1、1.1引例引例例1 集合 上所有一一变换.引入记号:1,2,3A 123456123123123,123132321123123123,213231312例2 保持平面上正不变的保距变换. 123456,G , 具有乘法运算(映射复合),满足性质: 对于乘法来说是闭的: 对于 ；G, a bGabG结合律成立： ,对于 ；()()a bcab c, ,a b cG 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元；GeeaaGae对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的左逆元.GaG1a1a ae1aa例例3 保持 中多项式 不变的变换.1
2、234 ,F x x x x1234fx xx x1.2群的第一定义及例子群的第一定义及例子 群的定义群的定义I我们说，一个不空集合对于 一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:GIII 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为左单 位元；GeeaaGae 对于乘法来说是闭的: 对于 ；G, a bGabG结合律成立： ,对于 ；()()a bcab c, ,a b cG 对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的左逆元.GaG1a1a ae1aa注注1 群群 与运算联系在一起.G例例4. (平凡群) 只包含一个元 乘法是 对于这个乘法来说
3、作成一个群GggggG例例5. 在数集中,关于熟习的运算,发现一些群的正反面的例子 .nU 例例6 在矩阵集合中发现一些群的正反面的例子.例例7 向量空间是一个加法群例例8 (重新定义的运算) 在 上定义运算 判断判断 关于给定的运算是否构成群.Z ZZ Z1abab注注2 群群定义中, I和II 是验算, III和IV 需要找元素.注注3 III和IV有逻辑先后.作业作业: 判断下列是否构成群判断下列是否构成群(1) 在 Z Z2ababQababa b上定义运算(2) 在在上定义运算上定义运算 1.3 群的第二定义群的第二定义引理引理1 一个左逆元一定也是一个右逆元, 这句话的意思是：1a
4、 ae1aae证明证明 有元 有左逆元 ，使得一方面, 但另一方面, 所以 G1aa1aae11111()()()()aaaae aaea aaa111111()()()()aaaaaa a aa eaaae1aae引理引理2 一个左单位元一定也是一个右单位元这就是说：eaaaea 1()aea a aa证明证明: 群的定义群的定义II我们说，一个不空集合 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:G 对于乘法来说是闭的: 对于 ；G, a bGabG结合律成立： ,对于 ；()()a bcab c, ,a b cGIII 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为右
5、单 位元；GeGaeaea对于 的每一个元 ，在 里存在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的右逆元.GaG1a1aa1aae证明证明:(1)定义I 证明定义II, 已经完成(2)定义II证明定义I, 需要类似的二步(作业)1.4群的第三定义群的第三定义 群的定义群的定义III我们说，一个不空集合 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:G 对于乘法来说是闭的: 对于 ；G, a bGabG结合律成立： ,对于 ；()()a bcab c, ,a b cGIII 里至少存在一个 ，能让 对于 的任何元 都成立, 这样的 称为右单 位元；GeGaeeaaea对于 的每一个元 ，在 里存
6、在一个元,记 为 ，能让 这样的 称为 的逆元.GaG1a1aa11a aaae1.5 群的第四定义群的第四定义 群的定义群的定义IV我们说，一个不空集合 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:G 对于这个乘法来说是闭的；G结合律成立： ,对于 ；()()a bcab c, ,a b cGV对于 的任意两个元 ， 来说，方程和 都在里有解Gabaxbyab证明证明 定义定义III 定义定义IV 定义定义I 定义定义III(1)定义定义III 定义定义IV, 容易(2)定义定义IV 定义定义I III. 需要证明：需要证明： 里至少存在一个元 ，叫做 的 一个左单位元，能让对于 的任何
7、元 都成立对于一个固定的元 ，在 里有解我们任意取一个解 ，叫它作： （）GGeeGeaabybbGeebb我们要证明这个 就是左单位元，即：对于 的任意元 ，成立 有解 ： （）由（），（）这样，我们证明了 的存在eGaeaabxacbca()()eae bceb cbcaeG 对于 的每一个元 ，在 里至少存在一个 元 ，叫做 的一个左逆元，能让成立这里 是一个固定的左单位元 由V， 可解(3) 定义定义I 定义定义III ，已经完成。，已经完成。aG1aa1a aeeyae1.6 几个进一步的概念几个进一步的概念以下我们还要说明几个名词和符号一个群 的元素的个数可以有限也可以无限我们规定
8、G定义1一个群叫做有限群有限群，假如这个群的元的个数是一个有限数不然的话，这个群叫做无限无限群群一个有限群的元的个数叫做这个群的阶群的阶在一个群里结合律是对的，所以有意义，是 的某一个元这样，我们当然可以把 个相同的元来相乘因为我们用普通乘法的符号 来表示群的乘法，这样得来的一个元我们也用普通符号来表示： 是正整数并且也把它叫做 的 次乘方（简称 次方）12na aaGnna.nnaa aa 次nann在一般的群里交换律未必成立但在特别的群里交换律是可以成立的，比方说我们以上三个例子里的群就都有这个性质定义定义2一个群叫做交换群交换群，假如 对于 的任何两个元 ， 都成立abbaGab作业: p35: 3
