1、在前面各章中，我们总是假设已经知道了受控对象的在前面各章中，我们总是假设已经知道了受控对象的模型，但由于实际中存在种种不确定因素，如：模型，但由于实际中存在种种不确定因素，如： 参数变化；参数变化； 未建模动态特性；未建模动态特性； 平衡点的变化；平衡点的变化； 传感器噪声；传感器噪声； 不可预测的干扰输入；不可预测的干扰输入；等等，所以我们所建立的对象模型只能是实际物理系等等，所以我们所建立的对象模型只能是实际物理系统的不精确的表示。鲁棒系统设计的目标就是要在模统的不精确的表示。鲁棒系统设计的目标就是要在模型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系统仍能型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系
2、统仍能保持预期的性能。如果模型的变化和模型的不精确不保持预期的性能。如果模型的变化和模型的不精确不影响系统的稳定性和其它动态性能，这样的系统我们影响系统的稳定性和其它动态性能，这样的系统我们称它为称它为鲁棒控制系统鲁棒控制系统。鲁棒性(Robustness) 所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成立，如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系立，如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑
3、制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。统具有鲁棒性能。系统的不确定性 参数不确定性参数不确定性，如二阶系统：，如二阶系统： 可以代表带阻尼的弹簧装置，可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确电路等。这种不确定性通常不会改变系统的结构和阶次。定性通常不会改变系统的结构和阶次。 动态不确定性动态不确定性 也称未建模动态也称未建模动态 ，我们通常并不知道它的结构、，我们通常并不知道它的结构、阶次，但可以通过频响实验测出其幅值界限：阶次，但可以通过频响实验测出其幅值界限： ,11)(2aaaasssG为确定函数)(, )()
4、(jWRjWj)(s 加性不确定性：加性不确定性： 乘性不确定性：乘性不确定性：)()(),(0ssGsG)()(),(0sGsIsG一个例子 设汽车质量为设汽车质量为M,路面摩擦系数为路面摩擦系数为 ，汽车的力学模型如，汽车的力学模型如下图所示：下图所示： 其运动方程为：其运动方程为：如果考虑到汽车的质量如果考虑到汽车的质量M随车载负荷发生变化，随车载负荷发生变化， 且且 也随也随路面状况不同而变化，则方程的系数就具有一定的不确路面状况不同而变化，则方程的系数就具有一定的不确定性，即，无法得到定性，即，无法得到M和和 的精确值。假设的精确值。假设M和和 的取值的取值范围给定如下：范围给定如下
5、： 为给定常数iMMM ,20201010MfvdtdvMvfv那么实际的被控对象就可以描述为那么实际的被控对象就可以描述为如果用如果用f 到到v的传递函数来描述，则有的传递函数来描述，则有其中其中可以找到适当的界函数可以找到适当的界函数 2100,)()MfvdtdvMM （)()()(1)(000ssGsMMsG)()()()(,1)(0000000sMMsMMsssMsG)()(),(jWjjW有 鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。合问题。
6、鲁棒性分析鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性鲁棒性综合综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有：主要的鲁棒控制理论有： Kharitonov区间理论；区间理论； H 控制理论；控制理论； 结构奇异值理论结构奇异值理论( 理论理论)
7、；等。等。Kharitonov定理定理具有不确定参数的系统 假设系统的特征多项式为假设系统的特征多项式为其系数满足其系数满足我们称我们称(1)为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该为区间多项式，为了判定系统的稳定性，应该研究所有可能的参数组合，这是个无穷检验问题。研究所有可能的参数组合，这是个无穷检验问题。 前苏联数学家前苏联数学家 Kharitonov于于1978年给出了关于判断区年给出了关于判断区间多项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不间多项式族鲁棒稳定性的四多项式定理，为研究参数不确定系统的鲁棒性分析奠定了基础。确定系统的鲁棒性分析奠定了基础。(1) )(0111asasasa
8、sfnnnn,0 , 1 , 0,iiiiiaaniaaaKharitonov定理：定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当中的每一个多项式均稳定当且仅当下面的四个多项式稳定下面的四个多项式稳定注：注：定理中的四个多项式通常被称作定理中的四个多项式通常被称作Kharitonov顶点多顶点多项式。项式。Kharitonov定理的意义在于它将区间多项式中无定理的意义在于它将区间多项式中无穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来，穷多个多项式的稳定性与四个定点的稳定性等价起来，将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。将无穷检验变为有限检验（顶点检验）。554433221045544332210
9、35544332210255443322101)()()()(sasasasasaasPsasasasasaasPsasasasasaasPsasasasasaasP考虑下图所示的闭环系统考虑下图所示的闭环系统其中其中 miiiiiniiiirrrsrrsDsqsNrsDsNrsG00,),(,)(,),()(),(闭环传递函数为闭环传递函数为 ),(1),(),(rskGrsGrsGCLGcl(s)的分母为的分母为)(),(skNrsD-G(s)kuy例：例：1122),(12233423srsrsrssssrsG3 , 2,4 , 3,54321rrr，取取k1，此时闭环传递函数的分母为，
10、此时闭环传递函数的分母为2122112233423122334spspspsssssrsrsrs其中其中 4 , 3,6 , 5 ,3 , 2321ppp此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式此时上面的闭环系统稳定当且仅当下面的四个多项式稳定稳定43244323432243214622)(4522)(3632)(3532)(sssssFsssssFsssssFsssssFH 控制理论控制理论 H 控制理论提出的背景控制理论提出的背景 现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际现代控制理论的许多成果在理论上很漂亮，但实际应用并不成功。主要原因是忽略了对象的不确定性，并应用并不成功。主要
11、原因是忽略了对象的不确定性，并对系统所存在的干扰信号作了苛刻的要求。对系统所存在的干扰信号作了苛刻的要求。 加拿大学者加拿大学者Zames在在1981年提出了著名的年提出了著名的H 控制思控制思想，考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于想，考虑如下一个单输入单输出系统的设计问题：对于属于一个有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭属于一个有限能量的干扰信号，设计一个控制器使得闭环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递环系统稳定且干扰对系统期望输出影响最小。由于传递函数的函数的H 范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增范数可描述有限输入能量到输出能量的最大增益，所以用表示上述影响
12、的传递函数的益，所以用表示上述影响的传递函数的H 范数作为目标范数作为目标函数对系统进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干函数对系统进行优化设计，就可使具有有限功率谱的干扰对系统期望输出的影响最小。扰对系统期望输出的影响最小。对于反馈系统对于反馈系统如果如果P(s)具有误差具有误差 ，那么相应地开环，那么相应地开环和闭环频率特性也具有误差和闭环频率特性也具有误差)()(1)()( ),()()(jKjPjKjPGjKjPjGBK其中其中K(s)为控制器，为控制器，w为干扰信号，为干扰信号，r为参考输入，为参考输入，u为控制输入，为控制输入，e为控制误差信号，为控制误差信号，y为输出信号。系统为
13、输出信号。系统的开环和闭环频率特性为的开环和闭环频率特性为 )()()(0sPsPsP-ryP(s)k K(s)ewu)()()()()()(00jGjGjGjGjGjGBBBKKK其中其中体现了开环特性的相对偏差体现了开环特性的相对偏差 到闭环频率特性到闭环频率特性 的增益，因此，如果我们在设计控制器的增益，因此，如果我们在设计控制器K时，时，能够使能够使S的增益足够小，即的增益足够小，即)()(1)()( ),()()(00000jKjPjKjPGjKjPjGBK分别为开环和闭环频率特性的标称函数，简单的推导分别为开环和闭环频率特性的标称函数，简单的推导可得可得而传递函数而传递函数 )()
14、()()(11 )()(0jGjGjKjPjGjGKKBB)()(11 )(0sKsPsSKKGGBBGG为充分小正数, )(jS那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。传递函数传递函数S(s)称为系统的称为系统的灵敏度函数灵敏度函数。实际上。实际上S(s)还等还等于干扰于干扰w到输出的闭环传递函数，因此减小到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益的增益就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义)(sup)(jSsSR其中其中 表示最大奇异值，即表示最大奇异值，即 )(,)()(21*maxAAA
15、 H 控制问题即为对于给定的控制问题即为对于给定的 0，设计控制器，设计控制器K使得闭环系统稳定且满足使得闭环系统稳定且满足)(sS为最大特征值。的共轭转置阵，为max*AA H 理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个理论中考虑干扰信号是不确定的，而是属于一个可描述集可描述集L2中包含的是能量有限的信号。考虑抑制干扰中包含的是能量有限的信号。考虑抑制干扰w L2对对系统性能的影响，为此引入表示干扰抑制水准的标量系统性能的影响，为此引入表示干扰抑制水准的标量 ，求控制器求控制器K使得满足使得满足z为输出信号。定义为输出信号。定义022)(| )(dttwtwL(1) ,222222Lwwz2
16、20sup)(wzjTwzw其中其中Tzw(s)为由为由w至至z的闭环传递函数，则的闭环传递函数，则(1)等价于等价于求使求使 最小的控制器最小的控制器K就是就是H 最优设计问题。最优设计问题。)( jTzw传递函数的传递函数的H 范数范数对于系统的传递函数对于系统的传递函数G (s),若其在右半平面无极点，定义若其在右半平面无极点，定义下面的范数为下面的范数为H 范数范数djuuuGusG2222)(21,sup)(定理：定理： )(sup)(jGsGR其中其中 闭环系统鲁棒稳定性分析闭环系统鲁棒稳定性分析其中其中 (s)为任意稳定的真有理分式且满足为任意稳定的真有理分式且满足| (s)|
17、1定理：定理：上图所示的闭环系统对任意的上图所示的闭环系统对任意的 (s)均稳定当且均稳定当且仅当仅当 1)()()(1sKsGIsK-uyG(s)k K(s)G(s)(s) 加性不确定性加性不确定性 考虑下图所示系统考虑下图所示系统闭环系统鲁棒稳定性分析闭环系统鲁棒稳定性分析其中其中 (s)为任意稳定的真有理分式且满足为任意稳定的真有理分式且满足| (s)| 1定理：定理：上图所示的闭环系统对任意的上图所示的闭环系统对任意的 (s)均稳定当且均稳定当且仅当仅当 1)()()()(1sKsGsKsGI-uyG(s)k K(s)G(s)(s) 乘性不确定性乘性不确定性 考虑下图所示系统考虑下图所示系统时域模型的鲁棒性考虑系统考虑系统其中其中 ， 为任意满足为任意满足 的实矩阵，的实矩阵，E,F为为已知矩阵。已知矩阵。定理：定理：对任意的对任意的 ， ，A+E F 稳定当且仅当稳定当且仅当xAAx)(1)(1EAsIF控制系统的鲁棒控制问题系统的鲁棒控制问题即为设计即为设计K使得使得A+BKE F稳定，也即稳定，也即KxuBuxFEAx,)(1)(1EBKAsIFFEAITIT实实 验验 Furuta摆实验摆实验三自由度直升机系统三自由度直升机系统
