1、 4.1 4.1 功率谱密度功率谱密度 先简单复习一下确定时间函数的频谱、能谱密度及先简单复习一下确定时间函数的频谱、能谱密度及能量的概念能量的概念 设信号设信号s(t)为时间为时间t的非周期实函数，满足如下条件：的非周期实函数，满足如下条件：1） ，即，即s(t)绝对可积；绝对可积；2）s(t)在在 内只有有限个第一类间断点和有限个极内只有有限个第一类间断点和有限个极值点，那么，值点，那么，s(t)的傅立叶变换存在，为的傅立叶变换存在，为dtts )(),(dtetsStj)()(deStstj)(21)(又称为频谱密度，也简称为频谱。又称为频谱密度，也简称为频谱。信号信号s(t)可以用频谱
2、表示为可以用频谱表示为能谱密度能谱密度信号信号s(t)的总能量为的总能量为dttsE)(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。即的能量等于频域内信号的能量。即dSdttsE22)(21)(其中，其中， 称为称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。的能量谱密度（能谱密度）。 2)(S能谱密度存在的条件是总能量有限，所以能谱密度存在的条件是总能量有限，所以s(t)也称也称为有限能量信号。为有限能量信号。 dtts)(2随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有随机信号的能量一
3、般是无限的，但是其平均功率是有限的。因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。限的。因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。 首先我们把随机过程首先我们把随机过程X(t)的样本函数的样本函数x(t)，任意，任意截取一段，长度为截取一段，长度为2T，并记为，并记为xT(t) TtTttxtxT, 0),()(x xT T(t(t）的付里叶变换是存在的，有）的付里叶变换是存在的，有 dtetxdtetxXTTtjTtjTT)()()(deXtxtjTT)(21)(注意到注意到x xT T(t)(t)和和X XT T()()实际都是实验结果实际都是实验结果的随机函数，的随机函数，因此它们最好分别写成因
4、此它们最好分别写成X XT T(t,)(t,)和和X XT T(,).(,).样本函数的平均功率为：样本函数的平均功率为：)8 . 1 . 4(),(21lim21),(2121lim),(),(2121lim),(21),(21lim),(21lim222dXTdXTddtetxXTdtdeXtxTdttxTWTTTTTTtjTTTTTtjTTTTTTTT功率信号的帕塞功率信号的帕塞瓦尔定理瓦尔定理dXTdttxTWTTTTT22),(21lim21),(21lim被积函数被积函数 代表了随机过程的某一个样代表了随机过程的某一个样本函数本函数x(t,)x(t,)在单位频带内、消耗在在单位频带
5、内、消耗在11电阻上的电阻上的平均功率，称为样本函数的功率谱密度函数，记作平均功率，称为样本函数的功率谱密度函数，记作Gx(Gx(，)。 2),(21limTTXT2),(21lim),(TTXXTG随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度 如果我们对所有的如果我们对所有的(实验结果实验结果) )取统计平均，得取统计平均，得)10. 1 . 4(),(21lim),(21lim),()(22TTTTXXXETXTEGEGGx()被称为随机过程被称为随机过程X(t)的的功率谱密度函数功率谱密度函数，简称，简称功率谱密度。它的物理意义非常明显：表示随机过功率谱密度。它的物理意义非常明显：表示随机过
6、程程X(t)在单位频带内在在单位频带内在1电阻上消耗的平均功率。电阻上消耗的平均功率。功率谱密度是从频率角度描述随机过程功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计的统计特性的最主要的数字特征。特性的最主要的数字特征。 功率谱密度功率谱密度如果我们对所有的如果我们对所有的(实验结果实验结果) )取统计平均，得取统计平均，得随机过程随机过程X(t)的平均功率为：的平均功率为：dGdttXETWEWXTTT)(21)(21lim2由此可见，随机过程的平均功率可以由它的均方值由此可见，随机过程的平均功率可以由它的均方值的时间平均得到，也可以由它的功率谱密度在整个的时间平均得到，也可以由它的功率谱
7、密度在整个频率域上积分得到。频率域上积分得到。若若X(t)为平稳过程时，此时均方值为常数，为平稳过程时，此时均方值为常数， dGRtXEWXX)(21)0()(2若若X(t)X(t)为各态历经过程，功率谱可由一个样本函数为各态历经过程，功率谱可由一个样本函数得到：得到： 2),(21lim)(TTXXTG功率谱密度是从频域角度描述随机过程功率谱密度是从频域角度描述随机过程X(t)的统计的统计特性的重要数字特征。但它仅表示特性的重要数字特征。但它仅表示X(t)的平均功率在的平均功率在频域上的分布，不包含任何相位信息。频域上的分布，不包含任何相位信息。 应用：应用：1、不解体的故障判断：如汽车发动
8、机震动信、不解体的故障判断：如汽车发动机震动信号功率谱判断排气阀门间隙大小号功率谱判断排气阀门间隙大小2、医学信号特征提取：脑电波、医学信号特征提取：脑电波平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即变换对，即维纳辛钦定理：维纳辛钦定理：deSRdeRSjXXjXX)(21)()()(它成立的条件是它成立的条件是 绝对可积，即绝对可积，即)()(XXRS和dSdRXX)()(维纳辛钦定理维纳辛钦定理根据功率谱密度的定义：根据功率谱密度的定义： TTttjXTTTTTttjTTTTTTTtjTTTtjTTTTTTTXXdtdtettRTd
9、tdtetXtXETdtetxdtetxTEXXTEXTEGEG21)(2121)(21221*2121221),(21lim)()(21lim),(),(21lim),(),(21lim),(21lim),()(TTttjXTTTXdtdtettRTG21)(2112),(21lim)(在上式中作积分变量替换在上式中作积分变量替换 ： 221211,dtdttttdtdttt则上式变为：则上式变为：TTjXtTtTTXddtettRTG),(21lim)(将极限符号写入，则得：将极限符号写入，则得：TTjXTXdedtttRTG),(21lim)(大括号下的量可以看是非平稳过程自相关函数的时
10、间平均大括号下的量可以看是非平稳过程自相关函数的时间平均TTXXdtttRTR),(21)(即：即：deRGjXX)()(维纳辛钦定理维纳辛钦定理deRGjXX)()(即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对。即时间平均自相关函数与功率谱密度为付里叶变换对。 若若X X（t t）为平稳过程，则时间平均自相关函数等于）为平稳过程，则时间平均自相关函数等于集合平均自相关函数：集合平均自相关函数： )()(XXRRdeRGjXX)()(可见，平稳过程的功率谱密度就是其自相关函数的付可见，平稳过程的功率谱密度就是其自相关函数的付里叶变换。若进行付氏反变换，则有里叶变换。若进行付氏反变换，则有de
11、GRjX)(21)(维纳辛钦定理维纳辛钦定理deSRdeRSjXXjXX)(21)()()(它成立的条件是它成立的条件是 绝对可积，即绝对可积，即)()(XXRS和dSdRXX)()(当当 时，可得时，可得0dStXERXX)(21)()0(2可知，可知， 是平稳随机过程是平稳随机过程X(t)的平均功率。的平均功率。)()0(2tXERX 即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成分或周期性成分 维纳辛钦定理维纳辛钦定理若我们借助于若我们借助于-函数，函数， 维纳维纳-辛钦公式就可推广应用辛钦公式就可推广应用到这种含有直流或周期性成分的平稳过
12、程中来。到这种含有直流或周期性成分的平稳过程中来。 (1)如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原常意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原点处的点处的-函数表示。该函数表示。该-函数的权重即为直流分量的函数的权重即为直流分量的功率。功率。 (2)(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成分就在频域的相应频率上产生该成分就在频域的相应频率上产生-函数。函数。典型函数的付氏变换关系典型函数的付氏变换关系表表4.1时域时域 频域频域222022020
13、22000)2()2(sin , 01,1)()( cos2 )( 2/)2/sin(2)()( cos)(2 11 )(其他aaaaeaaerectttttaa例题例例 若随机过程若随机过程X X（t t）的自相关函数为）的自相关函数为)411 (41)(2eRX求功率谱密度求功率谱密度解：解：22222441)(2 )2(4161)(2 )411 (41)(deeGjX例题例例 若随机过程若随机过程X X（t t）的自相关函数为）的自相关函数为)cos1 (21)(0XR求功率谱密度求功率谱密度解：解：)()(2)( )()(21)(221 )cos1 (21)(00000deGjX物理谱
14、密度物理谱密度由于平稳随机过程的自相关函数由于平稳随机过程的自相关函数R RX X()()是是的偶函数，的偶函数，则则Gx() Gx() 为：为：dRGXXcos)(2)(0所以功率谱是实、偶函数，且非负所以功率谱是实、偶函数，且非负 Gx() Gx()应分布在应分布在-到到的频率范围内，而实际的频率范围内，而实际上负频率上负频率( (即即o)00，又由于要求平均功率有限，所以一般，又由于要求平均功率有限，所以一般必须满足必须满足mnmn此外，分母应该无实数根。此外，分母应该无实数根。例：例：下例函数是否是功率谱密度的合理表达式，说下例函数是否是功率谱密度的合理表达式，说明理由。明理由。 22
15、)1 (1)(1)2cos(2性质性质5 5：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理谱密度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理函数形式的功率谱密度来逼近。根据谱密度的上述性函数形式的功率谱密度来逼近。根据谱密度的上述性质质1 1、2 2、3 3，它应具有如下形式，它应具有如下形式 例例4.5 4.5 已知平稳过程已知平稳过程X(t)X(t)具有如下功率谱密度具有如下功率谱密度231)(242XG求相关函数求相关函数RX()及平均功率及平均功率W。 解解: dedeRjjX212123121)(2242利用
16、留数定理或公式利用留数定理或公式 求得：求得：221)0(221)(2RWeRX222 aaea 4 44 4 互谱密度及其性质互谱密度及其性质一、互密度谱一、互密度谱类似于功率谱密度的定义，定义实过程类似于功率谱密度的定义，定义实过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)的互谱密度函数为的互谱密度函数为TYXETYXEGTTTTTTXY2),(),(lim2),(),(lim)(*TXYETXYEGTTTTTTYX2),(),(lim2),(),(lim)(* 二、互谱密度的性质二、互谱密度的性质性质性质1： )()()()(*XYYXYXXYGGGG性质性质2 2：ReGReGXYXY()(
17、)和和ReGReGYXYX()()是是的偶函数；的偶函数； ImGXY()和和ImGYX()是是的奇函数。的奇函数。 )(Re)(Re)(Re)(ReYXYXXYXYGGGG)(Im)(Im)(Im)(ImYXYXXYXYGGGG性质性质3 3：若平稳过程：若平稳过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)相互正交，则有相互正交，则有 0)(XYG0)(YXG互谱密度的性质互谱密度的性质性质性质4 4：若随机过程：若随机过程X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)联合平稳，联合平稳，R RXYXY()()绝对可积，则互谱密度和互相关函数构成付里叶变绝对可积，则互谱密度和互相关函数构成付里叶变换时，即换
18、时，即deRGjXYXY)()(deRGjYXYX)()(deGRjXYXY)(21)(deGRjYXYX)(21)(互谱密度的性质互谱密度的性质性质性质5 5：若：若X(t)X(t)和和Y(t)Y(t)是两个不相关的平稳过程，分是两个不相关的平稳过程，分别有均值别有均值m mX X和和m mY Y，则，则 )(2)()(YXYXXYmmGG)(Rmm )()()()()(YXYXtYEtXEtYtXERXY将上式作付氏变换即可。将上式作付氏变换即可。性质性质6：互谱密度的幅度平方满足：互谱密度的幅度平方满足：)()()(2YXXYGGG三、相干函数三、相干函数定义一个定义一个X(t)X(t)
19、和和Y(t)Y(t)的相干函数，即的相干函数，即2/1)()()()(YXXYXYGGG容易证明，当容易证明，当X（t）=Y（t），），XY()=1, 一般情况，一般情况，0XY()1。 4 45 5 白噪声与白序列白噪声与白序列 一、白噪声一、白噪声 1 白噪声的定义及特性白噪声的定义及特性 广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。广义地说，称这些使信号产生失真的误差源为噪声。来自外部的噪声也称为干扰。在理论上，噪声是无法来自外部的噪声也称为干扰。在理论上，噪声是无法预测的。如果能够很好地掌握它的规律，就能降低它预测的。如果能够很好地掌握它的规律，就能降低它对有用信号的影响。对有用信号
20、的影响。信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，信息在传输过程中，不可避免地要受到各种干扰，使信号产生误差。使信号产生误差。 信息传输处理时，信道或设备不理想造成信息传输处理时，信道或设备不理想造成误差的来源误差的来源信号传输处理过程中串入了其它信号信号传输处理过程中串入了其它信号噪声的分类：噪声的分类：（1）从噪声与电子系统的关系来看：）从噪声与电子系统的关系来看：内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。内部噪声：系统本身的元器件及电路产生的。外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。外部噪声：包括电子系统之外的所有噪声。（2）根据噪声的分布：）根据噪声的分布：高斯噪声：具有高斯分布的噪声。
21、高斯噪声：具有高斯分布的噪声。均匀噪声：具有均匀分布的噪声。均匀噪声：具有均匀分布的噪声。（3）从功率谱的角度来看：）从功率谱的角度来看：白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，白噪声：如果一个随机过程的功率谱为常数，无论是什么分布，都称它为白噪声。无论是什么分布，都称它为白噪声。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。色噪声：功率谱中各种频率分量的大小不同。 白噪声定义白噪声定义一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上为非零常数，即数，即2)(0NSN的平稳过程的平稳过程N(t)，称为白噪声过程，简称为白噪声。，称为白噪声过程，简称为白噪声。 利用
22、傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：)(2)(0NRN白噪声的相关系数：白噪声的相关系数： )0(0)0(1)0(2)(2)0()()()(00222NNmRmRCNNNNNNN 上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这不管这两个时刻多么邻近两个时刻多么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化极快，而过程的功率谱极宽。随时间的起伏变化极快，而过程的功率谱极宽。 2 2白序列白序列(RND(RND伪随机序列伪随机序列) )与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。与连续的
23、白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。 设随机序列设随机序列Zn，它的自相关函数满足，它的自相关函数满足 0, 00,)(2kkkRZZ或 )()(2kkRZZ式中式中(k)(k)为单位冲激序列，其定义为为单位冲激序列，其定义为0, 00, 1)(kkk白序列功率谱白序列功率谱 ,)(2ZZG 白序列可以由白噪声等间隔抽样得到，但更为方便白序列可以由白噪声等间隔抽样得到，但更为方便的办法是由一个计算机软件，由函数来产生。如直接的办法是由一个计算机软件，由函数来产生。如直接调用调用Matlab 函数函数rand,randnrand,randn 高斯分布白噪声序列，则有两种方法可用，一是上高斯分布
24、白噪声序列，则有两种方法可用，一是上章介绍的用章介绍的用N=12个均匀分布随机数之和来逼近，另一个均匀分布随机数之和来逼近，另一种方法则是用变换的方法。种方法则是用变换的方法。 mXXYmXXY)2sin(ln2)2cos(ln2212211Y1,Y2为相互独立的高斯分布的随机数为相互独立的高斯分布的随机数N(m, 2)。3 3、带限白噪声、带限白噪声 若平稳过程若平稳过程N(t)在有限频带上的功率谱密度为常数，在有限频带上的功率谱密度为常数，在频带之外为零，则称在频带之外为零，则称N(t)为理想带限白噪声。为理想带限白噪声。（1 1）低通白噪声）低通白噪声 若白噪声的功率谱在若白噪声的功率谱
25、在 内不为零，而在其外内不为零，而在其外为零，且分布均匀，其表达式为为零，且分布均匀，其表达式为 其它,0,)(WSN称这类白噪声为低通白噪声称这类白噪声为低通白噪声 则其自相关函数为：则其自相关函数为：)sin()(WRN可得低通白噪声的平均功率为：可得低通白噪声的平均功率为：WRN)0( （2）带通白噪声）带通白噪声如果如果N(t)的功率谱密度集中在的功率谱密度集中在 为中心的频带内，则称为中心的频带内，则称N(t)是带通限带白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为是带通限带白噪声，或称为带通白噪声，其功率谱为0其它,022,)(00WSN它的自相关函数为：它的自相关函数为：0cos2)2si
26、n()(WRN带通白噪声的平均功率为：带通白噪声的平均功率为：WRN)0(有色噪声有色噪声按功率谱密度函数形式来区别随机过程，把除了按功率谱密度函数形式来区别随机过程，把除了白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声，或简称为白噪声以外的所有噪声都称为有色噪声，或简称为色噪声。色噪声。4 47 7 复随机过程的功率谱密度复随机过程的功率谱密度 若过程若过程Z(t)Z(t)是平稳的，复过程是平稳的，复过程Z(t)Z(t)的功率谱密度的功率谱密度 deRGjZZ)()(由付里叶反变换可得由付里叶反变换可得 deGRjZZ)(21)( 若复过程若复过程Z Zi i(t)(t)和和Z Zk k(t)(t)联合
27、平稳，则根据式联合平稳，则根据式(4.4.16)(4.4.16)，复过程复过程Z Zi i(t)(t)和和Z Zk k(t)(t)的互谱密度为的互谱密度为deRGjZZZZkikk)()(4 48 8 功率谱密度的计算举例功率谱密度的计算举例 计算功率谱的方法：计算功率谱的方法：方法方法1：先求：先求RX() ,由维纳辛钦定理将由维纳辛钦定理将RX()作付氏变换即可作付氏变换即可方法方法2：直接使用：直接使用GX()的定义的定义dtetxXTTtjTT),(),() 1 (2),(21lim)()2(TTXXETG方法方法3： 利用已有的一些结果利用已有的一些结果如果让你求一个平稳随机过程的功
28、率谱密度，你能如果让你求一个平稳随机过程的功率谱密度，你能想到几种方法？想到几种方法？例例4.84.8平稳过程平稳过程X(t)为)cos()(0tbatX式中，式中，a,b,a,b,0 0为常数，为常数，是在是在(0(0，2 2丌丌) )上均匀上均匀分布的随机变量。求分布的随机变量。求X(t)X(t)的功率谱密度。的功率谱密度。解：方法解：方法102200200200cos2 )(cos()cos( ) )(cos()cos( )(cos()(cos( )()()(battbtabtabaEtbatbaEtXtXERX)()(2)(2 )()(0022badeRGjXX功率谱密度的计算功率谱密
29、度的计算例例4 49 9求随机求随机调调幅脉冲序列的功率谱幅脉冲序列的功率谱 假设所有脉冲具有同样的形状，但它们的幅度是随假设所有脉冲具有同样的形状，但它们的幅度是随机变量，且各个脉冲相互独立。此外，各幅度变量有机变量，且各个脉冲相互独立。此外，各幅度变量有同样的均值同样的均值mA和方差和方差A2，脉冲重复周期是常数，脉冲重复周期是常数t1,t0是在周期是在周期1t1上均匀分布的随机变量。求得上均匀分布的随机变量。求得X(t)的功的功率谱密度率谱密度Gx()为：为： nAAXtntmtSG)2()(2)()(1212122式中式中S()是基本脉冲波形是基本脉冲波形S(t)的付氏变换。的付氏变换
30、。 随机随机调调幅脉冲序列的功率谱幅脉冲序列的功率谱nAAXtntmtSG)2()(2)()(1212122 (1) (1) Gx()由由连续谱和离散谱组成，连续谱的幅连续谱和离散谱组成，连续谱的幅度与度与函数的面积均与函数的面积均与|S()|S() | | 2 2成正比。成正比。 (2)(2)如果如果m mA A=0,=0,则尽管脉冲是周期性的，也将不出则尽管脉冲是周期性的，也将不出现离散谱。现离散谱。 (3)(3)如果如果A2 =0 =0，即为等幅脉冲串，则没有连续，即为等幅脉冲串，则没有连续谱。谱。可以得到以下结论：可以得到以下结论： 例例4.10 4.10 考虑一个二元通信系统，其信息
31、通过一个脉考虑一个二元通信系统，其信息通过一个脉冲序列的极性编码来传送，其波形如图冲序列的极性编码来传送，其波形如图4.184.18所示。这所示。这种二元信号的特点是：所有脉冲有同样的幅度种二元信号的特点是：所有脉冲有同样的幅度a a，极性，极性或正或负等概率发生，脉间统计独立。求此二元信号或正或负等概率发生，脉间统计独立。求此二元信号X(t)X(t)的功率谱密度的功率谱密度Gx()Gx()。解解 : : 由 于 等 幅 且 两 种 极 性 等 概 率 发 生 ， 故 有由 于 等 幅 且 两 种 极 性 等 概 率 发 生 ， 故 有A A2 2=a=a2 2,m,mA A=0=0。 由式由
32、式(4.8.3)得：得： 122)()(tSGAX若已知若已知 2/, 02/, 1)(11ttttts则有则有 22sin)(1112211tttdeSttj2111222sin)(tttaGX4 49 9 随机过程的高阶统计量简介随机过程的高阶统计量简介 高阶统计量也称高阶累积量，它和高阶矩相联高阶统计量也称高阶累积量，它和高阶矩相联系。高阶累积量对高斯过程是系。高阶累积量对高斯过程是“盲盲”的，而相关的，而相关函数不是，所以采用高阶累积量可自然的消除加函数不是，所以采用高阶累积量可自然的消除加性高斯噪声的影响。性高斯噪声的影响。 另外，二阶统计量丢失了随机信号重要的相位另外，二阶统计量丢
33、失了随机信号重要的相位信息，而高阶统计量含有幅度和相位信息，这也信息，而高阶统计量含有幅度和相位信息，这也是高阶统计量一个诱人之处。是高阶统计量一个诱人之处。1 1、随机变量的矩及累积量、随机变量的矩及累积量随机变量随机变量X的的n阶原点矩定义为阶原点矩定义为, 2 , 1nXEmnnn阶中心矩定义为：阶中心矩定义为：, 2 , 1)(nXEXEnn随机变量随机变量X的的特征函数：特征函数：dxxpeeEjuCjuxjuX)()(随机变量的矩和随机变量的矩和特征函数的关系特征函数的关系随机变量随机变量X的的n阶原点矩和特征函数的关系：阶原点矩和特征函数的关系：0)()()(unXnnnduuC
34、djXE将将特征函数特征函数取对数，定义为累量生成函数（第二取对数，定义为累量生成函数（第二特特征函数）：征函数）：)(ln)(uCu 定义定义0)()()()()0()(ukXkkkkkduudjjc为随机变量为随机变量X的的k阶累积量阶累积量随机变量的矩和随机变量的矩和特征函数的关系特征函数的关系)()()(41431321212211mxEcmxEcmxEmmcxEmc累积量的物理意义：累积量的物理意义： 一阶累积量是随机变量的均值，大致描述了概一阶累积量是随机变量的均值，大致描述了概率分布的中心；二阶累积量是随机变量的方差，描率分布的中心；二阶累积量是随机变量的方差，描述了概率分布的离
35、散程度；而三阶累积量是三阶中述了概率分布的离散程度；而三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性。四阶累积量可心矩，描述了概率分布的非对称性。四阶累积量可以描述了概率分布的峰态。以描述了概率分布的峰态。累积量的物理意义累积量的物理意义累积量的物理意义累积量的物理意义三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性三阶累积量是三阶中心矩，描述了概率分布的非对称性)(313mxEc称称33csx为偏态系数或简称偏态为偏态系数或简称偏态正态随机变量正态随机变量g的偏态的偏态sg=0累积量的物理意义累积量的物理意义四阶累积量四阶累积量设随机变量为设随机变量为0均值，则均值，则22443mmc记记
36、 为峰态为峰态344mx 显然正态分布的峰态为显然正态分布的峰态为0，比正态分布曲线尖，比正态分布曲线尖锐的分布曲线有正的峰态，比正态分布曲线平坦锐的分布曲线有正的峰态，比正态分布曲线平坦的分布曲线有负的峰态。的分布曲线有负的峰态。随机变量的累积量随机变量的累积量对于高斯随机变量：对于高斯随机变量：)3(0,221kccmck 为偶数为奇数而nnnnXEnnn,!)!1() 1(531, 0类似由多维随机变量的多维特征函数取对数可类似由多维随机变量的多维特征函数取对数可得相应的第二得相应的第二特征函数，由特征函数，由第二第二特征函数可定特征函数可定义各阶累积量：义各阶累积量：0.2121.21
37、21| .()(kkvvvkkkkxxxvvvvvvjc多维随机变量的累积量多维随机变量的累积量对于零均值实随机变量对于零均值实随机变量X1，X2，X3，X4，其相应的，其相应的二阶、三阶，四阶累量分别定义为：二阶、三阶，四阶累量分别定义为： ),(,),(,),(324142314321432143213213212121XXEXXEXXEXXEXXEXXEXXXXEXXXXCumXXXEXXXCumXXEXXCum随机过程的累积量随机过程的累积量对于零均值随机过程对于零均值随机过程X(t)，其相应的二，三、，其相应的二，三、 四阶累量四阶累量分别定义为：分别定义为： )()()()()()
38、()()()()(),(),()()(),(),()()(21, 23, 213, 22, 232, 21, 2321321, 42121, 3, 2XXXXXXXXXCumCumCumCumCumCumtXtXtXtXECumtXtXtXECumtXtXECum多谱多谱二阶累量的付里叶变换为功率谱密度，三阶以上累量的付二阶累量的付里叶变换为功率谱密度，三阶以上累量的付里叶变换称为多谱密度。对于里叶变换称为多谱密度。对于K K阶累量有阶累量有121121121,1,)(exp),()( KKKXKKXKdddjCumS显然显然K=2时为功率谱密度时为功率谱密度GX()， K=3时称时称S3,X
39、()为双为双谱谱(Bispectrum)，S4,X()为三谱为三谱(Trispectrum)等。等。 小结小结1、随机过程、随机过程X(t)的的功率谱密度函数功率谱密度函数22),(21lim),(21lim),()(TTTTXXXETXTEGEG平稳随机过程平稳随机过程X(t)的平均功率为：的平均功率为：dGRtXEWXX)(21)0()(2小结小结2、维纳辛钦定理、维纳辛钦定理 平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对傅立叶变换对deSRdeRSjXXjXX)(21)()()(小结小结3 3、功率谱密度的性质、功率谱密度的性质G GX X()()是实、偶、是实、偶、非负的非负的函数函数有理谱密度有理谱密度0222220222220)(bbaaGGmmmnnnX 式中式中G G。00，一般必须满足，一般必须满足mnmn，此外，分，此外，分母应该无实数根母应该无实数根 含有直流或周期性成分的平稳过程其功含有直流或周期性成分的平稳过程其功率谱可引入率谱可引入-函数。函数。互谱密度及其性质互谱密度及其性质小结小结4 4、白噪声与白序列、白噪声与白序列5 5、功率谱估值的经典法、功率谱估值的经典法周期图法、周期图法、BTBT法法习习 题题1、4、5、7、12、14、16、24本章小结本章小结
