1、数学期望的引例数学期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expectation例如例如：某：某7人的高数成绩为人的高数成绩为90，85，85，80，80， 75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为9085 280 275607 1221190858075607777779.3以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 数学期望数学期望E(X)1 12 2( ) kkkkkE Xpxp xp xp x () 1,2,kkP XxpkMathematical ExpectationMathematical Expectation定义定义 设
2、离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为 u 离散型随机变量离散型随机变量kkkp x 若级数绝对收敛， 则称此级数为若级数绝对收敛， 则称此级数为随机变量随机变量X的数学期望，记作的数学期望，记作E（X），即），即 XP41/451/261/4数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的分布律的分布律：1 1223 3 ) (E Xp xp xp x例例 求数学期望求数学期望E（X） 解解 111()4565424E X 连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望E(X)E(X)() ( )E Xx f x dxu连续型随机变量连续型随机变量定义定义设连续型随
3、机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为 f (x), 则则( ) 若广义积分绝对收敛, 则称此积分为 若广义积分绝对收敛, 则称此积分为的数学期望的数学期望xf x dxX 即即 数学期望的计算数学期望的计算已知随机变量已知随机变量X的密度函数为的密度函数为例例 211( )101xf xxx()( )E Xxf x dx求数学期望。求数学期望。 解解 1121110010 xdxxdxxdxx 数学期望的意义 试验次数较大时，试验次数较大时，X的观测值的算术平均值的观测值的算术平均值 在在E(X)附近摆动附近摆动x()xE X数学期望又可以称为数学期望又可以称为期望值期望值(Exp
4、ected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了随机变量反映了随机变量X取值的取值的“概率平均概率平均”,是是X的的可能值以其相应概率的加权平均。可能值以其相应概率的加权平均。二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)(X,Y)为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量(, )( (),( )E X YE XE Y.()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p.( )jjjjjijjjjiE Yy P Yyy py p() ( ) ( ,),XE Xx fx dxx f x y dxdy ( ) ( ) ( ,).YE
5、Yy fy dyy f x y dxdy(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量为二维连续型随机变量设设(X,Y)(X,Y)的联合密度为的联合密度为例例0,1,1,3( , )0kxyxyf x y 其它其它(1) 求求k(2) 求求X和和Y的边缘密度的边缘密度(3) 求求E(X), E(Y).14212kk 12k ( )( , )Xfxf x y dy 31122xydyx 20,1( )0Xxxfx 其它其它( , )1f x y dxdy (1)由由解解3110kydyxdx 所以所以所以所以得得1 11 13 30,1x (2)(2)( )( , )Yfyf x y dx 10112
6、4xydxy 1,3( )40其它yyyfy ()( )XE Xxfx dx （）（）()( )YE Yyfy dy 10223xxdx 311346yydy 1,3y 1131 11 13 3()( ,)E Xxf x y dxdy （）另解（）另解10223xxdx 311346yydy 130112dxxxydy ()( ,)E Yyf x y dxdy 311012dyyxydx 无需求无需求边缘分布密度函数边缘分布密度函数 随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望定理定理 1：一维情形：一维情形()Yg X 是随机变量是随机变量 X的函数的函数,1( ) ()()kkkE Y
7、E g Xg xp , 1,2,kkP Xxpk( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( )f x概率密度为概率密度为X服从服从2 , 0sinYX已知已知上的均匀分布，求上的均匀分布，求的数学期望。的数学期望。 ( )sinsin E YEXx fx dx 1,0220,xf x；其它。 2 01sinsin02EXxdx因为因为所以所以例例 解解随机变量的函数的数学期望随机变量的函数的数学期望 (,)(,)ijijijE g X Yg xyp 定理定理 2：二维情形：二维情形1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X
8、Yg x y f x y dxdy ( , )f x y联合概率密度为联合概率密度为(,)Zg X Y 是随机变量是随机变量 X， Y的函数的函数, 离散型离散型 1 15 5)( , )E XYxyf x y dxdy 例例 设相互独立的随机变量设相互独立的随机变量X X，Y Y的密度函数分别为的密度函数分别为 12 , (01)( )0, xxf x其它(5)2, (5)( ) 0, yeyfy其它求求E（XY）解解 12( )( )xyf x fy dxdy 1(5)052ydxxyx edy12(5)052yx dxyedy4数学期望的性质数学期望的性质,X Y相互独立时相互独立时u
9、当随机变量当随机变量 ()() ( )E XYE X E Y( )E CCu .C C 为常数为常数 ()()E CXCE Xu .()()( )E XYE XE Yu .设（设（X,YX,Y）在由）在由4 4个点（个点（0 0，0 0）（）（3 3，0 0），（），（3 3，2),2),(0,2)(0,2)决定的矩形域内服从均匀分布，求决定的矩形域内服从均匀分布，求E(X+Y),E(XE(X+Y),E(X2 2) )E(YE(Y2 2),E(XY).),E(XY).3 30 02 26面积答案：答案：25(); ()3;2E XYE X243(); ()32E YE XY0-1分布的数学期望
10、分布的数学期望X服从服从0-1分布分布，其概率分布为，其概率分布为P(X=1)=pP(X=0)=1- pXP0 11-p p若若X 服从参数为服从参数为 p 的的0-1分布，分布， 则则E(X) = p()0 (1)1E Xppp 分布律分布律数学期望数学期望If XB( n, p ), then E(X)= np(1)kknknP XkCpp 二项分布的数学期望二项分布的数学期望分布律分布律X X服从服从二项分布，二项分布，其概率分布为其概率分布为数学期望数学期望n二项分布可表示为二项分布可表示为个分布的和个分布的和1niiXX0, 1iAiXAi在第 次试验中不发生， 在第 次试验中发生1
11、1()()()nniiiiE XEXE Xnp 其中其中 则则 泊松分布的数学期望泊松分布的数学期望If , then ( )XP()E X()!kP Xkek分布律分布律数学期望数学期望101()!(1)!kkkkE Xkeekk(1)kt 0!ttee et1()0axbfxba 其其 它它均匀分布的期望均匀分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望 ()2( )baxxf x dxdxE Xbbaa X N (，2）正态分布的期望正态分布的期望分布密度分布密度222)(21)(xexf数学期望数学期望22()2()12xxedxE X221()2ttedtxt0( )00 xexfxx指
12、数分布的期望指数分布的期望分布密度分布密度数学期望数学期望0()xxf x dExx edxX 00 01|xxxxeedxe 1数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每1010个人一组，把这个人一组，把这1010个人的血液样本混合起来进行化验。如果个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则结果为阴性，则1010个人只需化验个人只需化验1 1次；若结果为阳性，则需对次；若结果为阳性，则需
13、对1010个人在逐个化验，总计化验个人在逐个化验，总计化验1111次。假定人群中这种病的患病次。假定人群中这种病的患病率是率是10%10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的设随机抽取的10人组所需的化验次数为人组所需的化验次数为X我们需要计算我们需要计算X的数学期望，然后与的数学期望，然后与10比较比较 化验次数化验次数X的可能取值为的可能取值为1，11先求出化验次数先求出化验次数X的分布律。的分布律。(X
14、=1)=“10人都是阴性人都是阴性”（X=11)=“至少至少1人阳性人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于逐一化验法的次数分组化验法的次数少于逐一化验法的次数注意求注意求 X期望值的期望值的步骤！步骤！10101(1 0.1)0.9P X 10111 0.9P X 1010() 0.91 (1 0.9 ) 117.51310E X 1、概率、概率p对是否分组的影响对是否分组的影响问题的进一步讨论问题的进一步讨论若若p=0.2，则，则当当p0.2057时，时，E(X)10() 0.91 (1 0.9 ) 11 10nnE X 1010() 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2
15、、概率、概率p对每组人数对每组人数n的影响的影响 21.86n 当当p=0.2时，可得出时，可得出n10.32，才能保证，才能保证EX10.当当p=0.1时，为使时，为使 精品课件精品课件！精品课件精品课件！例例 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为为p p1 1和和p p2 2. .证明：产生故障的仪器数目的数学期望为证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p p1 1 + + p p2 2设产生故障的仪器数目为设产生故障的仪器数目为X X则则X X的所有可能取值为的所有可能取值为0 0，1 1解解12(0)(1- )(1- )P Xpp1212(1) (1- ) (1- ) P Xpppp12(2) P Xp p121212() (1- ) (1- ) 2 E Xppppp p12 pp所以所以
