1、2022年北京市房山区良乡中学高考数学模拟试卷（2月份）一、选择题（本大题共10个小题每小题4分共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上）1（4分）已知集合Ax|1x3，BxZ|x24，则AB（）A0，1B1，0，1C1，0，1，2D2，1，0，1，22（4分）若z=ii+2，则复数z在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3（4分）要得到函数ylog2（2x+4）的图象，只需将函数ylog2（x+2）的图象（）A向左平移2个单位长度B向右平移2个单位长度C向上平移1个单位长度D向下平移1个单位长度4（4分）“
2、函数f（x）sinx+（a1）cosx为奇函数”是“a1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5（4分）如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为（02）若一个扇形的圆心角为，弧长为10，则该扇形的面积为（）A256B2512C240D1206（4分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD=AC+AE，则的值为（）A3B2C1D37（4分）大气压强p=压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa1N/m2），大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是p=p0e-kh（k0.000126m1），p0是海平面大气压强已知在某高山A
3、1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，p1p2=12，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln20.693）A550mB1818mC5500mD8732m8（4分）已知抛物线C：x22py（p0）的准线l与圆M：（x1）2+（y2）216相切，则p（）A6B8C3D49（4分）把函数f（x）sin2x+3cos2x的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）2sinx的图象，则的一个可能值为（）A-3B3C-6D610（4分）A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比（与2017年6月比较）增长率如表：A品牌车型A1
4、A2A3环比增长率7.29%10.47%14.70%B品牌车型B1B2B3环比增长率8.49%28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论：A1车型销量比B1车型销量多；A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4二、填空题（共5小题每小题5分共25分）11（5分）已知双曲线C：x2-y24=1，则渐近线方程为 ；离心率e为 12（5分）已知(x-ax)7展开式中x5的系数为21，则实数a的值为 13（5分）设S
5、n为公比q1的等比数列an的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q ，S4S2= 14（5分）设f（x）是定义在R上的单调递减函数，能说明“一定存在x0R使得f（x0）1”为假命题的一个函数是f（x） 15（5分）设函数f（x）=|x-a|，x1log3x，x1.（1）如果f（1）3，那么实数a ；（2）如果函数yf（x）2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是 三、解答题（共6小题共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，AA14，ABAC，BEAB1交AA1于点E，D为CC1的中点（）求证：BE平面AB1C
6、；（）求二面角CAB1D的余弦值17（14分）在ABC中，已知b5，cosB=916，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知（）求sinA；（）求ABC的面积条件：cosC=18；条件：a418（14分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：汽车型号回访客户（人数）250100200700350满意率0.50.50.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等（）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客
7、户满意的概率；（）若以样本的频率估计概率，从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；（）用“11”，“21”，“31”，“41”，“51”分别表示，型号汽车让客户满意，“10”，“20”，“30”，“40”，“50”分别表示不满意写出方差D1，D2，D3，D4，D5的大小关系19（14分）已知函数f（x）2ln（x+1）（）若函数f（x）在点P（x0，f（x0）处的切线平行于直线y2x2，求切点P的坐标及此切线方程；（）求证：当x0，e1时，f（x）x22x（其中e2.71828）20（15分）已知点P（1，2）到抛物线C：y22px（p0）准线的距离为
8、2（）求C的方程及焦点F的坐标；（）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点求|MF|NF|的值21（14分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列an的前n项和Snam，则称an是“回归数列”（）前n项和为Sn=2n的数列an是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为bn2n的数列bn是否是“回归数列”？并请说明理由；（）设an是等差数列，首项a11，公差d0，若an是“回归数列”，求d的值；（）是否对任意的等差数列an，总存在两个“回归数列”bn和cn，使得anbn+cn（nN*）成立，请给出你的结论，并说明理
9、由2022年北京市房山区良乡中学高考数学模拟试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题每小题4分共40分.在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上）1（4分）已知集合Ax|1x3，BxZ|x24，则AB（）A0，1B1，0，1C1，0，1，2D2，1，0，1，2【解答】解：解x24得，2x2；又xZ；B1，0，1，且Ax|1x3；AB1，0，1故选：B2（4分）若z=ii+2，则复数z在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解答】解：z=ii+2=i(2-i)(2+i)(2-i)=15+25i，z=
10、15-25i，复数z在复平面内对应的点的坐标为（15，-25），在第四象限故选：D3（4分）要得到函数ylog2（2x+4）的图象，只需将函数ylog2（x+2）的图象（）A向左平移2个单位长度B向右平移2个单位长度C向上平移1个单位长度D向下平移1个单位长度【解答】解：ylog2（2x+4）log22（x+2）log22+log2（x+2）1+log2（x+2），故只需将函数ylog2（x+2）的图象向上平移1个单位长度，即可，故选：C4（4分）“函数f（x）sinx+（a1）cosx为奇函数”是“a1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解答】解：若f（
11、x）是奇函数，则a10，解得a1，故“函数f（x）sinx+（a1）cosx为奇函数”是“a1”的充要条件，故选：C5（4分）如图所示的时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为（02）若一个扇形的圆心角为，弧长为10，则该扇形的面积为（）A256B2512C240D120【解答】解：时钟显示的时刻为3：30，此时时针与分针的夹角为（02），=126+26=512，一个扇形的圆心角为，弧长为l10，设其半径为r，则10r=512r，r=24，该扇形的面积S=12lr=121024=120，故选：D6（4分）如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AD=AC+AE，则的值为（）A3B2C
12、1D3【解答】解：由题意，因为E为DC的中点，所以AE=12(AD+AC)，所以AD=2AE-AC，即AD=-AC+2AE，所以1，2，所以3；故选：D7（4分）大气压强p=压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa1N/m2），大气压强p（Pa）随海拔高度h（m）的变化规律是p=p0e-kh（k0.000126m1），p0是海平面大气压强已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，p1p2=12，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为（）（参考数据：ln20.693）A550mB1818mC5500mD8732m【解答】解：设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2，则p1
13、p2=12=p0e-0.000126h1p0e-0.000126h2=e0.000126(h2-h1)，0.000126（h2h1）ln12=-ln20.693，得h2-h1=-0.6930.000126=-5500mA1，A2两处的海拔高度的差约为5500m故选：C8（4分）已知抛物线C：x22py（p0）的准线l与圆M：（x1）2+（y2）216相切，则p（）A6B8C3D4【解答】解：抛物线C：x22py（p0）的准线l：y=-p2与圆M：（x1）2+（y2）216相切，可得p2+2=4，解得p4故选：D9（4分）把函数f（x）sin2x+3cos2x的图象向右平移个单位，再把所得图象上
14、各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）2sinx的图象，则的一个可能值为（）A-3B3C-6D6【解答】解：f（x）sin2x+3cos2x2sin（2x+3），函数f（x）sin2x+3cos2x的图象向右平移个单位，得y2sin2（x）+32sin（2x2+3），再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，则g（x）2sin（x2+3）2sinx，则2+3=2k，kZ，则=6-k，当k0时，=6，故选：D10（4分）A、B两种品牌各三种车型2017年7月的销量环比（与2017年6月比较）增长率如表：A品牌车型A1A2A3环比增长率7.29%10.47%14.70%B品牌
15、车型B1B2B3环比增长率8.49%28.06%13.25%根据此表中的数据，有如下关于7月份销量的四个结论：A1车型销量比B1车型销量多；A品牌三种车型总销量环比增长率可能大于14.70%；B品牌三款车型总销量环比增长率可能为正；A品牌三种车型总销量环比增长率可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【解答】解：根据表中数据，对关于7月份销量的四个结论：对于，A1车型销量增长率比B1车型销量增长率高，但销量不一定多，错误；对于，A品牌三种车型中增长率最高为14.70%，所以总销量环比增长率不可能大于14.70%，错误；对于，B品牌三款车型中有销量增长率为1
16、3.25%，所以它的总销量环比增长率也可能为正，正确；对于，由题意知A品牌三种车型总销量环比增长率，也可能小于B品牌三种车型总销量环比增长率，正确；综上所述，其中正确的结论序号是故选：B二、填空题（共5小题每小题5分共25分）11（5分）已知双曲线C：x2-y24=1，则渐近线方程为2xy0；离心率e为5【解答】解：双曲线C：x2-y24=1，可得a1，b2，则c=5，所以渐近线方程为2xy0，双曲线的离心率为：e=ca=5故答案为：2xy0；512（5分）已知(x-ax)7展开式中x5的系数为21，则实数a的值为3【解答】解：(x-ax)7展开式中的通项公式Tr+1=7rx7-r(-ax)r
17、=（a）r7rx72r，令72r5，解得r1a71=21，解得a3故答案为：313（5分）设Sn为公比q1的等比数列an的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，则q3，S4S2=10【解答】解：Sn为公比q1的等比数列an的前n项和，且3a1，2a2，a3成等差数列，可得4a23a1+a3，即有4a1q3a1+a1q2，即q24q+30，解得q3（1舍去），S4=a1(1-34)1-3=40a1，S24a1，则S4S2=40a14a1=10，故答案为：3，1014（5分）设f（x）是定义在R上的单调递减函数，能说明“一定存在x0R使得f（x0）1”为假命题的一个函数是f（x）（12）x+
18、1【解答】解：根据题意，若“存在x0R使得f（x0）1”为假命题，其反例可以为一个值域大于等于1的减函数，分析可得：f（x）（12）x+1符合要求；故答案为：（12）x+1（答案不唯一）15（5分）设函数f（x）=|x-a|，x1log3x，x1.（1）如果f（1）3，那么实数a2或4；（2）如果函数yf（x）2有且仅有两个零点，那么实数a的取值范围是（1，3【解答】解：（1）如果f（1）3，则f（1）|1a|3，解得a2或4，（2）当x1由f（x）20得f（x）2，即log3x2，解得x9，若函数yf（x）2有且仅有两个零点，则等价为当x1时，|xa|2只有一个交点，由|xa|2，解得xa+
19、2或xa2，若当x1时，|xa|2只有一个根，则满足a+21且a21，即a1且a3，即1a3故答案为：2或4；（1，3三、解答题（共6小题共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC2，AA14，ABAC，BEAB1交AA1于点E，D为CC1的中点（）求证：BE平面AB1C；（）求二面角CAB1D的余弦值【解答】（）证明：因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以AA1平面ABC，所以AA1AC（1分） 因为ACAB，ABAA1A，所以AC平面AA1B1B （3分）因为BE平面AA1B1B，所以ACBE（4分）因为BEAB1，
20、ACAB1A，所以BE平面AB1C （5分）（）解：由（）知AB，AC，AA1两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axyz则A（0，0，0），B1（2，0，4），D（0，2，2），B（2，0，0）（7分）设E（0，0，a），所以AD=（0，2，2），AB1=（2，0，4），BE=（2，0，a），因为AB1BE，所以4a40，即a1（8分）所以平面AB1C的一个法向量为BE=（2，0，1）（9分）设平面AB1D的法向量为n=（x，y，z），所以nAD=0，nAB1=0.所以2y+2z=0，2x+4z=0.即y=-z，x=-2z.（10分）令x1，则x2，y1，所以平面AB1D的一个法向量为n=（2，
21、1，1）（11分）所以cosBE，n=nBE|n|BE|=-565=-306（12分）由已知，二面角CAB1D为锐角，所以二面角CAB1D的余弦值为306（13分）17（14分）在ABC中，已知b5，cosB=916，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知（）求sinA；（）求ABC的面积条件：cosC=18；条件：a4【解答】解：若选择条件：（） 因为cosB=916，cosC=18，B，C(0，)，所以sinB=5716，sinC=378所以sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=571618+916378=74所以sinA=sin(B+C)=74（） 由正弦定理得a=b
22、sinBsinA=4所以SABC=12absinC=1245378=1574若选择条件：（） 由cosB=916，B(0，)，可得sinB=5716由正弦定理得sinA=absinB=74（）由余弦定理b2a2+c22accosB，得25=16+c2-24c916即2c29c180，解得c6，（c=-32舍）所以SABC=12acsinB=12465716=157418（14分）某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如表：汽车型号回访客户（人数）250100200700350满意率0.50.50.60.30.2满意率是指：某种型号汽车的回
23、访客户中，满意人数与总人数的比值假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等（）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；（）若以样本的频率估计概率，从型号和型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；（）用“11”，“21”，“31”，“41”，“51”分别表示，型号汽车让客户满意，“10”，“20”，“30”，“40”，“50”分别表示不满意写出方差D1，D2，D3，D4，D5的大小关系【解答】解：（）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件M由题意知，样本中的回访客户的总数是25
24、0+100+200+700+3501600，满意的客户人数是2500.5+1000.5+2000.6+7000.3+3500.2575，故所求概率为P(M)=5751600=2364（）0，1，2设“从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件A，“从型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件B根据题意，P（A）估计为0.5，P（B）估计为0.2，A与B相互独立所以P(=0)=P(AB)=(1-P(A)(1-P(B)=0.50.8=0.4；P(=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1-P(B)+(1-P(A)P(B)=0.50.8+0.50.20.5；P（2）P（AB）P（A）P（B）0.
25、50.20.1所以的分布列为：012P0.40.50.1所以的期望E（）00.4+10.5+20.10.7（）用“11”，“21”，“31”，“41”，“51”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户满意，“10”，“20”，“30”，“40”，“50”分别表示I，II，III，IV，V型号汽车让客户不满意则D10.5（10.5）0.25，D20.5（10.5）0.25，D30.6（10.6）0.24，D40.3（10.3）0.21，D50.2（10.2）0.16方差D1，D2，D3，D4，D5的大小关系为：D1D2D3D4D519（14分）已知函数f（x）2ln（x+1）（）若函数f
26、（x）在点P（x0，f（x0）处的切线平行于直线y2x2，求切点P的坐标及此切线方程；（）求证：当x0，e1时，f（x）x22x（其中e2.71828）【解答】（I）解：由题意得，f(x)=2x+1，所以切线斜率2f（x0）=21+x0，解得x00，即P（0，0），此时切线方程为y2x；（II）证明：令g（x）2ln（x+1）x2+2x，x0，e1，则g（x）=2x+1-2x+2=2(2-x2)x+1，当0x2时，g（x）0，g（x）单调递增，当x2时，g（x）0，g（x）单调递减，又g（0）0，g（e1）2+（e1）（3e）0，所以g（x）ming（0）0，所以g（x）0恒成立，所以当x0，
27、e1时，f（x）x22x20（15分）已知点P（1，2）到抛物线C：y22px（p0）准线的距离为2（）求C的方程及焦点F的坐标；（）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点求|MF|NF|的值【解答】（共13分）解：（）由已知得1+p2=2，所以p2所以抛物线C的方程为y24x，焦点F的坐标为（1，0）（4分）（ II）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知得Q（1，2），由题意直线AB斜率存在且不为0设直线AB的方程为yk（x+1）2（k0）由y2=4x，y=k(x+1)-2得ky24y+4k80，则y1+y2
28、=4k，y1y2=4-8k因为点A，B在抛物线C上，所以y12=4x1，y22=4x2，kPA=y1-2x1-1=y1-2y142-1=4y1+2，kPB=y2-2x2-1=4y2+2因为PFx轴，所以|MF|NF|=|PF|kPA|PF|kPB|=4|kPAkPB|=|(y1+2)(y2+2)|4=|y1y2+2(y1+y2)+4|4=|4-8k+8k+4|4=2所以|MF|NF|的值为2（13分）21（14分）若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得数列an的前n项和Snam，则称an是“回归数列”（）前n项和为Sn=2n的数列an是否是“回归数列”？并请说明理由；通项公式为bn2n的数列
29、bn是否是“回归数列”？并请说明理由；（）设an是等差数列，首项a11，公差d0，若an是“回归数列”，求d的值；（）是否对任意的等差数列an，总存在两个“回归数列”bn和cn，使得anbn+cn（nN*）成立，请给出你的结论，并说明理由【解答】解：（）当n2时，anSnSn12n2n12n1，当n1时，a1S12当n2时，Snan+1数列an是“回归数列”；bn2n，前n项和Sn，Snn2+nn（n+1），n（n+1）为偶数，存在2mn（n+1），即m=n(n+1)2，数列bn是否是“回归数列”；（2）Snna1+n(n-1)2dn+n(n-1)2d，对nN*，mN*使Snam，即n+n(n
30、-1)2d1+（m1）d，取n2时，得1+d（m1）d，解得m2+1d，d0，m2，又mN*，m1，d1（3）设an的公差为d，令bna1（n1）a1（2n）a1，对nN*，bn+1bna1，cn（n1）（a1+d），对nN*，cn+1cna1+d，则bn+cna1+（n1）dan，且数列bn和cn是等差数列数列bn的前n项和Tnna1+n(n-1)2（a1），令Tn（2m）a1，则m=n(n-3)2+2当n1时，m1；当n2时，m1当n3时，由于n与n3的奇偶性不同，即n（n3）为非负偶数，mN*因此对nN*，都可找到mN*，使Tnbm成立，即bn为“回归数列”；数列cn的前n项和Rn=n(n-1)2（a1+d），令cm（m1）（a1+d）Rn，则m=n(n-1)2+1对nN*，n（n3）为非负偶数，mN*因此对nN*，都可找到mN*，使Rncm成立，即cn为“回归数列”；因此命题得证第18页（共18页）
