1、2022年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合A1，2，6，B2，4，C1，2，3，4，则（AB）C（）A2B1，2，4C1，2，4，6D1，2，3，4，62（5分）设复数z13i，则z(1-i)=（）A24iB42iC2+4iD4+2i3（5分）设向量a=（m，1），b=（1，m），如果a与b共线且方向相反，则m的值为（）A1B1C2D24（5分）命题p：xR，x2+10，命题q：R，sin2+cos21.5，则下列命题中真命题是（）ApqBpqCpqDp（q）5（5
2、分）已知函数f（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可以是（）Af(x)=ln|x|xBf(x)=exxCf(x)=1x2-1Df(x)=x-1x6（5分）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一天则不同的安排方法有（）A840种B140种C420种D210种7（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行
3、的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为（）A505B507C5011D50198（5分）已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，mn，则nB若m，n且，则mnC若m，n且m，n，则D若直线m、n与平面所成角相等，则mn9（5分）已知直线l：x+y10将圆C：x2+y22x4y+10分为M，N两部分，且M部分的面积小于N部分的面积若在圆C内任取一点，则该点落在M部分的概率为（）A14B14-12C34D34-1210（5分）已知函数f（x）满足f（1+x）+f（1x）0，且f（x）f（x），当1x2时，f（x）2x1，则f（2021）（）A1B0C1
4、D211（5分）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：1.242.07，1.252.49）A83B60C50D4412（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F（c，0），上顶点为A（0，b），直线x=a2c上存在一点P
5、满足(FP+FA)AP=0，则椭圆的离心率取值范围为（）A12，1)B22，1)C5-12，1)D(0，22二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为 14（5分）已知sincos=2（0），则tan的值是 15（5分）某同学在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个载面圆的周长为4，则该球的表面积为 16（5分）关于函数f(x)=3
6、sin(2x-3)，下列结论正确的有 个函数f（x）的图像关于直线x=1112对称；函数f（x）的图像关于点（23，0）对称；函数f（x）在区间（-12，512）内是增函数；函数f（x）的图像是函数y3sin2x的图像向右平移3个单位长度得到的三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知首项为2的数列an满足an+1=2nan+2n+1n+1（1）证明：数列nan2n是等差数列（2）令bnan+n，求数列bn的前n项和Sn18（12分）某科研机构为
7、了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市3名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100mL以上的”为常喝已知在所有的30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为415常喝不常喝合计有糖尿病6无糖尿病18合计30（）请将如表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；（）已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率参考公式及数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.
8、0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CFAB2CE，AB：AD：AA11：2：4，AB1（）证明：AF平面A1ED；（）求二面角A1EDF的余弦值20（12分）已知函数f（x）lnx，g(x)=12x2-6x，h（x）3aex（）设F（x）g（x）+8f（x），求函数F（x）的单调区间；（）设H（x）h（x）f（x）1，当函数H（x）有两个零点时，求实数a的取值范围21（12分）已知曲线C：y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的
9、两条切线，切点分别为A，B（1）证明：直线AB过定点（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程（二）选考题：共10分。考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+32t，y=12t（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos+4sin（）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）直线l与曲线C相交于A，B两点，设点P（1，0），求|PA|+|PB|选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x
10、）|2x+1|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，求实数m的取值范围2022年陕西省西安市周至县高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合A1，2，6，B2，4，C1，2，3，4，则（AB）C（）A2B1，2，4C1，2，4，6D1，2，3，4，6【解答】解：集合A1，2，6，B2，4，C1，2，3，4，（AB）C1，2，4，61，2，3，41，2，4故选：B2（5分）设复数z13i，则z(1-i)=（）A24iB42iC
11、2+4iD4+2i【解答】解：z13i，z的共轭复数是z=1+3i，z(1-i)=（1+3i）（1i）1i+3i3i4+2i故选：D3（5分）设向量a=（m，1），b=（1，m），如果a与b共线且方向相反，则m的值为（）A1B1C2D2【解答】解析：因为向量a与b共线且方向相反，故由共线向量定理可设a=b（0），即m=1=m解得m1，由于0，m1，故选：A4（5分）命题p：xR，x2+10，命题q：R，sin2+cos21.5，则下列命题中真命题是（）ApqBpqCpqDp（q）【解答】解：命题p：由于对已知xR，x20，则x2+110，则命题p：xR，x2+10，为真命题，p为假命题；命题q
12、：由于对R，sin2+cos21，则命题q：R，sin2+cos21.5为假命题，q为真命题则pq、pq、pq为假命题，p（q）为真命题故选：D5（5分）已知函数f（x）的图像如图所示，则f（x）的解析式可以是（）Af(x)=ln|x|xBf(x)=exxCf(x)=1x2-1Df(x)=x-1x【解答】解：根据题意，用排除法分析：对于B，f（x）=exx，当x0时，f（x）=exx0，与图象不符，对于C，f（x）=1x2-1，其定义域为x|x0，有f（x）f（x），为偶函数，与图象不符；对于D，f（x）x-1x，其定义域为x|x0，当x+时，f（x）+，与图象不符；故选：A6（5分）第24届
13、冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕为保证冬奥会顺利进行，组委会需要提前把各项工作安排好现要把甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到七天中服务，若甲去两天，乙去三天丙和丁各去一天则不同的安排方法有（）A840种B140种C420种D210种【解答】解：由已知，甲的安排方法为C72，乙的方法为C53，剩余的两天安排丙丁有A22种方法，故共有C72C53A22=420故选：C7（5分）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的
14、半径的长度为（）A505B507C5011D5019【解答】解：设该扇形的半径为r米，连接CO由题意，得CD150（米），OD100（米），CDO60，在CDO中，CD2+OD22CDODcos60OC2，即，150 2+1002215010012=r2，解得r507（米）故选：B8（5分）已知m、n为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，mn，则nB若m，n且，则mnC若m，n且m，n，则D若直线m、n与平面所成角相等，则mn【解答】解：A如图可否定A；C如图可否定C；D如图可否定D；故选：B9（5分）已知直线l：x+y10将圆C：x2+y22x4y+10分为M
15、，N两部分，且M部分的面积小于N部分的面积若在圆C内任取一点，则该点落在M部分的概率为（）A14B14-12C34D34-12【解答】解：圆C：x2+y22x4y+10，化为标准方程可得（x1）2+（y2）24，所以圆C的圆心C（1，2），半径为r2，直线l：x+y10，点C到直线l的距离为d=22=2，设直线l与圆的两个交点为A，B，故AB=2r2-d2=22，所以ACB90，故SM=14S圆-SACB=-2，则该点落在M部分的概率为SMS圆=-24=14-12故选：B10（5分）已知函数f（x）满足f（1+x）+f（1x）0，且f（x）f（x），当1x2时，f（x）2x1，则f（2021）
16、（）A1B0C1D2【解答】解：f（1+x）+f（1x）0，f（1x）f（1+x），f（x）f（2+x）又f（x）f（x），f（x）f（x+2），即f（x+2）f（x），f（x+4）f（x+2）+2f（x+2）f（x），T4，f（2021）f（1）211故选：C11（5分）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动该企业2021年初有资金500万元，资金年平均增长率可达到20%每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标
17、，每年应扣除的消费资金至多为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：1.242.07，1.252.49）A83B60C50D44【解答】解：设每年应扣除的消费资金为x万元，则1年后投入再生产的资金为：500（1+20%）x，2年后投入再生产的资金为：500（1+20%）x（1+20%）x500（1+20%）2（1+20%）xx，5年后投入再生产的资金为：500（1+20%）5（1+20%）4x（1+20%）3x（1+20%）2x（1+20%）xx800，故125-11.2-1x=500125-800，解得x60故选：B12（5分）已知椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的右焦点为F（c，
18、0），上顶点为A（0，b），直线x=a2c上存在一点P满足(FP+FA)AP=0，则椭圆的离心率取值范围为（）A12，1)B22，1)C5-12，1)D(0，22【解答】解：设P（a2c，y），由(FP+FA)AP=0，则FP+FA=（a2c-c，y）+（c，b）（a2c-2c，y+b），AP=（a2c，yb），所以由(FP+FA)AP=0，可得：（a2c-2c）a2c+（y+b）（yb）0，可得：a4c2-2a2b2y20，整理可得：a42a2c2（a2c2）c20，即e43e2+10，解得：3-52e23+52，即5-12e5+12，由于椭圆的离心率小于1，所以5-12e1，故选：C二、填
19、空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（5分）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0）的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则该双曲线的渐近线方程为 y=43x【解答】解：双曲线C：x2a2-y2b2=1（a0，b0），渐近线方程为y=bax，由双曲线的对称性，不妨设y=bax，焦距为10，右焦点为（5，0），|5b|a2+b2=4，解得b4，渐近线方程为y=43x故答案为：y=43x14（5分）已知sincos=2（0），则tan的值是1【解答】解：sincos=2sin（-4）=2，sin（-4）1，（0，），-4=2，即=34，则tan115（5分）某同学
20、在参加通用技术实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个载面圆的周长为4，则该球的表面积为 64【解答】解：由于球心和正方体的中心重合，截面图如图所示：所以2AC4，解得AC2；BC=1243=23，所以球的半径RAB=22+(23)2=4，故S球=442=64故答案为：6416（5分）关于函数f(x)=3sin(2x-3)，下列结论正确的有 个函数f（x）的图像关于直线x=1112对称；函数f（x）的图像关于点（23，0）对称；函数f（x）在区间（-12，512）内是增函数；函数f（x）
21、的图像是函数y3sin2x的图像向右平移3个单位长度得到的【解答】解：由于当x=1112时，f（x）3sin（21112-3）3sin96=-3，是函数的最值，故函数f（x）的图象关于直线x=1112对称；故正确由于当x=23时，f（x）3sin（223-3）3sin0，故函数f（x）的图像关于点（23，0）对称；故正确；在区间（-12，512）上，2x-3（-2，2），故函数f（x）在区间（-12，512）上是增函数，故正确；把函数y3sin2x的图象向右平移6个单位长度，可得函数f（x）3sin（2x-3）的图象，故错误，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
22、骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）已知首项为2的数列an满足an+1=2nan+2n+1n+1（1）证明：数列nan2n是等差数列（2）令bnan+n，求数列bn的前n项和Sn【解答】（1）证明：依题意，由an+1=2nan+2n+1n+1，可得(n+1)an+12n+1=nan2n+1，1a121=1，数列nan2n是以1为首项，1为公差的等差数列nan2n=1+n1n，an2n，nN*（2）解：由（1）知，bnan+nn+2nSnb1+b2+bn（1+21）+（2+22）+（n+2n）（1+2+
23、n）+（21+22+2n）=n(n+1)2+2-2n+11-2 2n+1+12n2+12n218（12分）某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市3名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“平均每天喝100mL以上的”为常喝已知在所有的30人中随机抽取1人，患糖尿病的概率为415常喝不常喝合计有糖尿病6无糖尿病18合计30（）请将如表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；（）已知常喝酒且有糖尿病的6人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这6人中随机抽取2人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率参考公式及数据：K2=n(ad-
24、bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解答】解：（1）30415=8，故糖尿病患者总计有8名，其中常喝酒的有826名，22列联表如下： 常喝 不常喝 合计 有糖尿病 62 8 无糖尿病 4 18 22 合计 10 2030K2=30(618-24)210208228.5237.898，有99.5%的把握认为糖尿病与喝酒有关（2）由题意可知，常喝酒且有糖尿病的6人中恰有2名老年人，则中年人为4人，现从常喝酒且有糖尿
25、病的这6人中随机抽取2人，故恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率P=C41C21C62=81519（12分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、CC1上的点，CFAB2CE，AB：AD：AA11：2：4，AB1（）证明：AF平面A1ED；（）求二面角A1EDF的余弦值【解答】（I）证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，AB1，则D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，32，0）AF=（1，2，1），ED=（1，12，0），EA1=（1，32，4），FD=（1，0，1）于是AFEA1=-13+40，AFED=-1+10因此，AFEA
26、1，AFED又EA1EDE，AF平面A1ED；（II）解：设平面EFD的法向量n=（x，y，z），则 nFD=-x-z=0nED=-x+12y=0，取z1可得n=（1，2，1），由（1）可知，AF为平面A1ED的一个法向量，于是cosn，AF=nAF=466=23，二面角A1EDF的余弦值为2320（12分）已知函数f（x）lnx，g(x)=12x2-6x，h（x）3aex（）设F（x）g（x）+8f（x），求函数F（x）的单调区间；（）设H（x）h（x）f（x）1，当函数H（x）有两个零点时，求实数a的取值范围【解答】解：（）因为F(x)=g(x)+8f(x)=12x2-6x+8lnx，其定
27、义域为（0，+），所以F(x)=x-6+8x=x2-6x+8x=(x-2)(x-4)x，当x（0，2）（4，+）时,F(x)0；当x（2，4）时,F(x)0，所以函数F（x）的单调递增区间为（0，2）和（4，+）；函数F（x）的单调递减区间为（2，4）（）因为H（x）h（x）f（x）13aexlnx1，所以函数H（x）有两个零点可转化为关于x的方程3aex1nx10有两个实数解，即函数y3a的图象与函数y=lnx+1ex的图象有两个交点令G(x)=lnx+1ex，其定义域为（0，+），则G(x)=1x-lnx-1ex，令G（x）0，解得x1易知当x（0，1）时，G（x）0；当x（1，+）时，G
28、（x）0，所以G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，所以G(x)max=G(1)=1e，又当x+时，G（x）0；当x0时，G（x），所以当函数y3a的图象与函数y=lnx+1ex的图象有两个交点时，03a1e，所以0a13e，所以实数a的取值范围是0，13e21（12分）已知曲线C：y=x22，D为直线y=-12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B（1）证明：直线AB过定点（2）若以E（0，52）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程【解答】（1）证明：设D（t，-12），A（x1，y1），则x12=2y1，由于yx，切线DA的斜率为x1，故
29、y1+12x1-t=x1，整理得：2tx12y1+10设B（x2，y2），同理可得2tx22y2+10故直线AB的方程为2tx2y+10直线AB过定点（0，12）；（2）解：由（1）得直线AB的方程ytx+12由y=tx+12y=x22，可得x22tx10于是x1+x2=2t，y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1设M为线段AB的中点，则M（t，t2+12），由于EMAB，而EM=(t，t2-2)，AB与向量（1，t）平行，t+（t22）t0，解得t0或t1当t0时，|EM|2，所求圆的方程为x2+(y-52)2=4；当t1时，|EM|=2，所求圆的方程为x2+(y-52)2=2（二）选
30、考题：共10分。考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=1+32t，y=12t（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos+4sin（）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（）直线l与曲线C相交于A，B两点，设点P（1，0），求|PA|+|PB|【解答】解：（1）直线l的参数方程为x=1+32t，y=12t（t为参数），消去参数t，可将直线l的参数方程转化为普通方程x-3y-1=0，2cos+4sin，22cos+4sin，又x
31、=cosy=sin，x2+y22x+4y，故曲线C的直角坐标方程为x2+y22x4y0（IIx=1+32t，y=12t（t为参数）代入到曲线C的方程可得，t22t10，则t1+t22，t1t21，P（1，0）在圆内，且在直线l上，|PA|+|PB|t1t2|=(t1+t2)2-4t1t2=22选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x+1|x1|（1）解不等式f（x）2；（2）若不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，求实数m的取值范围【解答】解：（1）f（x）|2x+1|x1|=-x-2，x-123x，-12x1x+2，x1，x-12-x-22或-12x13x2或x1x+22，.（3分）解得：4x-12或-12x23或无解，综上，不等式的解集是（4，23）.（5分）（2）f（x）+|x1|+|2x3|2x+1|+|2x3|2x+1（2x3）|4，当-12x32时等号成立，.（7分）不等式|m1|f（x）+|x1|+|2x3|有解，|m1|f（x）+|x1|+|2x3|min，|m1|4，m14或m14，即m3或m5，实数m的取值范围是（，35，+）（10分）第20页（共20页）
