1、第4章 构件的内力和强度计算 4.1 强度计算的基本概念强度计算的基本概念 4.2 内力与截面法内力与截面法 4.3 杆件的内力图杆件的内力图 4.4 杆件的应力及强度计算杆件的应力及强度计算 习题习题4 4.1 强度计算的基本概念 变形固体指受力后形状、 大小发生改变的物体。 变形固体有如下的基本假设。 (1) 各向同性： 物体各个方向的力学性能相同； (2) 均匀连续： 物体内被同一种物质充满， 没有空隙； (3) 小变形： 物体受到外力后产生的变形与物体的原始尺寸相比很小， 有时甚至可以忽略不计。 强度指构件抵抗破坏的能力。 构件某一方向的尺寸远大于其他两个方向的尺寸时称为杆件（见图4-
2、1）。 杆件的小变形有拉伸与压缩、 剪切与挤压、 扭转、 弯曲四种基本形式。 图4-1 杆件 (a)(b)4.2 内力与截面法 杆件的内力指杆件受到外力作用时， 其内部产生的保持其形状和大小不变的反作用力。 该反作用力随外力的作用而产生， 随外力的消失而消失。 截面法是求杆件内力的方法。 截面法求内力的步骤： (1) 作一假想截面把杆件切开成两部分（见图4-2（a）； (2) 留下其中的一部分， 并在切开处加上假设的内力（如图4-2(b)或图4-2(c)所示）； (3) 以该部分为研究对象列静力平衡方程， 求解未知的内力。 图4-2 截面法求内力 P1P2P3AmnBP4P5(a)P1P2P3
3、AmNNmnnBP4P5(b)(c) 【例4-1】 如图4-3所示， 杆件在A、 B两点受两等值反向共线的力P的作用， 求任意截面m-m处的内力（轴力）。 解 此杆受两力作用而处于平衡。 作假想截面m-m将杆件切开， 留下左半段（称为左截）， 并在截面上加上右半部分在该截面上对左半部分的作用力Nm； 沿杆件的轴线取坐标轴x。 x=0， -P+Nm=0 则 Nm=P 式中， Nm为m-m截面的内力， 又称杆件的轴力。 轴力与该截面垂直。 图4-3 例4-1图 mmPPPmmNmx(a)(b)mmPmN(c)图4-4 拉伸与压缩(a) 拉伸； (b) 压缩 PPPP(a)(b) 【例4-2】 一
4、螺栓受到两个等值、 反向而互相平行且距离很近的力P、 P的作用(见图4-5(a)， 求截面m-m的内力。 解 如图4-5(b)所示， 作假想截面将螺栓切开。 取螺栓的下半部分为研究对象， 在截面上加上内力Q， 如图4-5（c）所示， 列平衡方程： x=0, P-Q=0 则 Q=P 式中， Q称为截面上的剪力， 在该截面上与截面平行。 构件的这种受力情况称为剪切。 图4-5 例4-2图 PPmmQPPmmP(a)(b)(c) 【例4-3】 一圆形杆件受两个力偶矩相等、 转向相反、 作用面互相平行且垂直于杆件的轴线的力偶m， m的作用(见图4-6（a）)， 求截面m-m上的内力。 解 仍用左截法，
5、 留下截面左半段杆件， 取坐标轴x(见图4-6(b)。 列力偶平衡方程： mx(F)=0， m-Mn=0 则 Mn=m 式中， Mn为截面上的内力， 实际为一力偶， 称为扭矩， 单位为Nm。 扭矩与截面平行。 如采用右截法， 则如图4-6(c)所示。图4-6 例4-3图 m(a)mmmAmBmmAMnnx(b)mMnnmmBx(c) 【例4-4】 如图4-7(a)所示， 一水平杆件受A、 B两支座支承， 杆上受一垂直力P的作用。 设杆长L、 a、 b均已知， 求1-1和2-2截面上的内力。 解 取杆AB为研究对象， 求支座A、 B的约束反力（见图4-7（b）， 得LPNLbPNBA 作1-1截
6、面， 用左截法(如图4-7（c）所示)。 设截面形心为O， 列平衡方程 y=0， NA-Q1=0 则 Q1=NA 式中， Q1为截面1-1上的剪力。 剪力的正负： 左截时， Q向下为正， 向上为负； 右截时， Q向上为正， 向下为负。 观察该图， 内力Q1与NA组成了一力偶， 则1-1截面上必有一内力偶与之平衡。 设截面的内力偶为M1， 列力偶平衡方程 mc(F)=0， NA(a-)-M1=0 得 M1=NAa 式中， M1为截面1-1上的内力偶， 称为截面1-1上的弯矩， 单位为Nm。 它垂直于截面。图4-7 例4-4图 1122FABabL(a)F2211NANB(b)NA1Q1M1a(c
7、)(d)14.3 杆件的内力图 由以上例题可以看出， 当杆件受到力的作用时， 杆件上各段截面的内力不同。 为了清楚地反映杆件的内力沿轴线变化的情况而作的图称杆件的内力图。 下面分别对杆件在受到拉伸、 扭转、 弯曲时， 横截面的内力图的作法进行介绍。 【例4-5】 一左端固定的杆件受到三个沿轴线方向的力的作用， P1=15 kN， P2=13 kN， P3=8 kN（见图4-8（a）， 求截面1-1、 2-2、 3-3（见图4-8（b）的内力， 并画出内力图。 解 (1） 求出固定端反力R=10 kN。 （2） 依前面介绍过的方法， 分别求出各截面的内力： 作1-1截面（内力图见图4-8(c)）
8、， 得N1=10 kN; 作2-2截面（内力图见图4-8(d)）， 得N2=-5 kN; 作3-3截面（内力图见图4-8(e)）， 得N3=8 kN。 (3） 定坐标轴N-x， 垂直坐标轴N表示内力， 单位为kN； 水平线为x轴， 代表杆件的轴线。 (4） 按照正内力在x轴上方， 负内力在x轴下方， 参照各段内力的大小， 分段作表示内力的水平线， 即得到反映杆件各段内力的图线（见图4-8(f)）。 此图称为轴力图。 轴力图清楚地反映出该杆件各段是受到拉伸或是压缩， 以及各段内力的大小， 比较直观。 为多个载荷作用下的拉压杆的强度及变形计算带来很大的方便。 图4-8 例4-5图 ABP1P2CD
9、P3RA11BP1P2C2233DP3R11N1xRABP122N2x33N3P3DN(kN)1058(a)(b)(c)(d)(e)( f )xx 【例4-6】 一圆轴受四个力偶作用(见图4-9(a)， m1=110 Nm， m2=50 Nm， m3=20 Nm， m4=30 Nm。 作轴的扭矩图。 解 作1-1截面， 取其左段研究（见图4-9(b)）， 设该截面的扭矩为Mn1， 有平衡方程: mx(F)=0， Mn1=-110 Nm 同理可得截面2-2的扭矩Mn2=-50 Nm（见图4-9（c）， 截面3-3的扭矩Mn3=-30 Nm。 由以上各截面的扭矩可作出圆轴的内力图。图4-9 例4-
10、6图 A 1B 2C3Dm1m212m33m4m1Mn1(a)(b)m1m2Mn2(c)Mn/Nm1105030(d) 【例4-7】 已知一水平梁两端由铰链支承（称简支梁）， 受力P=12 kN（见图4-10(a)）。 作梁的内力图。 解 (1） 先求出两支点的反力， 作梁的受力图（见图4-10（b）。 x=0 mA(F)=0， P2-NB3=0kNPNB8312232 y=0， NA+NB-P=0 NA=P-NB=12-8=4 kN (2） 作1-1截面， 距A点为x1(见图4-10(b)， 并留下截面的左段。 此时， 右段对左段的作用相当于固定端。 在截面上加上内力Q1和M1（均假设为正向
11、， 见图4-10（c）， 列平衡方程： y=0 得截面1-1的剪力 Q1=NA=4 kN 以梁的轴线为x轴， 剪力Q的值为垂直坐标轴， 则在A-B段， 剪力的图线为一水平线， 在x轴的上方， 并与x轴平行。 mC(F)=0 截面1-1的弯矩M1(x)=NAx， 可见为一随截面位置而变化的一次函数， 在图线上是一斜直线。 以梁的轴线为x轴， 弯矩M的值为垂直坐标轴， 则 当x=0时， M1=MA=0; 当x=2 m时， M1=NA2=42=8 kNm。 由以上两点可画出梁A-C段的弯矩图线。 图4-10 例4-7图 AFC2 m1 m(a)1122FNABNB(b)NA11Q1M1(c)xC图4
12、-10 例4-7图 FCNAx2Q2M2(d)(e)( f )O(kN)M(kNm)88422 （3） 作截面2-2， 距A点为x2， 留下截面的左段。 在截面上加上内力Q2和M2（均假设为正向， 见图4-10(d)）， 列平衡方程： y=0 得截面2-2的剪力 Q2=NA-P=4-12=-8 kN 则C-B段的剪力图线为一水平线， 在x轴的下方。 A-C、 C-B两段图线反映出水平梁各个横截面的剪力的情况， 称为剪力图（见图4-10(e)）。 再列力矩平衡方程： mC(F)=0， M2-NAx+P(x-2)=0 M2=NAx-P(X-2)=4x-12(x-2)=24-8x 由上式可以看出，
13、该段弯矩图线也为一斜直线： 当x=2 m时， M2=MC=24-82=8 kNm； 当x=3 m时， M2=MB=0。 由此可以绘出C-B段的弯矩图线。 连同已绘出的A-C段弯矩图线称为梁的弯矩图， 如图4-10(f)所示。 【例4-8】 水平梁在C处受力偶m的作用（见图4-11(a)）， 设L、 a、 b均已知， 求作梁的弯矩图。 解 (1） 先求出两支座反力： NA=NB=m/L（见图4-11(b)， 注意NA的方向）。 (2） 求剪力和弯矩。 在A-C段距A点x1处作1-1截面， 取左段， 在截面上加上内力Q1、 M1（见图4-11(c)）， 列平衡方程： y=0， -NA-Q1=0 则
14、LmNQA1 剪力为一常数， 其图线应为一水平线， 在x轴的下方， 并与x轴平行（见图4-11(e)）。 再列力矩平衡方程： mC(F)=0， NAx+M2=0 M2=-NAx 可见弯矩图线为一斜直线。 当x=0时， M2=MA=0; 当x=a-时（为无穷小量）， M2=-NA (a-)=-ma/L。 可绘出该段弯矩图线（见图4-10(f)）。 (3） 在C-B段距A点x2处作2-2截面， 并加上内力Q2、 M2（见图4-11(d)）， 列平衡方程： y=0， -NA-Q2=0LmNQA2其图线与左段相同。 再列力矩平衡方程： mC(F)=0， NAx-m+M2=0mxLmmxNMA2 可见其
15、图线仍为一直线。 当x=a+时， LmbLbamLmamLmaM)(2当x=L时， 02mLmLM由以上两点可绘出C-B段的弯矩图线（见图4-11（f）。 ACmabL(a)ANA11m22BNB(b)ANA11Q1M1(c)x1B 图4-11 例4-8图 图4-11 例4-8图 ANAx222(d)Qm/Lx(e)xM( f )Q2M2bLmaLm4.4 杆件的应力及强度计算 4.4.1 杆件应力的概念 求出杆件的内力后， 一般还不能判断杆件是否易被破坏。 如当两个受拉伸的杆件的内力相同时， 杆件粗的就不容易破坏， 显然这与杆件的横截面面积有关。 因此， 要判断杆件在外力作用下是否破坏， 不
16、仅要知道内力的大小， 还要知道内力在杆件横截面上的分布规律及分布的密集程度。 从而就引出了应力的概念。 取截面上的微面积A， 其上作用的内力的合力为P， 则P/A称为微面积A的平均应力， APpm 当A趋于无穷小时， 则得该点的应力p。 p为一矢量， 可分解成垂直于截面的分量和切于截面的分量(见图4-12)。 称截面上的正应力， 称为截面上的剪应力。 杆件变形不同， 其截面上的应力的性质和分布也不同。 图4-12 APK KP (a)(b) 4.4.2 杆件的强度计算 强度计算的内容主要为构件的强度校核、 截面设计和许可载荷计算。 强度计算包括拉伸与压缩、 剪切与挤压、 圆轴扭转和弯曲等四种基
17、本变形下的强度计算。 1. 拉伸与压缩强度计算 拉伸强度条件 =N/A=l 其中： N横截面上的轴力， 单位为N； A横截面的面积， 单位为m 2； l杆件材料的许用拉伸应力， 单位为MPa； 杆件横截面上的实际工作应力， 单位为MPa。 压缩强度条件yAN 其中： N、 A同上; y杆件材料的许用压缩应力， 单位为MPa； 杆件横截面上的实际工作应力， 单位为MPa。 l、 y均由实验得出。 【例4-9】 图4-13(a)中的起重机由斜杆BC与横梁AB组成。 斜杆直径d=55 mm， 材料为锻钢， 其许用应力=200 MPa， 最大吊重W=500 kN， =20。 试校核斜杆的强度。图4-1
18、3 例4-9图 EAWBCDNNAByBWx(a)(b) 【例4-10】 冷镦机的曲柄滑块机构如图4-14所示。 锻压时， 连杆接近水平位置， 承受锻压力P=1100 kN， 连杆截面为矩形， 高宽比为h/b=1.4， 材料的许用应力=58 MPa。 试确定截面尺寸h和b。 图4-14 例4-10图 ABABbh 2. 剪切与挤压强度计算 剪切强度条件： AQ式中: 构件剪切面的实际剪切应力， 单位为MPa；Q构件横截面上的剪力， 单位为N；A剪切面面积， 单位为m 2；材料的许用剪切应力， 单位为MPa。 挤压强度条件： jyjyjyjyAP式中: jy构件受挤面的实际挤压应力， 单位为MP
19、a；Pjy构件受挤面的挤压力， 单位为N；Ajy实用挤压面面积， 单位为m2；jy材料的许用挤压应力， 单位为MPa。 【例4-11】 如图4-15(a)所示的拖车挂钩靠销钉连接。 已知挂钩部分的钢板厚度=8mm， 销钉材料的许用剪切应力=60 MPa， 许用挤压应力 jy=100 MPa， 拖力P=15 kN。 试设计销钉的直径d。 图4-15 例4-11图 P2P2p2ppQQ2pp2pQQ(a)(b)(c)d 解 (1） 按剪切强度计算。 销钉受力图如图4-15(b)所示。 销钉有两个剪切面， 用截面法将销钉沿剪切面截开（见图15(c)）， 以销钉中段为研究对象， 由静力平衡条件可得每一
20、截面上的剪力kNPQ5 . 72152销钉受剪面积 42dA 剪切强度计算公式 4/2dQAQ得销钉直径 mmmQd6 .12106 .12106014. 3105 . 744363 (2） 按销钉挤压强度计算。 jyjyjydP2此时， 挤压力Pjy=P/2， 实用挤压面积为A=d, 得mmmpdjyjy4 . 9104 . 9101001082101523633 【例4-12】一齿轮通过平键与轴连接 （见图4-16（a）。已知轴传递的力偶矩mO=1.5kNm，轴的直径d=100mm，键的尺寸：宽b=28mm，高h=16mm，长L=42mm。键材料的许用剪切应力=40MPa，许用挤压应力jy
21、=100MPa。校核键的强度。图4-16 例4-12图 mOmmhdmmQh2dOmOlmmbQh2Pjy(a)(b)(c)MOl 解（1）校核键的剪切强度。 沿键的剪切面m-m将键截开，以键的下部分和轴一起作为研究对象（见图4-16(b)），设剪切面上的剪力为Q，有如下平衡方程:kNdmQQdmmOOO3010100105 . 12202, 033得 键的剪切面积为 A=bL=2842=1176mm2 由剪切强度条件得 MPaMPaAQ405 .25101176103063 (2）按挤压强度校核。 由图4-16（c），得挤压力 Pjy=Q=30kN 键与轴的接触面为平面，则挤压面即为该平面，
22、挤压面积mmhLAjy336242162由挤压强度条件得 MPaMPaAPjyjyjyjy1005 .8910336103963 3.圆轴扭转强度计算 扭转强度条件 nnWM式中:横截面上的实际扭转剪应力，单位为MPa；轴材料的许用扭转剪应力，单位为MPa。Mn横截面上的扭矩，单位为Nm；Wn横截面的抗扭截面模量，单位为m3。 当轴的直径为D时， 332 . 016DDWn对于空心轴，当外径为D、内径为d时， )1 (2 . 016)1 (4343DDWn其中， Dd 【例4-13】一汽车传动轴由无缝钢管制成，其外径D=90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45号钢，许用剪应力=60MPa，工作
23、时的最大外力偶矩M=1.5kNm。求:(1)校核轴的强度；(2）将轴改成实心轴，计算相同条件下轴的直径；(3）比较实心轴与空心轴的重量。 【例4-14】一传动轴受力情况如图4-17(a)所示，已知材料的许用剪应力=40MPa，设计轴的直径。图4-17 例4-14图 ABm2500 Nmm11580 Nmm31080 NmCDEMn/Nm5001080(a)(b) 4. 杆件的弯曲强度计算 以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。梁的弯曲正应力强度条件 ZWMmax式中:梁的横截面上的正应力，单位为MPa；Mmax梁的最大弯矩，单位为Nm；WZ梁的抗弯截面模量，单位为m4。 矩形截面的抗弯截面模量 3
24、121bhWZ式中：b矩形截面的宽，单位为m； h矩形截面的高，单位为m。 设圆形截面直径为D，441 . 032DDWZ其余截面的抗弯截面模量可查有关手册。 【例4-15】火车车箱轮轴受力如图4-18(a)所示。已知d1=160mm，d2=130mm，L=1.58m，a=0.267m，b=0.16m，P=62.5kN,=100MPa，试校核该轴的强度。 解(1）画出轴的计算简图（如图4-18（b）所示）。 （2）求支座反力。 由于受力情况对称，两支座反力必然相等，即 NA=NB=62.5kN (3）作弯矩图。 MC=0，MD=0 MA=-Pa=-62.51030.267=-16.7kNm M
25、B=-Pa=-16.7kNm 弯矩图在CA、BD段均为斜直线，而在AB段为一水平线，作弯矩图如图4-18(c)所示。 图4-18例4-15图 PabLd2aPd1PCaNAALNBBPDa(a)(b)MPa(c)x （4）强度校核。 AB段有Mmax，则 MPaWMZ5 .4116. 01 . 0107 .1633maxmax另外，在车轴外伸端与车轮接触处，因车轴直径较小（d2=13cm），也可能是危险截面，必须校核。此处弯矩为 M=Pb=62.51030.16=10kNm MPaWMZ5 .4613. 01 . 010103311max所以，车轴是安全的。 【例4-16】设计图4-19(a)
26、所示的起重机主梁。其最大起重量P=20kN，主梁跨度l=5m，许用应力=140MPa。主梁用工字钢（不考虑梁的自重）,试选择工字钢型号。 解起重机主梁可视为简支梁，吊重在中间位置时梁受力最不利，如图4-19(b)所示。设计时应按此情况考虑。 （1）求支座反力。 kNPNNBA102 （2）作弯矩图。 由图可见，危险截面在梁的中点C处， Mmax=25kNm （3）计算梁的抗弯截面模量。 33663max17910179101401015cmmMWZ（4）查表选工字钢型号。 由型钢表查得18号工字钢WZ=185cm3，故可选用18工字钢。图4-19 例4-16图 lFl/2l/2Fl/4Mx(a
27、)(b)(c)习题4 4-1画出题4-1图中所示各杆的轴力图，并标明最大轴力Nmax。 4-2画出题4-2图中所示各轴的扭矩图，并标明最大扭矩Mnmax。 4-3求题4-3图中所示梁的指定截面上的剪力Q和弯矩M。 4-4建立题4-4图中所示各梁的剪力方程和弯矩方程，作剪力图和弯矩图，并标出Qmax和Mmax。 题4-1图 112 kN225 kN333 kN(a)2 kN4 kN11226 kN(b)5 kN112 kN222 kN33114 kN2 kN22333 kN(c)(d)题4-2图 3 kNm2 kNm1 kNm4.5 kNm1.5 kNm2 kNm(a)(b)题4-3图 4A4a
28、a3322C1BPm Pa1题4-4图 ACBPaaAaaaPPAaaPBm P aC(a)(b)(c)PBCD 4-5求题4-5图中所示杆各段的正应力。图中A1=8cm2，A2=4cm2。 4-6如题4-6图所示，汽缸内径D=560mm，内压强p=2.5MPa，活塞杆直径d=100mm，连接汽缸和汽缸盖的螺栓直径为12mm，许用应力=60MPa，求连接两边汽缸盖所需的螺栓数。题4-5图 40 kNA2A160 kN20020020 kN题4-6图 D活塞汽 缸p杆螺 栓 4-7如题4-7图所示，起重机吊钩的上端用螺母固定。若吊钩螺栓部分内径 d = 5 5 m m ， 材 料 许 用 应 力
29、 =80MPa，校核螺栓部分的强度。 4-8如题4-8图所示，小车在托架的横梁AC上移动，斜杆AB的截面为圆形，直径d=20mm，许用应力=120MPa。试校核斜杆的强度。题4-7图 Dd170 kN题4-8图 AC15 kNB1.9 m0.8 m 4-9题4-9图所示为简易吊车，AB为木杆，其横截面面积A1=100cm2，许用应力=7MPa；BC为钢杆，其横截面面积A2=300mm2，许用应力 =160MPa。求许可吊重P。 4-10如题4-10图所示，轴直径D=80mm，键的尺寸b=24mm，其许用挤压应力 jy =90MPa，许用剪应力=40MPa，轴传递的力矩m=3.2kNm。求键的长
30、度L。题4-9图 CA钢木BP30题4-10图 bh/2h/2dl 4-11如题4-11图所示，两块钢板厚度均为=6mm，用三个铆钉连接。已知P=50kN，铆钉材料的许用剪应力=100MPa，许用挤压应力 jy 280MPa，求铆钉直径。若利用现有的直径d=12mm的铆钉，则铆钉数应为多少？ 4-12在厚度均为=5mm的钢板上冲出一个形状如题4-12图所示的孔，钢板剪断时的剪切强度极限b=300MPa。求所需冲床的冲力P。题4-11图 PP题4-12图 R50R50100 4-13割刀在切割工件时，受到P=1000N的切割力的作用。割刀尺寸如题4-13图所示，许用应力=200MPa，试校核其强度。 4-14如题4-14图所示，剪刀机构的AB与CD杆均为圆形，材料相同，许用应力=100MPa。设P=200N，试确定两杆的直径。题4-13图 P822132.5415题4-14图 ACDB50600P 4-15如题4-15图所示，当载荷P直接作用在梁AB的中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力的30%，为了消除过载，配置一辅助梁CD。求辅助梁的跨度a。 4-16如题4-16图所示，由工字钢20b制成的外伸梁，在外伸端C处作用载荷P。已知材料的许用应力=160MPa，试选择工字钢的型号。题4-15图 CPDa/2a/23 m3 mB题4-16图 AB4 m1 mCP
