1、第一课时第一课时复习回顾复习回顾: 我们研究了直线和圆的方程我们研究了直线和圆的方程.1.经过点经过点P(0,b)和斜率为和斜率为k的直线的直线L的方程的方程为为_2.在直角坐标系中在直角坐标系中,平分第一、三象限的平分第一、三象限的直线方程是直线方程是_3.圆心为圆心为C(a,b) ,半径为半径为r的圆的圆C的方程的方程为为_.复习回顾复习回顾:x-y=0 我们研究了直线和圆的方程我们研究了直线和圆的方程.1.经过点经过点P(0,b)和斜率为和斜率为k的直线的直线L的方程的方程为为_2.在直角坐标系中在直角坐标系中,平分第一、三象限的平分第一、三象限的直线方程是直线方程是_3.圆心为圆心为C
2、(a,b) ,半径为半径为r的圆的圆C的方程的方程为为_.yk xb222()()xaybr点的横坐标与纵坐标相等点的横坐标与纵坐标相等x=y（或x- y=0）第一、三象限角平分线第一、三象限角平分线l含有关系含有关系：lx-y=0 xy0（1）l上点的坐标都是方程上点的坐标都是方程x-y=0的解的解（2）以方程以方程x-y=0的解为坐标的点都的解为坐标的点都在在 上上l曲线曲线条件条件方程方程坐标系中坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是平分第一、三象限的直线方程是x-y=0思考思考? ?0,0lxyxyl说直线 的方程是又说方程的直线是圆心为圆心为C(a,b) ,半径为半径为r的圆的圆C的
3、方程为的方程为:222()()xaybr 思考思考? ?xy.C（1）圆）圆C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 的解的解;222()()xaybr （2）方程）方程 的解为坐标的点都在圆的解为坐标的点都在圆C上。上。222()()xaybr 定义定义: :1.曲线的方程曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00 xy 一般地一般地,在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C(看看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点
4、上的点与一个二元方程与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的实数解建立了如下的关系的关系:说明说明: :2.“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解” 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”由曲线的方程的定义可知由曲线的方程的定义可知:如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x,y)=0，那么点，那么点P0(x0 ,y0)在曲线在曲线C 上的上的 充要条件充要条件 是是f(x0, y0)=0 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外说曲线上
5、所有的点都符合这个条件而毫无例外.阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.(1)过点过点A（3，0）且垂直于）且垂直于x轴的直线的方程轴的直线的方程为为x=3(2)到到x轴距离等于轴距离等于1的点组成的直线方程为的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方的点的轨迹方程为程为xy=1 (4) ABC的顶点的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为为BC中点，则中线中点，则中线AD的方程的方程x=0例例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方
6、程是的点的轨迹方程是xy=k.例例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的轨迹方程是的点的轨迹方程是xy=k.00000000(1)(,),(,)M xyMxyyxxykxyxyk 证明： 如图，设是轨迹上的任意一点，因为点与 轴的距离为与 轴的距离为所以即是方程的解。1111111(2)( ,),Mx yxykx ykxyk 设点的坐标是方程的解，即即11111,xyMMkM而正是点到纵轴、横轴的距离，因此点到两条直线的距离的积是常数点是曲线上的点。(1),(2)(0)xykk k 由可知，是与两条坐标轴的距离。的积为常数的点的轨迹方程。 第一步，
7、设第一步，设 M (M (x0 0, ,y0 0) )是曲线是曲线C C上任一点，上任一点，证明证明( (x0 0, ,y0 0) )是是f( (x, ,y)=0)=0的解；的解；归纳归纳: : 证明已知曲线的方程的方法和步骤证明已知曲线的方程的方法和步骤 第二步，设第二步，设( (x0 0, ,y0 0) )是是 f( (x, ,y)=0)=0的解，证明的解，证明点点 M (M (x0 0, ,y0 0) )在曲线在曲线C上上. .第二课时第二课时 (2)曲线曲线C是顶点在原点的抛物线其方程是顶点在原点的抛物线其方程为为x+ =0; (3)曲线曲线C是是, 象限内到象限内到x轴，轴，y轴的距
8、轴的距离乘积为离乘积为1的点集其方程为的点集其方程为y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y1|x1|x (2)曲线曲线C是顶点在原点的抛物线其方程是顶点在原点的抛物线其方程为为x+ =0; (3)曲线曲线C是是, 象限内到象限内到x轴，轴，y轴的距轴的距离乘积为离乘积为1的点集其方程为的点集其方程为y= 。10 xy-110 xy-11-2210 xy-11-221y1|x1|x不是不是不是不是是是练习练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？一个？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11
9、OXY-1-111OXY-1ABCD练习练习2:下述方程表示的图形分别是下图下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？中的哪一个？ - =0 xy|x|-|y|=0 x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD练习练习3:若命题若命题“曲线曲线C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的是正确的,则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )A.方程方程f(x,y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C B.坐标满足坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C上上C.方程方程f(x,y)=0的曲线是曲线的曲线是曲线C的一部分或是曲的一
10、部分或是曲线线C D.曲线曲线C是方程是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全的曲线的一部分或是全部部练习练习3:若命题若命题“曲线曲线C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的是正确的,则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )A.方程方程f(x,y)=0 所表示的曲线是所表示的曲线是C B.坐标满足坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线的点都在曲线C上上C.方程方程f(x,y)=0的曲线是曲线的曲线是曲线C的一部分或是曲的一部分或是曲线线C D.曲线曲线C是方程是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全的曲线的一部分或是全部部D练习练习4:设圆设圆M的方程
11、为的方程为 ,直线直线l的方程为的方程为x+y-3=0, 点点P的坐标为的坐标为(2,1),那么那么( )2) 2() 3(22yxA.点点P在直线上，但不在圆上在直线上，但不在圆上 B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直线上；C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上 D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上练习练习5:已知方程已知方程 的曲线经过的曲线经过点点 ,则则 m =_, n =_.0422nymx) 1 , 2(),2, 1 (BAC练习练习4:设圆设圆M的方程为的方程为 ,直线直线l的方程为的方程为x+y-3=0, 点点P的坐标为的坐标为(2
12、,1),那么那么( )2) 2() 3(22yxA.点点P在直线上，但不在圆上在直线上，但不在圆上 B.点点P在圆上，但不在直线上；在圆上，但不在直线上；C.点点P既在圆上，也在直线上既在圆上，也在直线上 D.点点P既不在圆上，也不在直线上既不在圆上，也不在直线上练习练习5:已知方程已知方程 的曲线经过的曲线经过点点 ,则则 m =_, n =_.0422nymx) 1 , 2(),2, 1 (BA45451.“曲线曲线C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解的解”是是“方程方程f（x，y）=0是曲线是曲线C的的方程方程”的（的（ ）条件）条件A，充分非必要，充分非必要
13、B，必要非充分，必要非充分C，充要，充要 D，既非充分也非必要，既非充分也非必要2.ABC的顶点坐标分别是的顶点坐标分别是A（-4，-3），），B（2，-1），），C（5,7），则），则AB边上的中线的边上的中线的方程为方程为 。1.“曲线曲线C上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解的解”是是“方程方程f（x，y）=0是曲线是曲线C的的方程方程”的（的（ ）条件）条件A，充分非必要，充分非必要 B，必要非充分，必要非充分C，充要，充要 D，既非充分也非必要，既非充分也非必要2.ABC的顶点坐标分别是的顶点坐标分别是A（-4，-3），），B（2，-1），），C（5,7），则
14、），则AB边上的中线的边上的中线的方程为方程为 。C320( 15)xyx 练习：练习：(1) 设设A(2,0)、B(0,2)， 能否说能否说线段线段AB的方程为的方程为x+y-2=0? (2) 方程方程x2-y2=0表示的图形是表示的图形是_ 上一节，我们已经建立了曲线的方程上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的方程的曲线的概念曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程）所满足的方
15、程f(x,y)=0表示曲线，通过表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一这一节，我们就来学习这一方法节，我们就来学习这一方法.M点, )x y坐标(按某中规律运动C曲线, x y的制约条件( , )0f x y 方程几何意义代数意义“数形结合数形结合” ” 数学思想的数学思想的基础基础例例1.设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段求线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程. | |PMMAMB2222(1)(1)(3)(7)xyxy.由两点间的距离公式，点由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：所适合条件可表
16、示为：将上式两边平方，整理得：将上式两边平方，整理得： x+2y7=0解解:设设M(x,y)是线段是线段AB的垂直平分线上任意一点的垂直平分线上任意一点,也就是点也就是点M属于集合：属于集合：例例1.设设A、B两点的坐标是两点的坐标是(1,1)，(3,7)，求线段求线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.例例2.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的的上方，它上面的每一点到每一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建建立适当的坐标系，求这条曲线的方程立适当的坐标系
17、，求这条曲线的方程.例例2.已知一条直线已知一条直线l和它上方的一个点和它上方的一个点A，点，点A到到l的距离是的距离是2,一条曲线也在一条曲线也在l的上方，它上面的的上方，它上面的每一点到每一点到A的距离减去到的距离减去到l的距离的差都是的距离的差都是2,建建立适当的坐标系，求这条曲线的方程立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线取直线l为为x轴轴,过点过点A且垂直于直线且垂直于直线l的直线为的直线为y轴轴,建立坐标系建立坐标系xOy,解：解：2MAMB22(0)(2)2xyy218yx21(0)8yxx因为曲线在因为曲线在x轴的上方，所以轴的上方，所以y0, 所以曲线的方程是所以曲线的方程
18、是 设点设点M(x,y)是曲线上任意一点，是曲线上任意一点，MBx轴，垂足是轴，垂足是B，第三课时第三课时解解:练习练习1.22yx yx 的的2.B3.这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .B3.这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .4.到到F(2，0)和和y轴的距离相等的动点的轨迹方轴的距离相等的动点的轨迹方程是程是_4.到到F(2，0)和和y轴的距离相等的动点的轨迹方轴的距离相等的动点的轨迹方程是程是_| |x x| |y y2 2x x2 22 2化简得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程. .3 3y yx x| |A AD D| |2 22 2化简得化简得 :x2+y2=9 (y0)这就是所求的轨迹方程这就是所求的轨迹方程.解解:取取B、C所在直线为所在直线为x轴，线段轴，线段BC的中垂线的中垂线为为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系.例、已知例、已知ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点第三个顶点C在曲线在曲线y=3x2-1上移动上移动,求求ABC的重心的轨迹的重心的轨迹方程方程.,( 5,0),(5,0),(0),ABCA BAC BCm mC练习1、已知的两个顶点的坐标分别是且所在直线的斜率之积等于试探求顶点 的轨迹方程。2225xy22(3)48xy
