1、漫谈数学学习马绪明 教科研中心 “ “读诗使人灵秀，读历史使人明读诗使人灵秀，读历史使人明智，学逻辑使人周密，学哲学使人智，学逻辑使人周密，学哲学使人善辩，学数学使人聪明善辩，学数学使人聪明” 培根培根 高中在一个人的学习生涯中占有相当重要的位置，它是承上启下的关键时期，高中学习对同学们的未来的影响之大是难以估量的，他决定你考上什么样的大学，决定你将来从事何种职业，决定你对国家贡献的大小，决定你的生活方式和质量。而数学这一科尤为重要，它是所有学科中拉分最大的科目。高中学习的重要性高中学习的重要性四个问题2.提到数学这门课你有什么感受？1.就你目前学习经历，那门课最难学？4.数学应该怎么学？3.
2、你是怎么进行数学学习的？碰到难题时，你是怎么做的？ “数学在各门课程中是最不得人心的一门功课，其名声不佳”。 美国 G波利亚 难我太笨了，我太笨了，学不了数学学不了数学无用无趣讨厌变态基础差，基础差，数学是没指望了数学是没指望了学生对学科课程的具体感受学生对学科课程的具体感受最喜欢的最喜欢的外语外语20%20%、数学、数学17%17%、体育、体育、信息技术信息技术最不喜欢的最不喜欢的政治、物理、数学、外语政治、物理、数学、外语压力很大的压力很大的数学、物理、外语、化学数学、物理、外语、化学实用性最差的实用性最差的政治、历史、美术、数学政治、历史、美术、数学内容偏多的内容偏多的数学、物理、政治、
3、历史数学、物理、政治、历史内容太难的内容太难的物理、数学、化学、外语物理、数学、化学、外语 高一的同学们，请不要轻易讨厌高一的同学们，请不要轻易讨厌数学，因为多半是由于你不了解数学，数学，因为多半是由于你不了解数学，其实它很善良，也很有魅力。其实它很善良，也很有魅力。莫比乌斯带莫比乌斯带数学是有趣的数学是美的最完美的身体最完美的身体：肚脐到脚底的肚脐到脚底的距离距离/ /头顶到脚头顶到脚底的距离底的距离=0.618=0.6180.618最漂亮的脸庞：最漂亮的脸庞：眉毛到脖子的眉毛到脖子的距离距离/ /头顶到头顶到脖子的距离脖子的距离=0.618 =0.618 0.618最高雅的建筑：最高雅的建
4、筑：巴黎圣母院的巴黎圣母院的正立面的宽度正立面的宽度和高度之比为和高度之比为0.6180.6180.618螺线螺线现实中的数学之美 剖开海螺，我们可以看到贝壳里的螺轴和螺纹，数学剖开海螺，我们可以看到贝壳里的螺轴和螺纹，数学上称这个清晰完美的螺线为上称这个清晰完美的螺线为对数螺线对数螺线。 发现和定义螺线之后，对发现和定义螺线之后，对螺线进行了系统的分析，包括螺线进行了系统的分析，包括螺线的画法，角度，双螺旋的螺线的画法，角度，双螺旋的问题。问题。 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。
5、日用之繁，数学无处不在。” 华罗庚华罗庚数学是有用的 “一种科学只有在成功运用一种科学只有在成功运用 数学时，才算达到了真正完善的地步。数学时，才算达到了真正完善的地步。” 马克思马克思数学无处不在螺线应用螺线应用盟军舰艇编队 1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国实力受限，又无力增派更多的护航舰艇。一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。为此，一位美国海军将领专门去请教了几位数学家。数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律：一定数量的船编队规模越小，编次就越多；编次越多，与敌人相遇的概率就越
6、大。美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口，结果盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%下降为1%，大大减少了损失。你知道怎么做吗？你知道怎么做吗？数学是有用的 学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入了社会之后，如果没有什么机会应用，那么这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而他们不管从事什么工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期的在他们的工作和生活中发挥着重要作用。 日本米山国藏 “数学教育不仅可以培养人正直与诚实的品质，也能锻炼人顽强的意志与勇气。” 前苏联辛钦数学是有用的 高中数学与初中数学的差异
7、1.内容数量的差异内容数量的差异 2.知识差异知识差异 3.数学语言的差异数学语言的差异 4.思维方法的差异思维方法的差异 5.学生学习方法的差异学生学习方法的差异 1.1.内容数量的差异内容数量的差异 高中数学比初中数学的知识内容在“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息比初中增加了许多，但课外练习，消化的时间却相应地减少了，现在高中数学的教学安排是：用两年的时间学完三年的课程，高三全年搞总复习，教学进度排得很紧。 初中数学知识浅、知识面窄，相对系统，高中数学知识多、深，有的是对初中数学知识推广和引伸，如：初中学习的角的概念只是001800范围内的，而高中是把角的概念推广到任意角，包括正角
8、、负角、零角。另外，还将学习到和初中没有任何联系的知识，如：数列、导数、圆锥曲线等，知识量非常大，所涉及的范围也知识量非常大，所涉及的范围也非常广。非常广。并且高中每个模块由几块相对独立的知识拼合而成（如高一有集合、函数的性质、指数和对数函数、指数和对数方程、几何初步、直线与方程、圆的方程等），经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。2 2.知识差异知识差异3.3.数学语言的差异数学语言的差异 初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及非常抽象的集合语言、逻辑运算语言、函数集合语言、逻辑运算语言、函数语言、图象语言语言
9、、图象语言等。 高一年级的学生一开始的思维梯度高一年级的学生一开始的思维梯度太大，以至集合、映射、函数等概念难以太大，以至集合、映射、函数等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很理解，觉得离生活很远，似乎很“玄玄”。 4.4.思维方法的差异思维方法的差异 初中阶段，教师将各种题型归纳了统一的思维模式，因此，初中生在数学学习中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上发生了很大的变化，特别是数学语言的抽象化对学生思维能力提出了更高的要求。 例如， 当f（xl）f（1-x）时， 函数y=f(x)的图象关于y轴对称， 而 yf（xl）与 yf（1-x）的图象却关于直线 x1对称，这种
10、能力要求的突变使很多高一新生感到不适应,故而成绩导致下降。 5.学生学习方法的差异 初中由于内容少，课堂容量小，大凡考试中所用的解题方法和数学思想，教师基本上已反复讲解，学生模仿老师推理较多，较少自学；但高中的知识面广，对高考的相关题型，老师不可能都讲完。对某一题型教师只可能讲一两道较典型的例题，而所有这类相关题型学生只有通过自学才能融会贯通。高中模仿做题、思维学生有，但随着知识的难度大和知识面广泛，学生不能全部模仿。1.学习习惯因依赖心理而滞后。学习习惯因依赖心理而滞后。 初中生在学习上的依赖心理是很明显的。升入高初中生在学习上的依赖心理是很明显的。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的中后
11、，教师的教学方法变了，套用的“模子模子”没有没有了。许多学生进入高中后，还像初中那样，有很强了。许多学生进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不制定计划，坐等上课，课前没有主动权。表现在不制定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到记，没听到“门道门道”。 高一数学学习的常见不良学习状态：高一数学学习的常见不良学习状态：高一数学学习的常见不良学习状态：高一数学学习的常见不良学习状态：2.2.思想松懈。思想松懈。 有些学
12、生把初中的那一套思想移植到高中来。他们有些学生把初中的那一套思想移植到高中来。他们认认 为自己在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临为自己在初一、二时并没有用功学习，只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，而考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，而且有的可能还是重点班，因而认为读高中也不过如此，且有的可能还是重点班，因而认为读高中也不过如此，高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。存有这种思想的学生是大错特错的。
13、中考的题目并不具存有这种思想的学生是大错特错的。中考的题目并不具有很明显的选拔性，但高考就不同了，目前我国还不可有很明显的选拔性，但高考就不同了，目前我国还不可能普及高等教育，高等教育可以说还是属于一种精英教能普及高等教育，高等教育可以说还是属于一种精英教育，只能选拔一些成绩好的学生去读大学，因此高考的育，只能选拔一些成绩好的学生去读大学，因此高考的题目具有很强的选拔性，如果心存侥幸，想在高三时再题目具有很强的选拔性，如果心存侥幸，想在高三时再发奋一、二个月就考上大学，那到头来就会后悔莫及。发奋一、二个月就考上大学，那到头来就会后悔莫及。 高一数学学习的常见不良学习状态：高一数学学习的常见不良
14、学习状态：3.3.学不得法。学不得法。 老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部分学生上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔学生上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背，还
15、有些学生晚上加班加点，白天无精仿，死记硬背，还有些学生晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。倍功半，收效甚微。高一数学学习的常见不良学习状态：高一数学学习的常见不良学习状态：4.4.不重视基础。不重视基础。 一些一些“自我感觉良好自我感觉良好”的学生，常轻视基本知识、的学生，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的以显示自己的“
16、水平水平”，好高骛远，重，好高骛远，重“量量”轻轻“质质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出，陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途错就是中途“卡壳卡壳”，出现计算失误和审题不清等低，出现计算失误和审题不清等低级错误。级错误。 高一数学学习的常见不良学习状态：高一数学学习的常见不良学习状态：5.5.进一步学习条件不具备。进一步学习条件不具备。 高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识能力要求都是一次飞跃。这就要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难与技能为进一步学
17、习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值的求法，实根分布与参数变量的讨论，三角公式的变形与法，实根分布与参数变量的讨论，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际灵活运用，空间概念的形成，排列组合应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中容，如不采取措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。学习的要求。怎样进行数学学习？一、积极的心理定向 二、浓厚的学习兴趣 三、科学的学习方法 学生对学
18、科课程的具体感受学生对学科课程的具体感受最喜欢的最喜欢的外语外语20%20%、数学、数学17%17%、体育、体育、信息技术信息技术最不喜欢的最不喜欢的政治、物理、数学、外语政治、物理、数学、外语压力很大的压力很大的数学、物理、外语、化学数学、物理、外语、化学实用性最差的实用性最差的政治、历史、美术、数学政治、历史、美术、数学内容偏多的内容偏多的数学、物理、政治、历史数学、物理、政治、历史内容太难的内容太难的物理、数学、化学、外语物理、数学、化学、外语一、积极的心理定向怎样进行数学学习？ 破除迷信，解放思想， 端正态度，树立信心。我能行！我能行！我一定行！我一定行！ impossible=Im
19、possible 谁也不承认自己是一个笨蛋！谁也不承认自己是一个笨蛋！每天进步一点点，进步就是好学生。v苦不苦，想想红军两万五 ，v累不累，想想雷锋董存瑞 v不要动不动就夸大自己的痛苦或困难v风雨中这点痛算是什么怎样进行数学学习？二、浓厚的的学习兴趣 加强联系，培养兴趣， 准确定位，强化责任。怎样进行数学学习？三、科学的学习方法 正确方法，良好习惯， 循序渐进，持之以恒。1. 1.学会学会预习预习是学好数学的关键是学好数学的关键3.3.记好记好笔记笔记是学好数学的是学好数学的重要重要环节环节2.2.上好课上好课是学好数学的是学好数学的基础基础5.5.做好作业做好作业是学好数学的是学好数学的必要
20、步骤必要步骤4.4.及时复习及时复习是学好数学的是学好数学的保障保障6. 6. 解决疑难解决疑难是学好数学的是学好数学的必经之路必经之路常规学习方法预习的基本方法：预习的基本方法：1.“读读”先将教材粗读一遍，以领会教材大意。先将教材粗读一遍，以领会教材大意。然后根据学科特点，在反复细读，如：数学概念、例然后根据学科特点，在反复细读，如：数学概念、例题等逐条阅读。题等逐条阅读。2.“划划”即划大意、划重点。将一节内容的重点、即划大意、划重点。将一节内容的重点、规律、概念等划下来分别标上记号，以帮助上课听讲规律、概念等划下来分别标上记号，以帮助上课听讲时记忆。时记忆。3.“写写”即将自己的看法或
21、体会写在书边。即将自己的看法或体会写在书边。4.“查查”即自我检查预习的效果。合上书本思考即自我检查预习的效果。合上书本思考刚才看的内容，哪些是一看就懂，哪些是模糊不懂和刚才看的内容，哪些是一看就懂，哪些是模糊不懂和做课后习题，检查预习的效果。做课后习题，检查预习的效果。1. 1.学会学会预习预习是学好数学的关键是学好数学的关键 就是要把全部精力投入到课堂中来，专心听预习中发现的重难点，争取做到五到：既耳到、眼到、心到、口到、手到 。 还要想在老师前面，不断思考：面对这个还要想在老师前面，不断思考：面对这个问题我会怎么想？当老师讲解时，又要思问题我会怎么想？当老师讲解时，又要思考：老师为什么这
22、样想？这里用了什么思考：老师为什么这样想？这里用了什么思想方法？这样做的目的是什么？这个题有想方法？这样做的目的是什么？这个题有没有更好的方法？问题多了，思路自然就没有更好的方法？问题多了，思路自然就开阔了，这就是积极的思考。开阔了，这就是积极的思考。 2. 2.上好课上好课是学好数学的是学好数学的基础基础 学好高中数学,在学习方法上要有所转变和改进.而做好数学笔记无疑是非常有效的环节.善于做数学笔记,是一个学生善于学习的反映.那么,数学笔记究竟该记些什么呢? （1）记内容提纲 老师讲课大多有提纲，并且讲课时老师会将一堂课的线索脉络、重点难点等,简明清晰地呈现在黑板上,同时,教师会使之富有条理
23、性和直观性.记下这些内容提纲,便于课后复习回顾,整体把握知识框架,对所学知识做到胸有成竹,清晰完整 。3.记好笔记是学好数学的记好笔记是学好数学的重要重要环节环节（2）记疑难问题 将课堂上未听懂的问题及时记下来，便于课后请教同学或老师，把问题弄懂弄通。教师在组织课堂教学时,受到时空的限制,不可能做到顾及每一位同学.相应的,一些问题对部分学生来说,是属于疑难问题,由于课堂上来不及思考成熟,记下疑难问题,可在课后继续加以思考和探究,加以理解和掌握,不致出现知识的断层、方法的缺陷. 3.记好笔记是学好数学的记好笔记是学好数学的重要重要环节环节（4）记归纳总结 注意记下老师的课后总结，这对于浓缩一堂课
24、的内容，找出重点及各部分之间的联系，掌握基本概念、公式、定理，寻找规律，融会贯通课堂内容都很有作用。同时,很多有经验的老师在课后小结时,一方面是承上归纳所学内容,另一方面又是启下布置预习任务或点明后面所要学的内容,做好笔记可以把握学习的主动权,提前作准备,做到目标任务明确.3.记好笔记是学好数学的记好笔记是学好数学的重要重要环节环节（5）记体会感悟 解题过程中，关键步骤的来龙去脉、其中蕴含的知识的用法、数学思想以及自己对这些问题的理解与感悟，是记笔记时，最容易忽视的内容。但这是自己对知识与方法的感悟，应是笔记中非常重要的内容，必须记下，同时也便于日后复习，这其实是衡量一个人会不会记笔记的标志
25、。3.记好笔记是学好数学的记好笔记是学好数学的重要重要环节环节（6）记错误反思 学习过程中不可避免地会犯这样或那样的错误,“聪明人不犯或少犯相同的错误”,记下自己所犯的错误,并用红笔醒目地加以标注,以警示自己,同时也应注明错误成因,正确思路及方法,在反思中成熟,在反思中提高.3.记好笔记是学好数学的记好笔记是学好数学的重要重要环节环节 必须用好你的数学笔记必须用好你的数学笔记记下的笔记只停留在纸上，要成为你自己的东西，记下的笔记只停留在纸上，要成为你自己的东西，必须用心去独立体会笔记里的每一个典型例题，每一必须用心去独立体会笔记里的每一个典型例题，每一个经典方法，每一个想法思路，完全理解并且会
26、熟练个经典方法，每一个想法思路，完全理解并且会熟练运用才是根本。千万不要把辛辛苦苦记载的课堂笔记运用才是根本。千万不要把辛辛苦苦记载的课堂笔记弃之不用。弃之不用。 及时复习是高效率学习的重要一环，及时复习是高效率学习的重要一环，通过通过回忆老师讲课内容，反复阅读教材，反复阅读教材，多方查阅有关资料，强化对基本概念知识多方查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关的旧知识联系起来，进行分析比较，一关的旧知识联系起来，进行分析比较，一边复习一边将复习成果整理在笔记上，才边复习一边将复习成果整理在笔记上，才能使所学的新知识由能使所学的新
27、知识由“懂懂”到到“会会”。4. 4.及时复习及时复习是学好数学的是学好数学的保障保障(1)做好单元小结 单元小结内容一般包括以下部分，（1）构建本单元（章）的知识网络；使知识系统化，便于记忆（2）归纳本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）；（3）整理典型题：即把本章的典型例题、自己做错的典型题、错因及正确答案整理下来。 (2)(2)建立数学纠错本。建立数学纠错本。 把平时容易出现错误的知识或推理记把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再载下来，以防再 犯。争取做到：找错、犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确
28、东西；能由果朔因把错手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。解答问题完整、推理严密。 先复习后作业；先复习后作业；独立作业、限时完成；独立作业、限时完成；千万不要抄袭作业千万不要抄袭作业！5. 5.做好作业是学好数学的做好作业是学好数学的必要步骤必要步骤 对上课听不明白的地方，或课下独立完成作业过程中暴露出来的问题,（ 例如，对知识理解的错误，或由于思维受阻解答不出来），通过同学间相互探讨或老师点拨把疑难问题彻底解决掉，但解决疑难一定要有锲而不舍的精神，把请教老师和问同学获得的东西消化变成自己的知识。 6.
29、6. 解决疑难解决疑难是学好数学的是学好数学的必经之路必经之路学好数学其实很简单一、你只要记住一些重要的一、你只要记住一些重要的概念、公式、定理就行了概念、公式、定理就行了 。 实质是抓好基础实质是抓好基础学习数学概念，要善于抓住它的本质属性，也就是区别于这个概念和其他概念的属性；学习定理公式，要紧紧抓住定理方向的内在联系，抓住定理公式适用的范围（什么时候用？用来干什么？怎么用？）及题型，做到得心应手地应用这些定理公式，数学解题实际上是在熟练掌握概念与定理公式的基础上解决矛盾，完成从“未知”向“已知”的转化。要着重学习各种转化方式，培养转化的能力。v总而言之，在学习数学基础知识中，要注意把握知
30、识的整体精髓， 悟其中的规律和实质，形成一个紧密联系的整体认识体系，以促进各种形式间的相互迁移和转化。同时，还要注意知识形成过程知识形成过程无处不隐含着人们在教学活动中解决问无处不隐含着人们在教学活动中解决问题的途径、手段和策略，无处不以数学题的途径、手段和策略，无处不以数学思想、方法为指南，思想、方法为指南，而这也是我们学习知识时最希望要学到的东西。v数学思想方法是知识、技能转化为能力的桥粱，是数学结构中强有力的支柱，在中学数学课本里渗透了函数的思想，方程的思想，数形结合的思想，逻辑划分的思想，等价转化的思想，类比归纳的思想，介绍了配方法、消元法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等，在
31、学好数学知识的同时，要下大力气理解这些思想和方法的原理和依据，并通过大量的练习，掌握掌握运用这些思想和方法解决数学问题的步骤运用这些思想和方法解决数学问题的步骤和技巧和技巧。 数学不是听会的，数学不是看会的，数学不是听会的，数学不是看会的，数学是数学是做会做会的！的！ 学好数学其实很简单在具体做题的时候要注意题目所给的条件有什么作用，怎么样引申到答案，简称：“前推推，后推推前推推，后推推”。换句话说，就是搞清楚“我有什么和我要我有什么和我要什么什么”。其中，条件告诉我们“我有什么”，而结论告诉我们“我要什么”。怎样解题首先是精选题目，做到少而精 数学是应用性很强的学科，学习数学就是学习解题。搞
32、题海战术的方式、方法固然是不对的，但离开解题来学习数学同样也是错误的。其中的关键在于对待题目的态度和处理解题的方式上。其次是分析题目最后，题目总结 对于一道完成的题目，有以下几个方面需要总结:在方法方面：如何入手的，用到了哪些解题方法、技巧，自己是否能够熟练掌握和应用。在知识方面，题目中涉及哪些概念、定理、公式等基础知识，在解题过程中是如何应用这些知识的。能不能把解题过程概括、归纳成几个步骤（比如用数学归纳法证明题目就有很明显的三个步骤）。能不能归纳出题目的类型，进而掌握这类题目的解题通法。步步骤骤怎怎 样样 解解 题题? ?模式识别1要求解（证）的问题是什么？它是哪种类型的问题？ 2已知条件
33、（数据、图形、事项及其与结论部分的联系方式）是什么？要求的结论（未知事项）是什么？3所给图形和式子有什么特点？能否用一个图形（几何的、函数的、示意的）或数学式子（对文字题）将问题表示出来？能否在图上加上适当的记号？4有什么隐含条件？联想化归1这个题以前见过吗？在哪里见过？以前做过吗？见过类似的问题吗？当时是怎样想的？2题中的一部分（条件，或结论，或式子，或图形）以前见过吗？在什么问题中见过？3题中所给出的式子，图形与记忆中的什么式子，图形相似？它们之间可能有什么联系？4解这类问题通常有哪几种方法？可能哪种方法较简便？试一试如何？联想化归5由已知条件能推得哪些可知的事项和条件？推出求知结论需要知
34、道哪些条件（需知）？6与这个问题有关的知识（基本概念、定 理、公式等）有哪些？7能否将题中复杂的式子简化？能否对条件进行划分，将大问题化为几个小问题？8能否将问题化归为基本命题？能否进行变量替换？恒等变换或几何变换？能否将形式变得较为明显一些？联想化归9能否数形互化，利用几何方法来解代数问题，利用代数（解析）方法来解几何问题？10利用命题等价性（如逆否命题律）或其它方法，可否将问题转化为熟悉的等价问题？11对你的解题计划进行通盘考虑：比较各种解法的优点；预见解题中的困难（如计算量的大小），选择你最熟悉的解法！规范解题1每一步骤是否充分(或等价)?2你能否清楚看出这一步是正确的?你能否证明这一步是正确的?3尚未成功不等于彻底失败,你能找出没有成功的原因吗?检验反思1检验运算是否正确？2检验解题步骤是否必要？3你的解题方法能否进行有长远意义的推广？4适当改变条件或结论,你能证明它吗?听了激动，听了激动，看了感动，看了感动，坐着乱动，坐着乱动，下去不动？下去不动？
