1、2022年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40分）1（5分）已知全集U0，1，2，3，4，集合A1，2，3，B2，4，则（UB）A为（）A1，3B2，3，4C0，1，2，3D0，2，3，42（5分）已知复数z=i+i2+i3+i20191+i，z是z的共轭复数，则zz=（）A0B12C1D23（5分）从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是（）A154B127C118D2274（5分）已知函数f(x)=3sin(2x+6)，则下列说法正确的是（）A图象关于点(6，0)对称B图象关于点(3，0)对称C图象关于直线x=6对称D图象关于直线x
2、=3对称5（5分）矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体ABCD的体积的最大值为（）A43B125C245D56（5分）已知实数a，b满足如下两个条件：（1）关于x的方程3x22xab0有两个异号的实根；（2）2a+1b=1，若对于上述的一切实数a，b，不等式a+2bm2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（4，2）B（2，4）C（，42，+）D（，24，+）7（5分）等差数列an中，若a21，a613，则公差d（）A3B6C7D108（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）Ayx+sinxByexCylnxDy|x|二、多选题（本大题共4小题，共2
3、0分）（多选）9（5分）已知双曲线C1：x2a12-y2b12=1（a10，b10）的一条渐近线的方程为y=3x，且过点（1，32），椭圆C2：x2a2+y2b2=1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A（1，y1），则下列说法中正确的有（）A双曲线C1的离心率为2B双曲线C1的实轴长为12C点B的横坐标的取值范围为（2，1）D点B的横坐标的取值范围为（3，1）（多选）10（5分）甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，以下说法正确的是（）A甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数B甲同学的平均分比乙同
4、学的平均分高C甲同学的平均分比乙同学的平均分低D甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差（多选）11（5分）已知F是抛物线C：y2x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）A若|AF|=54，则AOF的面积为18B若BB垂直C的准线于点B，且|BB|2|OF|，则四边形OFBB周长为3+54C若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1D若OAOB=-14，则直线AB恒过定点(12，0)（多选）12（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A圆柱的侧面积为4R2B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球的表面积相等D球的体积是圆锥体积的两倍
5、三、单空题（本大题共7小题，共20分）13（5分）写出一个最小正周期为1的偶函数f（x） 14（5分）如图所示的数阵中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则以此规律A（8，2）为 15（5分）已知函数f（x）sinxxcosx，若存在x（0，），使得f（x）x成立，则实数的取值范围是 16（5分）在ABC中，AB+AC=2AM，|AM|1，点P在AM上且满足AP=2PM，则PA（PB+PC） 17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sinA：sinB：sinCln2：ln4：lnt，且CACB=mc2，有下列结论：2t8；-29m2；t4，aln2时，ABC的面积为15ln22
6、8；当25t8时，ABC为钝角三角线其中正确的是 （填写所有正确结论的编号）18若(2-x3)(x6+1xx)n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 19若数列an的通项公式为an=n-7n，则该数列中的最小项的值为 四、解答题（本大题共6小题，共70分）20某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据（单位：小时）根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0，2，（2，4，（4，6，（6.8，（8.10，（10，12（1）估计该校学生每周平均使用手机上
7、网时间（每组数据以组中值为代表）；（2）估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；（3）将每周使用手机上网时间在（4，12内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在（0，4内的定义为“不长时间使用手机上网”在样本数据中，有25名学生不近视请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的22列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2k0）0.10.050.0100.005k02.7063.8416.6357.
8、87921在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB2ab（1）求C；（2）若ABAC，D是ABC外的一点，且AD2，CD1，则当D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值22已知an是各项均为正数的等比数列，an是等比数列吗？为什么？23如图，在几何体SABCD中，AD平面SCD，BC平面SCD，ADDC2，BC1，又SD2，SDC120（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值24已知右焦点为F的椭圆M：x2a2+y23=1（a3）与直线y=37相交于P，Q两点，且PFQF（1）求椭圆M的方程：（2
9、）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为ABC的重心，试探究ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是说明理由25已知函数f（x）x3+ax24（）若f（x）在x2处取得极值，且关于x的方程f（x）m在1，1上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（）若存在x0（0，+），使得不等式f（x0）0成立，求实数a的取值范围2022年湖北省武汉市武昌区高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、单选题（本大题共8小题，共40分）1（5分）已知全集U0，1，2，3，4，集合A1，2，3，B2，4，则（UB）A为（）A1，3B2，3，4C0，1，2，3D0，2，3，4【解答
10、】解：全集U0，1，2，3，4，集合A1，2，3，B2，4，则UB0，1，3，（UB）A0，1，2，3故选：C2（5分）已知复数z=i+i2+i3+i20191+i，z是z的共轭复数，则zz=（）A0B12C1D2【解答】解：i+i2+i3+i2019=i(1-i2019)1-i=i(1+i)1-i=i(1+i)2(1-i)(1+i)=-1，z=i+i2+i3+i20191+i=-11+i=-1+i2，zz=|z|2=(-12)2+(12)2)2=12，故选：B3（5分）从一副扑克牌（54张）中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是（）A154B127C118D227【解答】解：一副扑克共54张，有
11、4张K，正好为K的概率为454=227，故选：D4（5分）已知函数f(x)=3sin(2x+6)，则下列说法正确的是（）A图象关于点(6，0)对称B图象关于点(3，0)对称C图象关于直线x=6对称D图象关于直线x=3对称【解答】解：令2x+6=2+k，kZ，解得x=6+k2，kZ，所以当k0时，函数的对称轴为x=6，故C正确，D错误；因为f（6）3sin（26+6）3sin2=30所以A错误；f（3）3sin（23+6）3sin56=320，故B错误，故选：C5（5分）矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体ABCD的体积的最大值为（）A43B125C245D5【
12、解答】解：矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC平面ACD时，得到的四面体ABCD的体积取最大值，此时点B到平面ACD的距离d=ABBCAC=4316+9=125，SADC=1243=6，四面体ABCD的体积的最大值为：V=13SADCd=136125=245故选：C6（5分）已知实数a，b满足如下两个条件：（1）关于x的方程3x22xab0有两个异号的实根；（2）2a+1b=1，若对于上述的一切实数a，b，不等式a+2bm2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A（4，2）B（2，4）C（，42，+）D（，24，+）【解答】解：设方程3x22xab0的两个异号
13、的实根分别为x1，x2，则x1x2=-ab30，ab0又2a+1b=1，a0，b0，则a+2b（a+2b）（2a+1b）4+ab+4ba4+2ab4ba=8，当且仅当ab=4ba，即a4，b2时取“”，由不等式a+2bm2+2m恒成立，得m2+2m8，解得：4m2实数m的取值范围是（4，2）故选：A7（5分）等差数列an中，若a21，a613，则公差d（）A3B6C7D10【解答】解：由等差数列的通项公式可得a6a2+4d，代入数据可得131+4d，解得d3故选：A8（5分）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）Ayx+sinxByexCylnxDy|x|【解答】解：对于A，函数yx+sin
14、x的定义域是R，且y1cosx0，y是R上的增函数，满足题意；对于B，函数yex=(1e)x是R上的减函数，不满足题意；对于C，函数ylnx的定义域是（0，+），不满足题意；对于D，函数y|x|=x，x0-x，x0在定义域R上不是单调函数，不满足题意故选：A二、多选题（本大题共4小题，共20分）（多选）9（5分）已知双曲线C1：x2a12-y2b12=1（a10，b10）的一条渐近线的方程为y=3x，且过点（1，32），椭圆C2：x2a2+y2b2=1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A（1，y1），则下列说法中正确的有
15、（）A双曲线C1的离心率为2B双曲线C1的实轴长为12C点B的横坐标的取值范围为（2，1）D点B的横坐标的取值范围为（3，1）【解答】解：双曲线C1：x2a12-y2b12=1（a10，b10）的一条渐近线的方程为y=3x，则可设双曲线C1的方程为x2-y23=，过点（1，32），1-34=，解得=14，双曲线C1的方程为4x2-43y2=1，即x214-y234=1，可知双曲线C1的离心率e=ca=2，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；由14+34=1可知椭圆C2：x2a2+y2b2=1的焦点F1（1，0），F2（1，0），不妨设A（1，y1）（y10），代入x2a2+y2b2=1得1
16、a2+y12b2=1，y1=b2a，直线AB的方程为y=b22a(x+1)，联立y=b22a(x+1)x2a2+y2b2=1，消去y并整理得（a2+3）x2+2（a21）x3a210，根据韦达定理可得1xB=-3a2+1a2+3，可得xB=-3a2+1a2+3=-3+8a2+3，又a21，a2+34，18a2+32，3xB1，故选项C错误，选项D正确，故选：AD（多选）10（5分）甲、乙两名学生的六次数学测验成绩（百分制）的茎叶图如图所示，以下说法正确的是（）A甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数B甲同学的平均分比乙同学的平均分高C甲同学的平均分比乙同学的平均分低D甲同学成绩的方差小于乙同
17、学成绩的方差【解答】解：甲的中位数为：80+822=81，乙的中位数为：87+882=87.5，甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，故A错误；甲的平均数为：16（72+76+80+82+86+90）81，乙的平均分为：16（69+78+87+88+92+96）85，甲同学的平均分比乙同学的平均分低，故B错误，C正确；由茎叶图得甲的成绩比乙的成绩稳定，甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故D正确故选：CD（多选）11（5分）已知F是抛物线C：y2x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（）A若|AF|=54，则AOF的面积为18B若BB垂直C的准线于点B，且|BB|2|OF|
18、，则四边形OFBB周长为3+54C若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1D若OAOB=-14，则直线AB恒过定点(12，0)【解答】解：对于选项A，设A（x1，y1），由焦半径公式得x1+14=54，解得x11，所以y11，从而SAOF=12141=18，选项A正确；对于选项B，由题意知|OF|=14，根据抛物线的定义可知|BF|=|BB|=12设BB与y轴的交点为D，易知|OD|=|BF|=12，|BD|=14，故|OB|=(12)2+(14)2=54，所以四边形OFBB的周长为14+12+12+54=5+54，选项B错误；对于选项C，若直线AB过点F，则当ABx轴时，|AB|最小，且最小
19、值为1，选项C正确；对于选项D，设直线AB：xmy+t，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线方程得y2myt0，则y1y2t，所以x1x2=y12y22=t2，由OAOB=-14可得x1x2+y1y2=-14，即t2-t=-14，解得t=12，故直线AB的方程为x=my+12，即直线AB恒过定点(12，0)，选项D正确故选：ACD（多选）12（5分）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A圆柱的侧面积为4R2B圆锥的侧面积为2R2C圆柱的侧面积与球的表面积相等D球的体积是圆锥体积的两倍【解答】解：对于A，圆柱的底面直径和高都等于
20、2R，所以圆柱的侧面积S圆柱2R2R4R2，选项A正确；对于B，圆锥的底面直径和高等于2R，所以圆锥的侧面积为S圆锥侧RR2+4R2=5R2，选项B错误；对于C，圆柱的侧面积为S圆柱侧2R2R4R2，球的表面积S球=4R2，故圆柱的侧面积与球的表面积相等，选项C正确；对于D，球的体积为V球=43R3，圆锥的体积为V圆锥=13R22R=23R3，所以球的体积是圆锥体积的两倍，选项D正确故选：ACD三、单空题（本大题共7小题，共20分）13（5分）写出一个最小正周期为1的偶函数f（x）cos2x【解答】解：一个最小正周期为1的偶函数f（x）cos2x，故答案为：cos2x14（5分）如图所示的数阵
21、中，用A（m，n）表示第m行的第n个数，则以此规律A（8，2）为1122【解答】解：由题意，观察每一行分母与上一行的关系，发现第6行个分母为28，58，81，81，58，28；第7行分母为36，86，139，162，139，86，36，第8行的分母为21+7+8+945，122，225，301，301，225，122，45，故答案为：112215（5分）已知函数f（x）sinxxcosx，若存在x（0，），使得f（x）x成立，则实数的取值范围是 （，1）【解答】解：f（x）sinxxcosx的导数为f（x）cosx（cosxxsinx）xsinx，因为f（x）x，所以xsinxx当0x时，si
22、nx，当0x时，sinx（0，1，当x=2时，sinx取得最大值1即有1故答案为：（，1）16（5分）在ABC中，AB+AC=2AM，|AM|1，点P在AM上且满足AP=2PM，则PA（PB+PC）-49【解答】解：如下图，根据条件，及向量的加法知道M是BC边的中点，|AP|=23，|PM|=13且PB+PC=2PM，所以PA(PB+PC)=PA(2PM)=-49故答案为：-4917ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sinA：sinB：sinCln2：ln4：lnt，且CACB=mc2，有下列结论：2t8；-29m2；t4，aln2时，ABC的面积为15ln228；当25t8时
23、，ABC为钝角三角线其中正确的是（填写所有正确结论的编号）【解答】解：根据题意，依次分析4个结论：对于，根据题意，若sinA：sinB：sinCln2：ln4：lnt，则a：b：cln2：ln4：lnt，故可设akln2，bkln42kln2，cklnt，k0则有bacb+a，则kln2c3kln2，变形可得2t8，正确；对于，CACB=abcosC=aba2+b2-c22ab=a2+b2-c22=5k2ln22-c22，又CACB=mc2，m=CACBc2=5k2ln22-c22c2=5k2ln222c2-12kln2c3kln2，5k218k2ln225k22c25k22k2ln22，即5
24、185k2ln222c252，变形可得：-29m2；正确；对于，当t4，aln2时，则bln4，clntln4，则有bc2a，此时ABC的面积为15ln224，不正确；对于，当25t8时，此时a：b：cln2：ln4：lnt，则有a2+b2c20，故ABC为钝角三角形综合可得：四个结论中，正确；故答案为：18若(2-x3)(x6+1xx)n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于2【解答】解：在(x6+1xx)n的展开式中，通项公式为 Tr+1=Cnr(x6)n-r(1xx)r=Cnrx6n-152r，令6n-152r=0n=54r，展开式中含有常数项，当r4时，n取最小值为5；令6n-152r
25、=-3，n=5r-24，展开式中含有常数项，当r2时，n取最小值为2；综上可知：n取最小值为2，故答案为：219若数列an的通项公式为an=n-7n，则该数列中的最小项的值为12143【解答】解：an=n-7n=（n-72）2-494，当n12时，有最小值，即最小值为12712=12143，故答案为：12143四、解答题（本大题共6小题，共70分）20某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据（单位：小时）根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：0，2
26、，（2，4，（4，6，（6.8，（8.10，（10，12（1）估计该校学生每周平均使用手机上网时间（每组数据以组中值为代表）；（2）估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；（3）将每周使用手机上网时间在（4，12内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在（0，4内的定义为“不长时间使用手机上网”在样本数据中，有25名学生不近视请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的22列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25附：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b
27、+d)P（K2k0）0.10.050.0100.005k02.7063.8416.6357.879【解答】解：（1）根据频率分布直方图，计算x=10.0252+30.1002+50.1502+70.1252+90.0752+110.02525.8；估计该校学生每周平均使用手机上网时间为5.8小时；（2）由频率分布直方图得12（0.100+0.025）0.75，估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率为0.75；（3）根据题意填写22列联表如下，近视不近视合计长时间使用手机651075不长时间使用手机101525合计7525100由表中数据，计算K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+
28、d)(a+c)(b+d)=100(6515-1010)27525752521.783.841，有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”21在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB2ab（1）求C；（2）若ABAC，D是ABC外的一点，且AD2，CD1，则当D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值【解答】解：（1）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB2ab由正弦定理得：2sinCcosB2sinAsinB，又A（B+C），2sinCcosB2sin（B+C）sinB2sinBcosC+2cos
29、BsinCsinB，2sinBcosCsinB，sinB0，cosC=12，0C，C=3（2）ABAC，BCD=3，ABC是等边三角形，设ACx，D，AD2，CD1，SABC=34x2，SADC=12ADCDsinD=sin，由余弦定理得AC2x21+44cos54cos，SSABC+SADC=34x2+sin=34（54cos）+sin=534+sin-3cos =534+2sin（-3），0，0-323，当sin（-3）1，即=56时，平面四边形ABCD的面积S取最大值Smax=534+222已知an是各项均为正数的等比数列，an是等比数列吗？为什么？【解答】解：an是各项均为正数的等比数
30、列，公比q0an+1an=an+1an=q，an是等比数列，首项为a1，公比为q23如图，在几何体SABCD中，AD平面SCD，BC平面SCD，ADDC2，BC1，又SD2，SDC120（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值【解答】解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系SDC120，SDE30，又SD2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为3则有D（0，0，0），S(-1，3，0)，A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）（4分）（1）设平面SAB的法向量为n
31、=(x，y，z)，AB=(2，0，-1)，AS=(-1，3，-2)则有2x-z=0-x+3y-2z=0，取x=3，得n=(3，5，23)，又SC=(3，-3，0)，设SC与平面SAB所成角为，则sin=|cosSC，n|=2323210=1020，故SC与平面SAB所成角的正弦值为1020（9分）（2）设平面SAD的法向量为m=(x，y，z)，AD=(0，0，-2)，AS=(-1，3，-2)，则有-2z=0-x+3y-2z=0，取x=3，得m=(3，1，0)cosn，m=nm|n|m|=82102=105，故平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是105（14分）24已知右焦点为F的椭圆
32、M：x2a2+y23=1（a3）与直线y=37相交于P，Q两点，且PFQF（1）求椭圆M的方程：（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为ABC的重心，试探究ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是说明理由【解答】解：（1）设F（c，0），P（t，37），Q（t，37），代入椭圆方程可得t2a2+37=1，即t2=47a2且PFQF，可得37t-c37-t-c=-1，即c2t2=-97，由可得c2=47a2-97又a2c23，解得a2，c1，即有椭圆方程为x24+y23=1；（2）设直线AB的方程为ykx+m，代入椭圆方程3x2+4y212，可得（3+4k2）x2+8
33、kmx+4m2120，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=4m2-123+4k2，x1+x2=-8km3+4k2，y1+y2k（x1+x2）+2m=6m3+4k2，由O为ABC的重心，可得OC=-（OA+OB）（8km3+4k2，-6m3+4k2），由C在椭圆上，则有3（8km3+4k2）2+4（-6m3+4k2）212，化简可得4m23+4k2，|AB|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=1+k2(-8km3+4k2)2-44m2-123+4k2=41+k23+4k29+12k2-3m2，C到直线AB的距离d=|kxC+m-yC|1+k2=|3m|1+k2，SABC=12|
34、AB|d=6|m|3+4k29+12k2-3m2=6|m|4m212m2-3m2=92当直线AB的斜率不存在时，|AB|3，d3，SABC=12|AB|d=92综上可得，ABC的面积为定值9225已知函数f（x）x3+ax24（）若f（x）在x2处取得极值，且关于x的方程f（x）m在1，1上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；（）若存在x0（0，+），使得不等式f（x0）0成立，求实数a的取值范围【解答】解：（）f（x）3x2+2ax由题意得f（2）0，解得a3（2分）经检验a3满足条件（3分）f（x）x3+3x24，则f（x）3x2+6x（4分）令f（x）0，则x0，x2（舍去）（5分
35、）当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x1（1，0）0（0，1）1f（x）0+f（x）042（7分）关于x的方程f（x）m在1，1上恰有两个不同的实数根，4m2（8分）（）由题意得，f（x）max0即可f（x）x3+ax24，f（x）3x2+2ax3x（x-23a）若a0，则当x0时，f（x）0，f（x）在（0，+）单调递减f（0）40当x0时，f（x）40当a0时，不存在x0（0，+），使f（x0）0（10分）当a0时f（x），f（x）随x的变化情况如下表：x（0，23a）23a（23a，+）f（x）+0f（x）4a327-4当x（0，+）时，f（x）maxf（23a）=4a327-4由4a327-40得a3（12分）综上得a3另：第2小题可以分离参数，可按步得分第21页（共21页）
