1、2022年四川省眉山市、广安市、遂宁市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Mx|（x1）（x5）0，Nx|12x3，则MN等于（）Ax|12x1Bx|1x3Cx|1x5Dx|12x52（5分）i是虚数单位，若3+ai=2+bii（a，bR），则a+b等于（）A5B1C1D53（5分）某高中学校学生人数和近视情况分别如图和图所示，为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A32B4
2、5C64D904（5分）函数f（x）x2lnx+1的单调递减区间为（）A（0，2）B（0，e）C（1e，+）D（2，+）5（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A72B64C56D326（5分）设xR，则“2x-1x1”是“x1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7（5分）若（0，2），sin2cos2，则cos2的值为（）A-35B-12C0D358（5分）执行如图所示的程序框图，输出S（）A19B24C26D339（5分）已知A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点和右焦点，P是
3、椭圆上一点，直线AP与直线l：x=a2c相交于点Q，且AFQ是顶角为120的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）A13B12C23D3410（5分）已知函数f（x）e|x|+2x2若af（0.60.7），bf（log213），cf（log45），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcbaCacbDbca11（5分）已知F是抛物线C：y24x的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线准线l1交于点M，若PM=2FP，则|FQ|FP|=（）A3B43C34D1312（5分）已知函数f（x）=xelnx，x15-2x-x2，x1，若函数yf（x）2+（24a）f（x）+1恰有5个零
4、点，则实数a的取值范围是（）A98，4924）B（1，4924）C（1，98D98，+）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知向量a=（1，2），b=（t，3），若a（a+b），则实数t的值为 14（5分）已知实数x，y满足约束条件x-y-202x+y0x+10，则z2xy的最小值为 15（5分）关于函数f（x）sin2x+cos2x，给出下列四个结论：是f（x）的最小正周期；f（x）在0，2的最小值是1；f（x）在0，2上是单调递增函数；x=8是f（x）图象的一条对称轴其中所有正确结论的序号是 16（5分）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同
5、于A，B的任意一点，PA2，三棱锥PABC体积的最大值为83，则当PBC的面积最大时，线段AC的长度为 三、解答题：共70分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。第121题为必考题，毎个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或入户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下22列联表所示：入户登记自主填报合计户主45岁以上200户主45岁及以下240640合计1000（1）将列联表补充完
6、整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？（2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户若从这6户中随机抽取2户进行进一步复核，求所抽取的2户中恰好有1户的户主年龄在45岁以上的概率附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+d18（12分）如图，已知OA10，点B是以O为圆心，5为半径的半圆上一动点（1）当AOB120时，求线段AB的值；（2）若ABC为正三
7、角形，求四边形OACB面积的最大值19（12分）若等比数列an的各项为正，前n项和为Sn，且S26，a38（1）求数列an的通项公式；（2）若anbn是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列bn的前n项和Tn20（12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，且APPDCD2AB23，APDADC60AC交BD于点F，G为PAD的重心（1）求证：GF平面PAB；（2）求三棱锥BGFC的体积21（12分）已知函数f（x）axlnx+x（1）函数f（x）是否存在极小值？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由；（2）若0a1，求证：f（x）exx2+1
8、（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为（02），将射线l绕极点逆时针旋转4后得到射线l1设l与曲线C相交于点A，l1与曲线C交于点B（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若2|OA|2+|OB|2=5|OA|OB|，求的值选修4-5：不等式选讲（10分）23已知函数f（x）|2x4|+|x+1|（1）解不等式f（x）7x；（2）设f（x）的最小值为M，正实数a，
9、b，c满足a+bM，求证：a2+1a+b2b+132022年四川省眉山市、广安市、遂宁市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5分）设集合Mx|（x1）（x5）0，Nx|12x3，则MN等于（）Ax|12x1Bx|1x3Cx|1x5Dx|12x5【解答】解：集合Mx|（x1）（x5）0x|1x5，Nx|12x3，MNx|1x3故选：B2（5分）i是虚数单位，若3+ai=2+bii（a，bR），则a+b等于（）A5B1C1D5【解答】解：若3+ai=2+bii（a，bR），则3+ai=(
10、2+bi)(-i)i(-i)=b2i，则a2且b3，所以a+b2+31，故选：C3（5分）某高中学校学生人数和近视情况分别如图和图所示，为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）A32B45C64D90【解答】解：高一的近视学生人数为：180010%180，高二的近视学生人数为：160020%320，高三的近视学生人数为：150030%450，设抽取的高三学生人数为a，则36180=a450，解得a90故选：D4（5分）函数f（x）x2lnx+1的单调递减区间为（）A（0，2）B（0
11、，e）C（1e，+）D（2，+）【解答】由题可知，函数定义域为（0，+），由f(x)=1-2x0，解得0x2，所以函数单调递减区间为（0，2）故选：A5（5分）如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A72B64C56D32【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为正四棱柱挖去一个正四棱锥，正四棱柱的底面边长为4，高为5，正四棱锥的底面边长为22，高为3该几何体的体积为V=445-1322223=72故选：A6（5分）设xR，则“2x-1x1”是“x1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：2x
12、-1x12x-1x-10x-1x0（x1）x0，x1或x0，x|x1x|x1或x0，2x-1x1是x1的必要不充分条件，故选：B7（5分）若（0，2），sin2cos2，则cos2的值为（）A-35B-12C0D35【解答】解：因为（0，2），所以sin0，cos0，因为sin2cos2，可得2sincoscos2，所以2sincos，即tan=12，所以cos2=cos2-sin2cos2+sin2=1-tan21+tan2=1-141+14=35故选：D8（5分）执行如图所示的程序框图，输出S（）A19B24C26D33【解答】解：模拟程序的运行，可得程序运行第1次，S1+2；第2次，S1
13、+2+2+12；第3次，S1+2+2+12+3+（l）；.第7次，S1+2+2+12+3+（1）+4+2+5+12+6+（1）+7+233此时i7，输出，则s33故选：D9（5分）已知A，F分别是椭圆x2a2+y2b2=1（ab0）的左顶点和右焦点，P是椭圆上一点，直线AP与直线l：x=a2c相交于点Q，且AFQ是顶角为120的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）A13B12C23D34【解答】解：如图，设直线l与x轴的交点为H，由AFQ是顶角为120的等腰三角形，知|FQ|FA|a+c，QFH60，于是，在RtFQH中，|FH|=12|FQ|，而|FH|=a2c-c=b2c，故b2c=a+c2
14、，又由a2b2+c2得3c2+ac2a20，即3e2+e20，解得e=23故选：C10（5分）已知函数f（x）e|x|+2x2若af（0.60.7），bf（log213），cf（log45），则a，b，c的大小关系为（）AabcBcbaCacbDbca【解答】解：f（x）e|x|+2x2，xR，f（x）e|x|+2（x）2e|x|+2x2f（x），所以f（x）为偶函数，且x0时，ex单调递增，2x2单调递增，所以x0时，f（x）单调递增，所以bf（log213）f（log23）f（log23），由于00.60.71，log23log49log451，则acb故选：C11（5分）已知F是抛物线C
15、：y24x的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线准线l1交于点M，若PM=2FP，则|FQ|FP|=（）A3B43C34D13【解答】解：如图，过点P作准线的垂线交于点H，则|PF|PH|m（m0），过点Q作准线的垂线交于点E，则|EQ|QF|，PM=2FP，|PM|2m，根据PHMQEM，可得|PH|PM|=|QE|QM|=12，2|EQ|QM|EQ|+3m|EQ|3m，即|FQ|3m，|FQ|FP|=3mm=3故选：A12（5分）已知函数f（x）=xelnx，x15-2x-x2，x1，若函数yf（x）2+（24a）f（x）+1恰有5个零点，则实数a的取值范围是（）A9
16、8，4924）B（1，4924）C（1，98D98，+）【解答】解：当x1时，f(x)=xelnx，则f(x)=lnx-1eln2x，当1xe时，f（x）0，f（x）单调递减，当xe时，f（x）0，f（x）单调递增，则x1时，f（x）f（ e）1当x1时，f（x）52xx2（x+1）2+66作出f（x）大致图象，函数yf（x）2（4a2）f（x）+1恰有5个不同零点，即方程f（x）2+（24a）f（x）+10恰有5个根令f（x）t，则需方程t2+（24a）t+10（*）（l）在区间（，1）和2，6）上各有一个实数根，令函数u（t）t2+（24a）t+1，则u(1)=1+2-4a+10u(2)=
17、4+2(2-4a)+10u(6)=36+6(2-4a)+10，解得98a4924（2）方程（*）在（1，2）和（6，+）各有一根时，则u(1)=1+2-4a+10u(2)=4+2(2-4a)+10u(6)=36+6(2-4a)+10，即a1a98a4924，无解（3）方程（*）的一个根为6时，可得a=2924，验证得另一根为16，不满足（4）方程（*）的一个根为1时，可得a1，可知不满足综上，98a4924故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（5分）已知向量a=（1，2），b=（t，3），若a（a+b），则实数t的值为 1【解答】解：向量a=（1，2），b=（t，3），
18、a+b=（1+t，1），a（a+b），a(a+b)=1+t20，解得实数t1故答案为：114（5分）已知实数x，y满足约束条件x-y-202x+y0x+10，则z2xy的最小值为 4【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z2xy得y2xz，x+1=02x+y=0，解得A（1，2），平移直线y2xz，由图象可知当直线y2xz经过点A（1，2）时，直线的纵截距最大，此时z最小，此时z224，故答案为：415（5分）关于函数f（x）sin2x+cos2x，给出下列四个结论：是f（x）的最小正周期；f（x）在0，2的最小值是1；f（x）在0，2上是单调递增函数；x=8是f（x）图象的一条对称轴
19、其中所有正确结论的序号是 【解答】解：f（x）sin2x+cos2x=2sin（2x+4），最小正周期T=22=，即正确；因为x0，2，所以2x+44，54，所以当2x+4=54，即x=2时，函数f（x）取得最小值1，即正确；令2x+42k-2，2k+2，kZ，则xk-38，k+8，kZ，所以f（x）的增区间为k-38，k+8，kZ，显然0，2不是其子集，即错误；f（8）=2sin（28+4）=2=f（x）max，所以x=8是f（x）图象的一条对称轴，即正确故答案为：16（5分）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA2，三棱锥PABC体积的最大值为
20、83，则当PBC的面积最大时，线段AC的长度为 6【解答】解：设ABa，则OC=a2，由PA平面ACB，PA2，得到ABC面积最大时，OCAB，三棱锥PABC体积的最大值为83，1312aa22=83，解得a4，AB是圆O的直径，ACB90，BCAC，PA平面ACB，PABC，BC平面PAC，BCPC，BC2+PC2PB2PA2+AB220，SPBC=12BCPC14（BC2+PC2）5，当且仅当BCPC=10时，等号成立，此时AC=PC2-PA2=6故答案为：6三、解答题：共70分。解答应写岀文字说明，证明过程或演算步骤。第121题为必考题，毎个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考
21、生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17（12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或入户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下22列联表所示：入户登记自主填报合计户主45岁以上200户主45岁及以下240640合计1000（1）将列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？（2）根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户若从这6户中随机抽取2户进行进一步复核，求所抽取的2户中恰好有1户的户主年
22、龄在45岁以上的概率附表及公式：P（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635其中K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，na+b+c+d【解答】解：（1）22列联表：入户登记自主填报合计户主45岁以上160200360户主45岁以下240400640合计4006001000K2=1000(160400-200240)24006003606404.6303.841，所以有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系；（2）依题意，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户，其中年龄在4
23、5岁以上的有6200600=2户，所以在45岁以下的户主中抽取的为4户，记“所抽取的2户中恰好有1户的户主年龄在45岁以上”为事件A，所以P（A）=C21C41C62=81518（12分）如图，已知OA10，点B是以O为圆心，5为半径的半圆上一动点（1）当AOB120时，求线段AB的值；（2）若ABC为正三角形，求四边形OACB面积的最大值【解答】解：（1）在AOB 中，由余弦定理得：AB2OA2+OB22OAOBcosAOB=102+52-2105cos120=100+25-100(-12)=175，所以AB57；（2）设AOB，所以AB2OA2+OB22OAOBcos125100cos，则
24、S四边形OACBSOAB+SABC=12OAOBsin+34AB2=12105sin+34（125100cos）25sin253cos+12534=50（12sin-32cos）+12534=50sin（-3）+12534，所以当=56时，四边形OACB的面积取得最大值为50+1253419（12分）若等比数列an的各项为正，前n项和为Sn，且S26，a38（1）求数列an的通项公式；（2）若anbn是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列bn的前n项和Tn【解答】解：（1）由题意知，公比q1，由S26，a38，得a1(1-q2)1-q=6，a1q28，解得q=-23或2，因为等比数列an的各
25、项为正，所以q0，所以q2，a12，故数列an的通项公式为ana1qn12n（2）设cnanbn，则cn是以1为首项，1为公差的等差数列，所以cn1+（n1）1n，所以bn=cnan=n2n，所以Tn=121+222+323+n-12n-1+n2n，12Tn=122+223+324+n-12n+n2n+1，得，12Tn=121+122+123+12n-n2n+1=121-(12)n1-12-n2n+1=1-(12)n-n2n+1，所以Tn21-(12)n-n2n+12-2+n2n20（12分）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD为梯形，ABDC，且APPDCD2AB2
26、3，APDADC60AC交BD于点F，G为PAD的重心（1）求证：GF平面PAB；（2）求三棱锥BGFC的体积【解答】（1）证明：在图中连接DG并延长交PA于点E，连接BE由底面ABCD为梯形，ABCD，CD2AB，ABFCDF，则DFFB=DCAB=21又由G为PAD的重心，DGGE=21，则DFFB=DGGE=21，所以GFEB而GF平面PAB，EB平面PAB，所以GF平面PAB（2）解：由APPD，APD60，则PAD为正三角形又ADPDDC，ADC60所以ADC为正三角形因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，在PAD中，连接PG并延长交AD于点M，有PMAD，所以PM
27、面ABCD又FCAF=DFFB=21，则VB-GFC=VG-BFC=23VG-ABC因为DACACD60CAB，AB=3，AC=23，所以SABC=12|AB|AC|sin60=332又ADC为正三角形，AD=23，则PM3，GM1，所以VG-ABC=13SABC|GM|=32，故VB-GFC=23VG-ABC=3321（12分）已知函数f（x）axlnx+x（1）函数f（x）是否存在极小值？若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由；（2）若0a1，求证：f（x）exx2+1【解答】（1）解：由题意f（x）alnx+a+1（其中x0），当a0时，函数f（x）x不存在极值当a0时，令f（x0
28、）alnx0+a+10，则x0=e-a+1a若a0，可知0xx0时，f（x0）0，xx0时，f（x0）0，则此时x0为f（x）的极小值点，符合题意若a0，可知0xx0时，f（x0）0，xx0时，f（x0）0，则此时x0为f（x）的极大值点，不合题意综上，f（x）存在极小值时，a的取值范围是（0，+）（2）证明：由不等式f（x）exx2+1得axlnx+x2exx+1（其中x0），即证明alnxx+1ex-x+1x2（其中x0）令u(x)=alnxx+1，v(x)=ex-x+1x2，只需证明u（x）maxv（x）min即可又u(x)=a(1-lnx)x2，0a1，则0xe时，u（x）0；xe时，
29、u（x）0则xe时，u（x）取得极大值，即u（x）的极大值为u(e)=ae+1，也即为最大值由v(x)=ex-x+1x2，得v(x)=(ex-1)x2-2x(ex-x+1)x4=(x-2)(ex+1)x3，则0x2时，v（x）0；x2时，v（x）0则x2时，v（x）取得极小值，即v（x）的极小值为v(2)=e2-14，也即为最小值由于v(x)min-u(x)max=v(2)-u(e)=e2-14-ae-1e2-14-1e-1=e3-5e-44e=e(e2-5)-44e0，即有u（x）maxv（x）min，则alnxx+1ex-x+1x2所以0a1时，不等式f（x）exx2+1成立（二）选考题：
30、共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。选修4-4：极坐标与参数方程22（10分）平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=2cosy=sin（为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为（02），将射线l绕极点逆时针旋转4后得到射线l1设l与曲线C相交于点A，l1与曲线C交于点B（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若2|OA|2+|OB|2=5|OA|OB|，求的值【解答】解（1）由曲线C的参数方程x=2cosy=sin 消去得其普通方程为x24+y2=1将xcos，ysin代入上述方程得2-cos24+2sin2=1
31、，即2（1+3sin2）4所以曲线C的极坐标方程为2（1+3sin2）4（2）设A(1，)，B(2，+4)，由（1）可知，12=41+3sin2，22=41+3sin2(+4)，而2|OA|2+OB|2=5|OA|OB|，即4（|OA|2+|OB|2）5|OA|2|OB|2，即1|OA|2+1|OB|2=54，于是112+122=54即 1+3sin24+1+3sin2(+4)4=54，变形可得 sin2+sin2(+4)=1，所以1-cos22+1-cos2(+4)2=1即1-cos22+1+sin22=1，sin2=cos2，则tan21又02，则02，所以2=4，即=8选修4-5：不等式
32、选讲（10分）23已知函数f（x）|2x4|+|x+1|（1）解不等式f（x）7x；（2）设f（x）的最小值为M，正实数a，b，c满足a+bM，求证：a2+1a+b2b+13【解答】（1）解：当x1时，f（x）2x+4x13x+37x，得2x1；当1x2时，f（x）2x+4+x+1x+57x，得1x2；当x2时，f（x）2x4+x+13x37x，得2x52；综上，原不等式解集为x|-2x52（2）证明：由（1）知：x1时，f（x）3x+36；1x2时，f（x）x+53；x2时，f（x）3x33f（x）的最小值为M3，则a+b3a2+1a+b2b+1=a2+1a+(b+1)2-2(b+1)+1b+1=a+1a+b+1+1b+1-2=1a+1b+1+2 =14a+(b+1)(1a+1b+1)+2 =14(2+b+1a+ab+1)+2 14(2+2b+1aab+1)+2 3，当且仅当b+1a=ab+1a+b=3，即a2，b1时等号成立，a2+1a+b2b+13第24页（共24页）
