1、.1使用教材使用教材：数学物理方法，梁昆淼编数学物理方法，梁昆淼编参考教材参考教材：（1 1）、数学物理方法，姚端正等编）、数学物理方法，姚端正等编（2 2）、数学物理方法教程，潘忠程编）、数学物理方法教程，潘忠程编.2第一章第一章 复变函数复变函数1.2 1.2 复变函数复变函数1.3 1.3 复变函数的导数复变函数的导数1.4 1.4 解析函数解析函数1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算第一篇第一篇 复变函数论复变函数论1.5 1.5 多值函数多值函数.3式中式中x、y为实数，称为为实数，称为复数的实部与虚部复数的实部与虚部（一）（一） 复数复数yixz1irz几何表示：几何表示：
2、1.1 1.1 复数与复数运算复数与复数运算复数：复数：)Re(zx )Im(zy 复平面复平面r),(yxAxyyixz)/(xyarctg22yx 为复数的模为复数的模为复数的辐角为复数的辐角cosxsiny1、 复数表示复数表示.4由于辐角的周期性，由于辐角的周期性，辐角有无穷多辐角有无穷多cosxsiny)/(xyarctgArgzkArgz2)2, 1, 0(kzarg为辐角的主值，为主为辐角的主值，为主辐角，记为辐角，记为zargr),(yxAxyArgzrxyArgzArgzrxyrxyArgz.5iz31例：求例：求的的Argz与与argz解：解：z位于第二象限位于第二象限xy
3、arctgz arg)3( arctg32kzArgz2arg322 k复数的三角表示：复数的三角表示：sincosiz复数的指数表示：复数的指数表示：)sin(cosizieike2iike)2(1ikei) 2/32(应用：应用：), 1, 0(k1ike) 2/2(.6（二）（二） 无限远点无限远点共轭复数：共轭复数：*)sin(cosiz)sin(cosiieNSzARiemann球面球面复复球面球面零点零点无限远点无限远点)(21cosiiee)(21siniieei.7)/()(arg2121xxyyarctgz)(221121iyxiyxzz（三）复数的运算（三）复数的运算1、复
4、数的加减法、复数的加减法iyyxx)()(2121xy2z2x2y1z1x1y21xx 21zz 21yy 21zz 221221)()(yyxx有三角有三角关系：关系：2121zzzz2121zzzz.8)(221121iyxiyxzz2、复数的乘法、复数的乘法)()(12212121yxyxiyyxx212121iieezz)(2121ie)sin()cos(212121i2121zzzz2121argarg)arg(zzzz.9iyxiyxzz2211213、复数的除法、复数的除法2121iiee)()(22222211iyxiyxiyxiyx2222211222222121yxyxyx
5、iyxyyxx或指数式：或指数式：iyxiyxzz221121)(212121iezz)sin()cos(212121i.104、复数的乘方与方根、复数的乘方与方根)sin(cosninn乘方乘方ninez)(inne故：故：ninsincosni)sin(cos方根方根nineznine/1nkine/)2(/1故故k取不同值，取不同值， 取不同值取不同值nz)3,2,1 ,0(k.11nkinnez/ )2(/ 1ninnezk/10ninnezk/ )2(/11ninnezk/ )4(/12)/2(/1ninneznknine/1.12)/2(/1ninneznknine/1383/ )
6、2(3/18kie0k例：求例：求 之值之值38383/3/18ie31 i1k38ie3/1822k383/53/18ie31 i.13222*yxzzz注意：注意：)(2yixyixzzzxyiyx2221）、）、2）、）、zzzRe)(21*zzziIm)(21*3）、）、)(21)(21*2*1*21zzzz.14例：讨论式子例：讨论式子 在复平面上的意义在复平面上的意义2)/1Re(z解：解：2)/1Re(zyixzyixz1122yxyix22)/1Re(yxxz2222xyx222)41()41(yx为为圆上各点圆上各点.15例：计算例：计算解：解：令令ibaWibaz)sin(
7、cosiz2/1)sin(cosizibaW)22sin()22cos(2/1kikz)2sin()2cos(2/11izW)22sin()22cos(2/12izW22baz22sinbab22cosbaa2cos12sin.16例：计算例：计算ncos3cos2coscos解：解：nsin3sin2sinsin令令nacos3cos2coscosnbsin3sin2sinsin)sin3sin2sin(sincos3cos2coscosninibaW)sin(cos)2sin2(cos)sin(cosniniiiniiieeee32.17iniiieeeeW32)1(32niiiieeeW
8、einiieeWWe )1(1)1(iinieeeW)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeee.18)()(2/2/2/2/)2/1(2/iiiiniieeeeeeW) 2/sin(2) 2/sin() 2/cos() 2/ 1sin() 2/ 1cos(iininbianacos3cos2coscos) 2/sin(2) 2/sin() 2/ 1sin(nnbsin3sin2sinsin.191.2 1.2 复变函数复变函数（一）、复变函数的定义（一）、复变函数的定义Ezyxivyxuzfw),(),()(iyxz对于复变集合对于复变集合E E中的每一复数中的每一复数有
9、一个或多有一个或多个复数值个复数值w称为的称为的z复变函数复变函数z称为称为w的的宗量宗量22)(vuzfwuvarctgzf)(arg.20（二）、区域概念（二）、区域概念0zz由由确定的平面点集，称为定点确定的平面点集，称为定点z0的的 邻域邻域（1 1）、邻域）、邻域（2 2）、内点）、内点定点定点z0的的 邻域全含于点集邻域全含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的内点的内点（3 3）、外点）、外点定点定点z0及其及其 邻域不含于点集邻域不含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的外点的外点（4 4）、边界点）、边界点定点定点z0的的 邻域既有含邻域既有含于于E内，又有不含于内，又有
10、不含于E内的内的点，称点，称z0为点集为点集E的的边界边界点。点。0z内点内点边界点边界点外点外点.210z内点内点边界点边界点外点外点（5 5）、区域）、区域A）全由内点组成）全由内点组成B）具连通性：点集中任）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于连接，且折线上的点属于该点集该点集。（6 6）、闭区域）、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如区域连同它的边界称为闭区域，如1z表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1 1的闭区域的闭区域（7 7）、单连通与复连通区域）、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭单连通区域：区域内任意闭曲线，其
11、内点都属于该区域曲线，其内点都属于该区域.22（三）、复变函数例（三）、复变函数例)(21sinizizeeiz)(21cosizizeez)(21zzeeishz)(21zzeechzzsin可大于可大于1 1zizezzziargln)ln(lnarg)cos(sin2)(212222xxeeyy.23例：求方程例：求方程 sinz=2iyxz解：解：)(21sinizizeeiz设设21)()(yixiyixieei)(21yixyixeeeei)sin(cos)sin(cos21yyexixexixicos)(sin)(21xeeixeeyyyy.24cos)(sin)(21sinxe
12、eixeezyyyy22sin)(21xeeyy0cos)(21xeeyy0cos xkx224yyee.254yyee0142yyee)32ln( y0142yyee或或)32ln( yiyxzkx22)32ln(22ik.26（四）、极限与连续性（四）、极限与连续性设设w=f(z)在在z0点的某邻域有定义点的某邻域有定义对于对于 00，存在，存在 0,0,使使0zz有有0)(wzf称称z - z0时时w0为为极限极限，计为，计为0)(lim0wzfzz注意：注意：z在全平面，在全平面，z - z0须以任意方式须以任意方式若有若有)()(lim00zfzfzz称称f(z)在在z0点连续点连续
13、),(),(),(),(0000yxvyxvyxuyxu0zz .271.3 1.3 导数导数w=f(z)是是在在z点点及其邻域定义及其邻域定义的单值函数的单值函数zzfzzfzzfzz)()(lim)(lim00在在z点存在，并与点存在，并与 z - 0的方式无关，则的方式无关，则dzdfzzfzzfzfz)()(lim)( 0例：例：证明证明f(z)=zn在复平面上每点均可导在复平面上每点均可导证：证：zzzznnz)(lim0.28)(2) 1(lim1210nnnzzzznnnz1nnz例：例：证明证明f(z)=z*在复平面上均不可导在复平面上均不可导证：证：zzzzz*0)(limz
14、zz*0limzzyx*00lim1lim00yyyxzzyx*00lim1lim00 xxyx.29求导法则求导法则dzdwdzdwwwdzd2121)(dzdwwdzdwwwwdzd122121)()(21wwdzddzdwdwwdFwFdzd)()(222121wwwww.30下面讨论复变函数可下面讨论复变函数可导的必要条件导的必要条件yvyuiyixviuzfyx00lim)( ),(),()(yxivyxuzfyiviuyx00limxvixuyixviuzfyx00lim)( xviuxy00lim比较两式有比较两式有yvxuxvyu称为科西称为科西-黎曼条黎曼条件（件（C.R.C
15、.R.条件）条件）C.R.C.R.条件不是可导条件不是可导的充分条件的充分条件.31例：例：证明证明 在在z=0处满足处满足C.R.条件，但在条件，但在沯沯z=0处不可导处不可导 证：证：0)0 , 0()0 ,(lim00 xuxuxuzzxyzf)(xyu 0v00zyu00zyv00zxv满足满足C.R.条件条件在在z=0处处但在但在z=0处，若处，若 一定，一定，00iezizezfsincoslim0随随 而变，故而变，故在在z=0处不可导处不可导.32下面讨论下面讨论f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导的充分条件点可导的充分条件证明：证明：1）u,v在在z处满足处满
16、足C.R.条件条件 2）u,v在在z处有连续的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商因为因为u,v在在z处有连续的一阶偏微商，所以处有连续的一阶偏微商，所以u,v 的的微分存在微分存在dyyudxxududyyvdxxvdvidvdudf)()(dyyvdxxvidyyudxxudyyviyudxxvixu)()(由由C.R.条件条件 dyxuiyudxyuixu)()(.33此式此式 z无论以什么无论以什么趋于零都存在，趋于零都存在，idvdudfC.R.方程的极坐标表示：方程的极坐标表示：dyxuiyudxyuixu)()()(idydxyuixuyuixudzdf故故f(z)=u(x,y)+iv
17、(x,y)在在z 点可导点可导当考虑当考虑 z沿沿径向和沿径向和沿恒向趋于零时，有恒向趋于零时，有vu1vu1.34例：试推导极坐标下的例：试推导极坐标下的C.R.方程：方程：方法一：方法一：vu1vu1当分别考虑当分别考虑 z沿沿径向径向和沿恒向趋于零时，和沿恒向趋于零时，iez ),(),()(ivuzf沿沿径向趋于零径向趋于零ieivuivudzdf),(),(),(),(lim0),(),(),(),(lim0iievvieuu.35),(),(),(),(lim0iievvieuudzdfieviu1)(沿沿恒向趋于零恒向趋于零),(),(),(),(lim0iieivvieiuud
18、zdfieuiv1)1(vu1vu1.36方法二：方法二： 从直角坐标关系出发从直角坐标关系出发sincosyxyyuxxuusincosyuxuyyvxxvvsincosyvxvsincosxvyvsincosxuyu.37sincosxvyvusincosxuyuv同理同理)cossin(yuxuu)sincos(xvyvvvu1vu1.38例：证明例：证明f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析在复平面上解析 ，且，且f(z)=f(z)。1.4 1.4 解析函数解析函数若若w=f(z)是是在在z0点及其邻域上处处可导，称点及其邻域上处处可导，称f(z)在在z0解析解析若若w=
19、f(z)是是在在区域区域 B上任意点可导，称上任意点可导，称f(z)在在区域区域 B 解析解析证：证：yevyeuxxsin,cosyexuxcosyeyuxsinyexvxsinyeyvxcosyieyezfxxsincos)( )(zf满足满足C.R.条件条件且一阶偏导连续且一阶偏导连续 .39后面可证在某区域上的解析函数后面可证在某区域上的解析函数 ，在该区域上有任意阶，在该区域上有任意阶导数。导数。由由C.R.条件条件yvxuxvyu前一式对前一式对x 求导，后式对求导，后式对y 求导，相加求导，相加02222yuxu同理同理02222yvxv0)(2222uyx0)(2222vyxu
20、(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程方程又特别称为又特别称为共轭调和函数共轭调和函数性质性质1、f(z)在在区域区域 B 解析，解析，u(x,y)和和v(x,y)为为共轭调和函数共轭调和函数.40令：令：kzjyix称为梯度称为梯度(gradient)矢量矢量二维二维表示表示)()(kzjyixkzjyix222222zyx222222yx三维表示三维表示2222223zyxkzfjyfixff.4102 u02 v由由C.R.条件条件yvxuxvyu两式相乘两式相乘0yuyvxvxu0)()(jyvixvjyuixu即即或或0vu表示表示正交与vuLaplac
21、e 方方程表示为：程表示为：性质性质 2、u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数曲线正交常数曲线正交而而u 和和v 的梯度分别是的梯度分别是u(x,y)=常数常数 v(x,y)=常数常数的法向向量的法向向量u.42若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一条件，求另一共轭调和函数，方法如下：共轭调和函数，方法如下：C.R.条件条件yvxuxvyu上式为全微上式为全微分，因为分，因为dyyvdxxvdv方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）设已知设已知 u(x,y)， 求求v(x,y)dyxudxyu
22、dv2222)(xuyuyuy)(xux方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法.43方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法例：已知解析函数实部例：已知解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解：解：故故u为调和函数为调和函数222yu222xu.44u(x,y)=x2-y2xxu2yxv2dyyvdxxvdv方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法yyu2xyv2xdyydx22)0 ,(x),(yxxy),(
23、)0 , 0()22(yxxdyydxv.45Cxy 2)0 ,(x),(yxxyCxdyydxvyx),()0 , 0()22(Cxdyydxxdyydxyxxx),()0 ,()0 ,()0 , 0()22()22(.46方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法Cxyv 2xdyydxdv22)2(yxdCxyv 2)2()(22CxyiyxzfiCz 2u(x,y)=x2-y2.47方法三、不定积分法方法三、不定积分法yxv2xyv2x视为参数有：视为参数有：)(2xxdyv)(2xxy)( 2xyxv0)( xCx )(Cxyv 2.48例：已知解析函数例：已知解析函数f(z)实部
24、实部 求求 v(x,y)解：解：化为极坐标求解化为极坐标求解uv10)(,)(22222fyxyxu),(),()(ivuzf42222sincosu2)2cos(3)2sin(2uv2)2cos(2dvdvdv.49dddv23)2cos(2)2sin(2)2sin(2dCv2)2sin(),(),()(ivuzf2)2cos(uiCizf)2sin()2cos(1)(2iCezfi221)(iCz210)(f0C21)(zzf.502.3.1 初等单值函数初等单值函数1010( )(0)nnnwP za za zaa其中幂函数幂函数 w=zn当n是正整数或0(此时w=z0=1)时, w=z
25、n在复平面上解析多项式函数多项式函数 在复平面上解析.51有理函数有理函数10100101( )(,0)( )nnnmmma za zaP zwa bQ zb zb zb其中在复平面上除使Q(z)=0的点外解析指数函数指数函数(cossin )zx iyxweeeyiy.52指数函数w=ez有如下一些性质:() ez0,因为|ez|=|exeiy|=ex0.() 对于实数z=x(y=0)来说,我们定义与通常实指数函数的定义是一致的.() ez1ez2=ez1+z2. () w=ez在复平面上解析, 且.zzdwdeedzdz () 2(0, 1, 2,),zk izee k .53ez以2 i
26、为周期.如右图,如果我们将复平面划分为平行于实轴宽为 的带形20 xyii3 i3 i(21)(21) ,),nynn例如为整数() 不存在, 因为当z沿实轴的正负两个方面趋于 时ez分别趋于limzze0.和则在每一个带形内ez 的性质相同.54欧拉公式欧拉公式: cossin ,cossin .iieiei所以有sin,cos22iiiieeeei正弦函数、余弦函数正弦函数、余弦函数:sin,cos22izizizizeeeezzi.55性质性质:1. 它们在复平面上解析,且sincos ,cossin .ddzzzzdzdz 2. Sin z是奇函数,cos z是偶函数,它们遵从通常的三
27、角公式22sincos1,zz121212121212sin()sincoscossin,cos()coscossinsin.zzzzzzzzzzzz.563. sin z及cos z以 为周期.24. Sin z=0必须且只须,0, 1, 2,.znn cos z=0必须且只须1,0, 1, 2,.2znn 5. 在复数范围内不再能断定|sin| 1,|cos | 1.zz 通过sin z, cos z我们可以依照通常的关系定义正切、余切、正割、余割.572.3.2. 初等多值函数初等多值函数 根式函数 则称w为z的根式函数根式函数，记为 .,1,2,nwznn如果z=w.nwz（） 是多值
28、函数3wz w的模与z的模是一一对应的；而辐角则不然，对应每个 值，有三个不同的 值12324,333从而得到三个不同的w值24333333123,.iiiwrewrewre所以，函数 是多值函数.3wz.580uv0 xy0 xy0uv.59 单叶性区域单叶性区域:如右图,我们把区域,称作 的单叶性区域. 单值分支单值分支: 我们把右图三个单叶性区域分别加上相邻处的端边,构成三个三角形, 当我们用这三个互不相交的三角形把w平面布满之后, 就把一个多值函数 划分成了三个单值分支3zw3wz2433333123,.iiiwrewrewre上述每个角形分别是其一个单值分支的值域,而此时有0arg2
29、 .z0uv.600Cc( , )rxy () 支点支点 如右图, 对于函数 来说,z=0点具有这样的特性: 当z绕它转一整圈回到原处时, 多值函数由一个分支变到另一个分支. 具有这种性质的点称为多值函数 的支点支点. 无穷远点也具有这种性质,因为绕原点转一整实也就是绕无穷远点转一整圈. 所以无穷远点也是 的支点.3wz3wz3wz.61 () 支割线支割线 例例7.设 确定在沿正实轴割破的z平面上,并且3wz3( ),()?w iiiwi 求解解 由4333( ),iw iiwre 显然应取第三支又由1136233,()cos30sin30231.22iiooiewieii 所以()支割线可
30、以分为两案z 今在z平面上从支点z=0到支点 任意引一条射线(例如取正实轴为这条射线),称为支割线支割线.62wza的黎曼面将两个割开的复平面粘接起来，形成黎曼面。.63 如果己给复数 ,则满足 的复数w称为z的对数对数函数函数, 并记为 注意z=0时, 没有定义. 若我们限定Im(Lnz)即Arg z取主值则z的对数就只有一个, 称它为Lnz的主值支, 记为lnz.0z wzeln .wzln zarg (arg),zzn()ln(2),0, 1, 2,.Laaikk 例例8. 设a0,则-a=aexi.于是对数函数对数函数.64.65nln1(2)2(2),20, 1, 2,.L iiki
31、kk 例例9. 因 , 所以2iie它是实数域中等式 在复数域中的推广.lnxxe由 及 所定义的函数,分别叫做反正弦反正弦函数函数及反余弦函数反余弦函数,记为 及sinzwcoszwarcsinwxarccos .wzln()aazzea为复常数 一般幂函数. .66(2)2ln22,0, 1, 2,.iikkiiiieeek 例例10. 求ii=?12?i1(1)ln2(1)(ln2 2)(ln2 2)(ln2 2)2iiik ikikeee(ln2 2)2cosln2sinln22(cosln2sinln2),0, 1, 2,.kkeieik 例例11. 求解解解解.67第二章第二章 复
32、变函数积分复变函数积分2.2 2.2 柯西定理柯西定理2.3 2.3 不定积分不定积分2.4 2.4 柯西公式柯西公式2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分.68作作和和xy记：记：2.1 2.1 复变函数积分复变函数积分ABk1kzkz0znzkkkkzzf)(1kkkklzzfdzzf)()(1)(,(),()(idydxyxivyxudzzf),(),(),(),(dyyxudxyxvidyyxvdxyxulldyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf),(),(),(),()(.69例：计算积分例：计算积分lzdzRe), 1 ( iAxy1i分别沿路径分别沿路径(1)和和(
33、2),如图如图(1)(2)解解(1)OBxz RellixdyxdxzdzRe由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径有关llixdyxdxzdzRe1010ixdyxdx21(2)llixdyxdxzdzRe1010ixdyxdxi21.70例：计算积分例：计算积分ldzz2yx2), 2(iAxy2i分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解ldzz210:yOBxyiyxz2222lldyyxxydxixydydxyxdzz)(22)(22222(1)4()2(44)2()4(22210222dyyyydyidyyydy
34、y3/)112(i.71例：计算积分例：计算积分ldzz220:0:xyOB), 2(iAxy2i分别沿路径分别沿路径(1)和和(2),如图如图(1)(2)解解(2)OB10:2:yxBAxyiyxz2222lldyyxxydxixydydxyxdzz)(22)(22222ldzz220102102)4()4(dyyidyydxx3/)112(i由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关由此可见，对于有些被积函数而言，积分与路径无关.72（一）、单连通区域（一）、单连通区域0)(ldzzf证明：证明：lldyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf),(),(),(),()(Sldx
35、dyyPxQQdyPdx)(SSldxdyyvxuidxdyyuxvdzzf)()()(2.2 2.2 柯西定理柯西定理.73ABSSldxdyyvxuidxdyyuxvdzzf)()()(yvxuxvyuC.R.C.R.条件条件0)(ldzzf得：得：推论：单连通区域中解析函数推论：单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关的积分值与路经无关l2l1证明：证明：0)(ldzzf0)()(21lldzzfdzzf.74（二）、复连通区域（二）、复连通区域0)()(illidzzfdzzf证明：证明：)()()()(1ABlABldzzfdzzfdzzfdzzf函数在区域上不可导，存在奇
36、点。将这些点挖掉所形函数在区域上不可导，存在奇点。将这些点挖掉所形成的带空区域成的带空区域0)()()(2CDlCDdzzfdzzfdzzfl2l1lABABCDCDl 为区域外境界线，为区域外境界线， li为区域内境界线，积分沿境界线正为区域内境界线，积分沿境界线正向进行向进行.750)()(illidzzfdzzf0)()()(21llldzzfdzzfdzzfl2l1lABABCDCDillidzzfdzzf)()(illidzzfdzzf)()(内、外境界线逆时针积分相等内、外境界线逆时针积分相等.762.3 2.3 不定积分不定积分单连通区域中解析函数单连通区域中解析函数 f(z)
37、的积分值与路经无关，的积分值与路经无关，令令z0固定，终点固定，终点z 为变点，有单值函数为变点，有单值函数ABl2l1zzdfzF0)()()()( zfzF且：且：F(z) 是是f(z) 的原函数的原函数21)()()(12zzdfzFzF还有还有证略证略.77lndzzI)(例：计算积分例：计算积分l CR（n 为整数）为整数）解：解：n 0 被积函数解析被积函数解析0)(lndzzn 1lnzzdze011)!1(2zznnedzdni)!1(2ni此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！
