1、毕达哥拉斯学毕达哥拉斯学派的数学成就派的数学成就毕达哥拉斯简介毕达哥拉斯简介 关于毕达哥拉斯的生卒年关于毕达哥拉斯的生卒年份和他一生中重要事件发生的份和他一生中重要事件发生的日子，在公元前日子，在公元前3535世纪的历世纪的历史学家、数学家和哲学家的记史学家、数学家和哲学家的记录中存在着严重的分歧，各种录中存在着严重的分歧，各种记录中记载的日期之间有记录中记载的日期之间有2020多多年的差距。这些原始资料显示，年的差距。这些原始资料显示，毕达哥拉斯出生于公元前毕达哥拉斯出生于公元前584584公元前公元前560560年之间，他的年之间，他的故乡是萨摩斯。故乡是萨摩斯。证明了直角三角形定证明了直
2、角三角形定理的古希腊人理的古希腊人毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派 毕达哥拉斯学派亦称毕达哥拉斯学派亦称“南意大利学派南意大利学派”，是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。是一个集政治、学术、宗教三位于一体的组织。 公元前公元前529529年，毕达哥拉斯搬到了南意大利年，毕达哥拉斯搬到了南意大利的克罗顿城，在那里，他创立了一个研究哲学、的克罗顿城，在那里，他创立了一个研究哲学、数学和自然学科的团体数学和自然学科的团体毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派是一个有秘密仪式和严格戒律毕达哥拉斯学派是一个有秘密仪式和严格戒律的宗教性学派组织，他们组织严密，遵守着严的宗教性学派组织，他们组织严
3、密，遵守着严格的行为准则，需要保守的清规戒律很多，带格的行为准则，需要保守的清规戒律很多，带有浓厚的宗教色彩。有浓厚的宗教色彩。最完美的数最完美的数多边形数多边形数完全数、盈数和亏数完全数、盈数和亏数亲和数亲和数勾股数组勾股数组毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理数数学学成成就就最完美的数最完美的数 毕达哥拉斯根据毕达哥拉斯根据“简单整数比简单整数比”的原理，创造了一的原理，创造了一套音乐理论，例如用套音乐理论，例如用1,2,3,4这四个自然数，按这四个自然数，按1:2,2:3,3:4的比构成几个主要的音阶，而这四个数的和的比构成几个主要的音阶，而这四个数的和是是10。于是，他们认为。于是，他们认为1
4、0是最完美的数，被用来作为是最完美的数，被用来作为神圣的象征。也有人把神圣的象征。也有人把1看成是点，看成是点，2看成是线，看成是线，3看成看成是三角形，是三角形，4成是四面体，这更增加了成是四面体，这更增加了10的神秘性。的神秘性。 多边形数 一切几何图形都是由数产生的，万物皆数！其数一切几何图形都是由数产生的，万物皆数！其数学家毕达哥拉斯发现和开创了学家毕达哥拉斯发现和开创了“形数形数”的研究先例。的研究先例。对古希腊数学家毕达哥拉斯及其门徒，所情有独钟的对古希腊数学家毕达哥拉斯及其门徒，所情有独钟的图形数。这里，再比较详细地谈一谈，图形数中的多图形数。这里，再比较详细地谈一谈，图形数中的
5、多边形数。边形数。1 1、什么是多边形数、什么是多边形数 如果把自然数看成点的集合，那么，能排成多边形如果把自然数看成点的集合，那么，能排成多边形的，就叫做多边形数。的，就叫做多边形数。2 2、常见的几种多边形数、常见的几种多边形数 常见的多边形数，有三角形数、正方形数、五边形常见的多边形数，有三角形数、正方形数、五边形数、六边形数等等。数、六边形数等等。多边形数 一切几何图形都是由数产生的，万物皆数！其数学家毕达哥拉一切几何图形都是由数产生的，万物皆数！其数学家毕达哥拉斯发现和开创了斯发现和开创了“形数形数”的研究先例。的研究先例。对古希腊数学家毕达哥拉斯对古希腊数学家毕达哥拉斯及其门徒，所
6、情有独钟的图形数。这里，再比较详细地谈一谈，图及其门徒，所情有独钟的图形数。这里，再比较详细地谈一谈，图形数中的多边形数。形数中的多边形数。 三角形数 四边形数 五边形数 六边形数三角形数第第n n个三角形数的公式是个三角形数的公式是Tn=n(n+1)/2=(n2+n)/2Tn=n(n+1)/2=(n2+n)/2为一抛物线为一抛物线程。程。第第n n个三角形数是开始的个三角形数是开始的n n个个自然数自然数的和。的和。所有大于所有大于3 3的三角形数都不是的三角形数都不是质数质数。三角形数是所有多边形数的基础。它与其它多边形构成递推三角形数是所有多边形数的基础。它与其它多边形构成递推关系。关系
7、。四边形数平方数也称正方形数，若平方数也称正方形数，若 n n 为平方数，将为平方数，将 n n 个点排成矩形，可以排个点排成矩形，可以排成一个正方形。成一个正方形。若将平方数概念扩展到若将平方数概念扩展到有理数有理数，则两个平方数的比仍然是平方数，则两个平方数的比仍然是平方数，例如，例如， (2(2 2) / (32) / (3 3) = 4/9 = 2/33) = 4/9 = 2/3 2/32/3。五边形数与六边形数五边形数与六边形数多边形的公式、方程多边形数多边形数多边形方程多边形方程3n(n + 1)/24n25n(3n - 1)/26n(2n - 1)7n(5n - 3)/28n(3
8、n - 2)9n(7n - 5)/210n(4n - 3)11n(9n - 7)/212n(5n - 4)13n(11n - 9)/214n(6n - 5)15n(13n - 11)/216n(7n - 6)17n(15n - 13)/218n(8n - 7)常见的几种多边形数的基本数据：常见的几种多边形数的基本数据：怎样判断一个自然数是否是多边形数？有一种简单的测试法，可以判断一个自然数是不是多边有一种简单的测试法，可以判断一个自然数是不是多边形数。形数。只需把这个数乘以只需把这个数乘以8(n8(n2)2)，再加上，再加上(n(n4)24)2，如果得到，如果得到的结果是一个平方数，那么，这个
9、数就是一个的结果是一个平方数，那么，这个数就是一个n n边形数，边形数，否则，就不是。否则，就不是。比如，想知道比如，想知道4545是不是一个六边形数。取是不是一个六边形数。取n n6 6，因为，因为45458(68(62)2)(6(64)24)245458 84 42222144014404 414441444，是一个平方数，是一个平方数(1444(1444383822) )，所以，所以，4545，是六边，是六边形数。形数。1 1：完全数：完全数 如果一个数等于除它本身以外的全部因数之和，这个如果一个数等于除它本身以外的全部因数之和，这个数就叫做完全数。数就叫做完全数。2 2：盈数：盈数 如
10、果一个数大于除它本身以外的全部因数之和，这个如果一个数大于除它本身以外的全部因数之和，这个数就叫做盈数。数就叫做盈数。3 3：亏数：亏数 如果一个数小于除它本身以外的全部因数之和，这个如果一个数小于除它本身以外的全部因数之和，这个数就叫做亏数。数就叫做亏数。完全数的特征完全数的特征 1. 1.所有的完全数都是所有的完全数都是三角形数三角形数 2. 2.可以表示成连续奇可以表示成连续奇立方数立方数之和之和 （除（除6 6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加）数之和，并规律式增加） 3 3. .都可以表达为都可以表达为2 2的一些连续正整数次
11、幂之和的一些连续正整数次幂之和4.4.完全数都是以完全数都是以6 6或或8 8结尾结尾 如果以如果以8 8结尾，那么就肯定是以结尾，那么就肯定是以2828结尾。（科结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）5.5.各位数字辗转式相加个位数是各位数字辗转式相加个位数是1 1 除除6 6以外的完全数，把它的各位数字相加，直以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是到变成个位数，那么这个个位数一定是1 1。6.6.它们被它们被3 3除余除余1 1、被、被9 9除余除余1 1、被、被2727除余除余1 1 除除6 6以外的完全数，
12、它们被以外的完全数，它们被3 3除余除余1 1、9 9除余除余1 1、还、还有的可被有的可被2727除余除余1 1现状：现状：16162282283496349648,12848,128533,550,336533,550,336 47 242643800 X 47 242643800 X （242643801-1)242643801-1)48 257885160 X (257885161-1)48 257885160 X (257885161-1) 由于后面数字位数较多，例子只列到前由于后面数字位数较多，例子只列到前5 5个，第个，第1313个有个有314314位。位。 到第到第3939个完
13、全数有个完全数有2567412725674127位数，据估计它以四号字打出需要一本字书。位数，据估计它以四号字打出需要一本字书。历史知识： 公元前公元前6 6世纪的世纪的毕达哥拉斯毕达哥拉斯是最早研究完全数是最早研究完全数的人，他已经知道的人，他已经知道6 6和和2828是完全数。毕达哥拉斯曾说：是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。分是完整的，并且其和等于自身。”有些有些圣经圣经注释家认为注释家认为6 6和和2828是上帝创造世界时所用的基本数字，是上帝创造世界时所用的基本数字，因为
14、上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕因为上帝创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数。地球一周的日数。圣圣奥古斯丁奥古斯丁说：说：6 6这个数本身就这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实上，因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把因为这个数是一个完全数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了。一切事物都造好了。历史知识： 在中国文化里：有六谷、六畜、战国时在中国文化里：有六谷、六畜、战国时期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、期的六国、秦始皇以六为国数、六常（仁、义、礼、智、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，礼、智、
15、信、孝）、天上四方有二十八宿等等，6 6和和2828，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，在中国历史长河中，之所以熠熠生辉，是因为它是一个完全数。难怪生有的学者说，是因为它是一个完全数。难怪生有的学者说，中国发现完全数比西方还早呢。中国发现完全数比西方还早呢。历史知识： 完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直好者像淘金一样去寻找。它很久以来就一直对数对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个没完没了地找寻这一类数字。接下去的两个完全完全数
16、数看来是公元看来是公元1 1世纪，世纪，毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派成员尼克成员尼克马马修斯修斯发现的，他在其发现的，他在其数论数论一书中有一段话如一书中有一段话如下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有下：也许是这样，正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以已；是以盈数盈数和亏数非常之多，杂乱无章，它们和亏数非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统。的发现也毫无系统。梅森素数： 梅森素数是由梅森数而来。所谓梅森数，是梅森素数是由梅森数而来。所谓梅森数，是指形如指形如2 2P P1 1的一类数，其中指数的一类数，其
17、中指数p p是素数，常记是素数，常记为为MpMp 。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。用。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。用因式分解法可以证明，若因式分解法可以证明，若MpMp是素数，则其指数是素数，则其指数p p也是素数；反之则不然，即当也是素数；反之则不然，即当p p是素数时，是素数时，MpMp未未必是素数。比如当必是素数。比如当p=2p=2，3 3，5 5，7 7时，时，MpMp都是素数，都是素数，但但M M1111=2047=23=2047=238989却不是素数。前几个较小的梅却不是素数。前几个较小的梅森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素数也森数大都是素数，然而梅森数越大，梅森素
18、数也就越难出现。是否存在无穷多个梅森素数是数论就越难出现。是否存在无穷多个梅森素数是数论中未解决的著名难题之一。目前仅发现中未解决的著名难题之一。目前仅发现4848个梅森个梅森素数，最大的是素数，最大的是 2 21 1（即（即2 2的的5788516157885161次方减次方减1 1），有），有1742517017425170位数。位数。亲和数：1 1）定义）定义 把一对存在特殊关系的数称为亲和数把一对存在特殊关系的数称为亲和数; ;在遥远在遥远的古代的古代, ,人们发现某些自然数之间有特殊的关系人们发现某些自然数之间有特殊的关系: :如果两个数如果两个数 a a 和和 b b，a a 的所
19、有除本身以外的因数的所有除本身以外的因数之和等于之和等于 b b，b b 的所有除本身以外的因数之和等的所有除本身以外的因数之和等于于 a a，则称，则称a a 和和b b 是一对亲和数。是一对亲和数。2 2）提出时间：公元前）提出时间：公元前580500580500年年3 3）曾用名：相亲数，朋友数）曾用名：相亲数，朋友数4 4）亲和数举例：）亲和数举例：220220和和284284，11841184和和12101210，26202620和和 29242924，50205020和和55645564，62326232和和63686368亲和数历史： 首先发现首先发现220220与与284284
20、就是一对亲和数，在以就是一对亲和数，在以后的后的15001500年间，世界上有很多数学家致力于探年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、寻亲和数。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特天文学和物理学家泰比特依本库拉曾提出过依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，所以他难以实际操作，再加上难以辨别真假，所以他并没有给人们带来惊喜，或走出困境。数学家并没有给人们带来惊喜，或走出困境。数学家们仍然没有找到第二对亲和数。直到费尔马们仍然没有找到第二对亲和数。直到费
21、尔马（1601166516011665）才发现了另一对亲和数：）才发现了另一对亲和数：1729617296和和1841618416。1 1、定义：、定义： 一般地，若三角形三边长一般地，若三角形三边长a a，b b，c c都是正整数，且满都是正整数，且满足足a a，b b的平方和等于的平方和等于c c的平方，那么数组（的平方，那么数组（a a，b b，c c）称为）称为勾股数组。勾股数组是人们为了解出满足勾股定理的不定勾股数组。勾股数组是人们为了解出满足勾股定理的不定方程的所有整数解而创造的概念。方程的所有整数解而创造的概念。 毕达哥拉斯学派也给出了表达该勾股数组的一般法毕达哥拉斯学派也给出了
22、表达该勾股数组的一般法则，即（则，即（m m，（，（m m-1-1）/2/2，（，（m m+1+1）/2/2），其中），其中m m为奇数，后为奇数，后来柏拉图也给出了类似的表达（来柏拉图也给出了类似的表达（2m2m，m m-1-1，m m+1+1），欧几里），欧几里得也给出过通解（得也给出过通解（ ，( ) /2 ( ) /2 ，( )/2 ) ( )/2 ) 其中，其中，m mn n。然而，这三个公式都不能给。然而，这三个公式都不能给出全部的勾股数组。出全部的勾股数组。勾股数组勾股数组m nm2-n2m2+n2常见的勾股数组及几种通式 (1).(3 (1).(3，4 4，5)5)，(6(6，
23、8 8，10)10)通式通式:(3n:(3n，4n4n，5n)5n) (n(n为正整数为正整数) )(2).(5(2).(5，1212，13)13)，(7(7，2424，25)25)通式通式:(2n+1:(2n+1，2n2n+2n+2n，2n2n+2n+1)+2n+1) (n(n为正整数为正整数) )(3).(8(3).(8，1515，17)17)，(12(12，3535，37)37)通式通式:(2n:(2n，n n1 1，n n+1)+1) (n(n为正整数，为正整数，n4)n4)(4).(m(4).(m-n-n，2mn2mn，m m+n+n) ) (m(mn n，m m，n n均为正整数）
24、均为正整数）毕达哥拉斯定理 定义定义: :把直角三角形的两直角边平方和等于把直角三角形的两直角边平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。数学公理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。数学公式中常写作式中常写作a a+b+bc c毕达哥拉斯定理的历史 公元前公元前550550年，毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，因此，年，毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，因此，外国人通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。外国人通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。 公元前公元前11201120年，我国商代数学家商高就提出，将一根年，我国商代数学家商高就提
25、出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即于五，即“勾三，股四，弦五勾三，股四，弦五”，它们被记载于我国古代著，它们被记载于我国古代著名的数学著作周髀算经中。故又称为商高定理。名的数学著作周髀算经中。故又称为商高定理。 公元前公元前17001700年从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界年从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现上最早发现“勾股定理勾股定理”的。的。毕达哥拉斯定理的曾用名 勾股定理在中国称为勾股定理在中国称为“商高定理商高定理”，在外国称为，在外国称为“毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理”或或“百牛定理百
26、牛定理”。（毕达哥拉斯发。（毕达哥拉斯发现这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称现这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛百牛定理定理”）。法国，比利时人又称这个定理为）。法国，比利时人又称这个定理为“驴桥定驴桥定理理”，埃及称为埃及三角形。还有的国家称勾股定理为，埃及称为埃及三角形。还有的国家称勾股定理为平方定理。平方定理。定理证明方法的种类 a a+b+bc c 勾股定理现发现约有勾股定理现发现约有500500种证明方种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。其中路法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。其中路明思毕达哥拉斯命题一书中总共提到明思毕达哥拉斯命题一书中总共提到3
27、67367种证明方种证明方法。法。 赵爽，刘徽，梅文鼎，项明达，赵浩杰，伽菲赵爽，刘徽，梅文鼎，项明达，赵浩杰，伽菲尔德，爱因斯坦，欧几里得等都对此定理做过相应的尔德，爱因斯坦，欧几里得等都对此定理做过相应的证明。证明。利用相似三角形性质证明勾股定理 如图，在如图，在RtRtABCABC中，设直角边中，设直角边AC,BCAC,BC的长度分别为的长度分别为a,b,a,b,斜边斜边ABAB的长为的长为c,c,过点过点C C作作CDAB,CDAB,垂足为垂足为D.D.在在A AD DC C和和ACACB B中，中，ADCADCACBACB9090CADCADBAC,BAC, ADCADCACB.ACB.AD:ACAD:ACAC:ABAC:AB，即即ACACADAB.ADAB.同理可证，同理可证，CDBCDBACB,ACB,从而有从而有BCBCBDAB.BDAB.ACACBCBC（ADADDBDB）ABABABAB. .即即a ab bc c. .
