相切的平面，因此，挖方部分只有开挖线，没有坡面交线。因此，挖方部分只有开挖线，没有坡面交线。 填方部分填方部分在地面高程
27、为在地面高程为25m25m的等高线南侧，其的等高线南侧，其边坡为三个平面，因此有三段坡脚线（曲线）和边坡为三个平面，因此有三段坡脚线（曲线）和两段坡面交线（直线）。两段坡面交线（直线）。应当注意：两相交坡面的坡脚线与坡面交线应应当注意：两相交坡面的坡脚线与坡面交线应汇交于一点（如图中的汇交于一点（如图中的a a及及b b点），即三面共点。确点），即三面共点。确定点定点a a的方法可先作的方法可先作4545坡面交线，然后连接坡脚线坡面交线，然后连接坡脚线上的点，使相邻两段坡脚线通过坡面交线上的同一上的点，使相邻两段坡脚线通过坡面交线上的同一点点a,a,即三线共点。确定点即三线共点。确定点b b的
28、方法与其相同，如图所的方法与其相同，如图所示。示。例题1212、在地形面上修建一斜坡道，填挖方边坡标准断面如图所示，用地形断面法求作道路坡面的坡边线。断面法 地形断面法求填挖方的边界线，就是地形断面法求填挖方的边界线，就是在道路上每隔一定距离作一个与道路中心在道路上每隔一定距离作一个与道路中心线垂直的铅垂面，由于同时剖切了地面与线垂直的铅垂面，由于同时剖切了地面与道路，所得的地形断面与道路断面图的交道路，所得的地形断面与道路断面图的交点，就是填方和挖方坡边线上的点。点，就是填方和挖方坡边线上的点。作地形断面与道路作地形断面与道路断面，求交点断面，求交点例题1313、如图所示，在所给定的地形面上
29、修筑一条弯曲的道路，道路的路面标高为20m20m，道路两侧的边坡，填方为l:1.5l:1.5，挖方为l:1l:1，求填挖边界线。例题14、在河道上修筑一土坝，已知坝址处的地形图、土坝的坝轴线位置及土坝的横断面（垂直于土坝轴线的断面），试完成该土坝的标高投影图。 分析：土坝的顶面、马道和上下游坝面分析：土坝的顶面、马道和上下游坝面是平面，它们与地形面都有交线。由于地形是平面，它们与地形面都有交线。由于地形面是不规则曲面，所以交线都是不规则的平面是不规则曲面，所以交线都是不规则的平面曲线，面曲线，其实质都是求坡面与地形面上相同其实质都是求坡面与地形面上相同高程等高线的交点高程等高线的交点 。 （1
30、 1）求坝顶与地面的交线。求坝顶与地面的交线。坝顶宽为坝顶宽为6.00m6.00m（轴线往（轴线往两侧各两侧各3.00m3.00m），画出坝顶边线；用内插法在地形图），画出坝顶边线；用内插法在地形图上画出上画出45.00m45.00m等高线，将坝顶边线画到与等高线，将坝顶边线画到与45.00m45.00m等高等高线相交处，得交线。线相交处，得交线。（2 2）求上游土坝的坡脚线求上游土坝的坡脚线。取等高距是。取等高距是2m2m，根据上游，根据上游坡面的坡度坡面的坡度1:31:3，L1=2L1=23m=6m3m=6m。画出坝面上一系列等。画出坝面上一系列等高线高线4444、4242，求出它们与地面
31、相同高程等高线的交，求出它们与地面相同高程等高线的交点，连线即得上游坝面的坡脚线。点，连线即得上游坝面的坡脚线。（3 3）求下游土坝的坡脚线求下游土坝的坡脚线。上游坝面的坡脚线求法相同。上游坝面的坡脚线求法相同。应注意坝顶与马道间坝面坡度为应注意坝顶与马道间坝面坡度为1212，马道以下坝面坡度，马道以下坝面坡度为为12.512.5，应按相应坝面的坡度确定等高线间的水平距离；，应按相应坝面的坡度确定等高线间的水平距离；不要漏画马道。不要漏画马道。（4 4）完成土坝的标高投影。完成土坝的标高投影。画出上、下游坝面上的示坡画出上、下游坝面上的示坡线，注明坝顶、马道高程和各坝面坡度。线，注明坝顶、马道高程和各坝面坡度。
