1、第12章 维纳过程和伊藤引理-1u随机过程随机过程u种类种类离散时间、连续时间离散时间、连续时间离散变量、连续变量离散变量、连续变量王清生王清生江西财经大学江西财经大学金融统计学院金融统计学院第12章 维纳过程和伊藤引理-2u本章讨论对象本章讨论对象股票价格连续变量、连续时间的随机过程股票价格连续变量、连续时间的随机过程u观察到的股票价格观察到的股票价格u衍生产品定价核心：伊藤引理衍生产品定价核心：伊藤引理12.1 马尔科夫性质-1u马尔科夫性质马尔科夫性质未来仅仅跟未来仅仅跟当前有关当前有关，跟历史无关，跟历史无关u市场效率市场效率弱型有效：市场竞争弱型有效：市场竞争u马尔科夫过程马尔科夫过
2、程12.2 连续时间随机变量-1u连续时间随机变量连续时间随机变量:马尔科夫性质马尔科夫性质u变量的变化：变量的变化：时间段：时间段：独立正态分布：独立正态分布：期望、方差期望、方差可加性可加性12.2.1 维纳过程-1u维纳过程维纳过程/布朗运动性质布朗运动性质时间段时间段 的变化量：的变化量： 服从服从不同时间段，变化量分布相互独立：马尔科夫性质不同时间段，变化量分布相互独立：马尔科夫性质变化量分布：变化量分布：12.2.1 维纳过程-2u较长时间段的变化量：较长时间段的变化量：12.2.1 维纳过程-312.2.1 维纳过程-4u普通微积分：普通微积分：u随机微积分：随机微积分：12.2
3、.1 维纳过程-512.2.1 维纳过程-612.2.1 维纳过程-712.2.2 广义维纳过程-1u漂移率：单位时间、变量变化的期望值漂移率：单位时间、变量变化的期望值u方差率：单位时间、变量变化的方差方差率：单位时间、变量变化的方差u广义维纳过程：广义维纳过程：a和和b是常数是常数12.2.2 广义维纳过程-2u特例：特例：b=012.2.2 广义维纳过程-3ub的解释：变量运动路径上的噪音的解释：变量运动路径上的噪音/波动率波动率u短时间段短时间段 ：12.2.2 广义维纳过程-4u任意时间段任意时间段 T ：P185例例12-212.2.2 广义维纳过程-512.2.3 伊藤过程-1u
4、伊藤过程：伊藤过程：u短时间段短时间段 ：一定假设下的近似：一定假设下的近似12. 3 描述股票价格的过程-1u股票价格的一个关键特性：股票价格的一个关键特性：投资者对股票的预期百分比回报与股价独立投资者对股票的预期百分比回报与股价独立u波动率为波动率为0的模型的模型12. 3 描述股票价格的过程-2u描述股票价格行为的模型描述股票价格行为的模型u波动率波动率u二叉树模型随时间步长趋于零时的极限二叉树模型随时间步长趋于零时的极限12.3.1 离散时间模型-1u几何布朗运动离散时间模型几何布朗运动离散时间模型u举例：举例：P187例例12-312.3.2 蒙特卡罗模拟-1u随机过程蒙特卡罗模拟：
5、随机抽样随机过程蒙特卡罗模拟：随机抽样u举例：举例：P187uExcel操作指令：操作指令：u注意：注意：步长步长独立抽样独立抽样12.3.2 蒙特卡罗模拟-212.4 参数-1u：每年连续复利计量的预期收益：每年连续复利计量的预期收益利率水平利率水平与股票相关衍生产品价格无关与股票相关衍生产品价格无关u：对股票相关衍生产品价格至关重要：对股票相关衍生产品价格至关重要一般介于一般介于0.15-0.60近似理解为股票近似理解为股票1年价格百分比变化的标准差年价格百分比变化的标准差12.5 伊藤引理-1u任意衍生产品的价格都是衍生产品标的随机任意衍生产品的价格都是衍生产品标的随机变量和时间的函数变
6、量和时间的函数u随机变量函数的动态模型对衍生产品定价至随机变量函数的动态模型对衍生产品定价至关重要关重要u伊藤引理：由随机变量动态模型推导随机变伊藤引理：由随机变量动态模型推导随机变量函数的动态模型量函数的动态模型12.5 伊藤引理-2u随机变量随机变量x服从伊藤过程服从伊藤过程uG G是是x和时间和时间t t的函数的函数12.5 伊藤引理-3u应用于几何布朗运动应用于几何布朗运动12.5 伊藤引理-4u应用于远期合约应用于远期合约12.6 对数正态分布的性质-112.6 对数正态分布的性质-2u一个随机变量的对数服从正态分布，那么该一个随机变量的对数服从正态分布，那么该随机变量服从对数正态分布随机变量服从对数正态分布
