1、1 前述的前述的AR(p)、MA(q) 和和ARMA(p,q) 三个模型只适三个模型只适用于刻画一个平稳序列的自相关性。用于刻画一个平稳序列的自相关性。一个平稳序列的数一个平稳序列的数字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而字特征，如均值、方差和协方差等是不随时间的变化而变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的变化的，时间序列在各个时间点上的随机性服从一定的概率分布。概率分布。也就是说，对于一个平稳的时间序列也就是说，对于一个平稳的时间序列可以通可以通过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而过过去时间点上的信息，建立模型拟合过去信息，进而预测未来的信息。预测未来的信息。
2、 2 然而，对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的然而，对于一个非平稳时间序列而言，时间序列的某些数字特征是随着时间的变化而变化的。某些数字特征是随着时间的变化而变化的。 非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同非平稳时间序列在各个时间点上的随机规律是不同的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的的，难以通过序列已知的信息去掌握时间序列整体上的随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平随机性。但在实践中遇到的经济和金融数据大多是非平稳的时间序列。稳的时间序列。 34 描述类似图描述类似图5.9形式的非平稳经济时间序列有两种方形式的非平稳经济时间序列有两种方法，一种方法是包含一个
3、确定性时间趋势法，一种方法是包含一个确定性时间趋势 (5.3.1) 其中其中 ut 是平稳序列；是平稳序列；a + t 是线性趋势函数。这种过程是线性趋势函数。这种过程也称为也称为的，因为如果从式的，因为如果从式(5.3.1)中减去中减去 a + t，结果是一个平稳过程。注意到像图结果是一个平稳过程。注意到像图5.9一类的经济时间序一类的经济时间序列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换列常呈指数趋势增长，但是指数趋势取对数就可以转换为线性趋势为线性趋势。 ttutay5 一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性一般时间序列可能存在一个非线性函数形式的确定性时间趋势，例如可能存在
4、多项式趋势：时间趋势，例如可能存在多项式趋势： (5.3.2) t = 1, 2, , T 同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势同样可以除去这种确定性趋势，然后分析和预测去势后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定后的时间序列。对于中长期预测而言，能准确地给出确定性时间趋势的形式很重要。如果性时间趋势的形式很重要。如果 yt 能够通过去势方法排除能够通过去势方法排除确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。确定性趋势，转化为平稳序列，称为退势平稳过程。tnntutttay2216 非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到具非平稳序列中有一类序列可以通过差分运算，得到
5、具有平稳性的序列，考虑下式有平稳性的序列，考虑下式 (5.3.3) 也可写成也可写成 (5.3.4)tttuyay1tttuayLy)1 ( 其中其中 a 是常数，是常数，ut 是平稳序列，若是平稳序列，若ut i.i.d. N (0, 2) ，且，且ut 是一个白噪声序列。若令是一个白噪声序列。若令a = 0， y0=0，则由式，则由式(5.3.2)生成生成的序列的序列 yt，有，有var(yt) = t 2（t = 1, 2, , T），显然违背了时），显然违背了时间序列平稳性的假设。而式间序列平稳性的假设。而式(5.3.3)的差分序列是含位移的差分序列是含位移 a 的的随机游走，说明随机
6、游走，说明 yt 的差分序列的差分序列 yt是平稳序列。是平稳序列。 7 实际上，在实际上，在5.1节中讨论的回归方程的序列自相节中讨论的回归方程的序列自相关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。这是因为，关问题暗含着残差序列是一个平稳序列。这是因为，如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除如果残差序列是一个非平稳序列，则说明因变量除了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化了能被解释变量解释的部分以外，其余的部分变化仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因仍然不规则，随着时间的变化有越来越大的偏离因变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未变量均值的趋势，这样的模型是不能够用来预测未
7、来信息的。来信息的。8 ，这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都这样的一种回归有可能拟合优度、显著性水平等指标都很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这很好，但是由于残差序列是一个非平稳序列，说明了这种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存种回归关系不能够真实的反映因变量和解释变量之间存在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回在的均衡关系，而仅仅是一种数字上的巧合而已。伪回归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加归的出现说明模型的设定出现了问题，有可能需要增加解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行差分，解释变量或者减少解释变量，抑或是把原方程进行
8、差分，以使残差序列达到平稳。以使残差序列达到平稳。 一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某一个可行的办法是先把一个非平稳时间序列通过某种变换化成一个平稳序列，根据种变换化成一个平稳序列，根据5.2节中的方法建模，并节中的方法建模，并利用变量之间的相关信息，描述经济时间序列的变化规利用变量之间的相关信息，描述经济时间序列的变化规律。律。 9 像前述像前述 yt 这种非平稳序列，可以通过差分运算，得这种非平稳序列，可以通过差分运算，得到平稳性的序列称为到平稳性的序列称为。定义如下：。定义如下： 如果序列如果序列 yt ，通过，通过 d 次差分成为一个平稳序次差分成为一个平稳序列，而这个序列差
9、分列，而这个序列差分 d 1 次时却不平稳，那么称序列次时却不平稳，那么称序列 yt为为 d 阶单整序列，记为阶单整序列，记为 yt I(d)。特别地，如果序列。特别地，如果序列 yt本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为本身是平稳的，则为零阶单整序列，记为 yt I(0)。 10 单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面单整阶数是使序列平稳而差分的次数。对于上面的随机游走过程，有一个单位根，所以是的随机游走过程，有一个单位根，所以是I(1)，同样，同样，平稳序列是平稳序列是I(0)。一般而言，表示存量的数据，如以不。一般而言，表示存量的数据，如以不变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为
10、变价格资产总值、储蓄余额等存量数据经常表现为2阶阶单整单整I(2) ；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据；以不变价格表示的消费额、收入等流量数据经常表现为经常表现为1阶单整阶单整I(1) ；而像利率、收益率等变化率；而像利率、收益率等变化率的数据则经常表现为的数据则经常表现为0阶单整阶单整I(0) 。 11 检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有检查序列平稳性的标准方法是单位根检验。有6种单种单位根检验方法：位根检验方法：ADF检验、检验、DFGLS检验、检验、PP检验、检验、KPSS检验、检验、ERS检验和检验和NP检验，本节将介绍检验，本节将介绍DF检验、检验、ADF检验。检验。 A
11、DF检验和检验和PP检验方法出现的比较早，在实际应用检验方法出现的比较早，在实际应用中较为常见，但是，由于这中较为常见，但是，由于这2种方法均需要对被检验序列种方法均需要对被检验序列作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起作可能包含常数项和趋势变量项的假设，因此，应用起来带有一定的不便；其它几种方法克服了前来带有一定的不便；其它几种方法克服了前2种方法带来种方法带来的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验的不便，在剔除原序列趋势的基础上，构造统计量检验序列是否存在单位根，应用起来较为方便。序列是否存在单位根，应用起来较为方便。 12 其中其中 a 是常数，是常数， t 是线性趋
12、势函数，是线性趋势函数，ut i.i.d. N (0, 2) 。tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7) 为说明为说明DF检验的使用，先考虑检验的使用，先考虑3种形式的回归模型种形式的回归模型 13 (1) 如果如果 -1 1，则，则 yt 平稳（或趋势平稳）。平稳（或趋势平稳）。 (2) 如果如果 =1，yt 序列是非平稳序列。序列是非平稳序列。(5.3.4)式可写成：式可写成： 显然显然 yt 的差分序列是平稳的。的差分序列是平稳的。 (3) 如果如果 的绝对值大于的绝对值大于1，序列发散，且其差分序列，序列发散，且其差分序列是非平稳的。是
13、非平稳的。ttttuyyy1tttuyy) 1(14 因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验因此，判断一个序列是否平稳，可以通过检验 是是否严格小于否严格小于1 1来实现。也就是说：来实现。也就是说： tttuyy1 tttuayy1 tttutayy1 (5.3.8)(5.3.9)(5.3.10) 从方程两边同时减去从方程两边同时减去 yt-1 得得， 其中其中： = -1。15 其中：其中： = = -1-1，所以原假设和备选假设可以改写为，所以原假设和备选假设可以改写为 可以通过最小二乘法得到可以通过最小二乘法得到 的估计值的估计值 ，并对其进行，并对其进行显著性检验的方法，构造检验显
14、著性检验的方法，构造检验 显著性的显著性的 t 统计量。统计量。 但是，但是，Dickey-Fuller研究了这个研究了这个t 统计量在原假设下统计量在原假设下已经不再服从已经不再服从 t 分布，它依赖于分布，它依赖于 。 0:0:10HH16 Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，型、不同样本数以及不同显著性水平下的临界值。这样，就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过就可以根据需要，选择适当的显著性水平，通过 t 统计量统计量来决定能否拒绝原假设。这一检验被称为来决定能否拒绝原假设。这一
15、检验被称为Dickey-Fuller检检验验(DF检验检验)。 上面描述的单位根检验只有当序列为上面描述的单位根检验只有当序列为AR(1)时才有效。时才有效。如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同如果序列存在高阶滞后相关，这就违背了扰动项是独立同分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的分布的假设。在这种情况下，可以使用增广的DF检验方检验方法（法（augmented Dickey-Fuller test ）来检验含有高阶序列）来检验含有高阶序列相关的序列的单位根。相关的序列的单位根。 17 考虑考虑 yt 存在存在p阶序列相关，用阶序列相关，用p阶自回归过程来修正，阶自回归过程来修
16、正，在上式两端减去在上式两端减去 yt-1，通过添项和减项的方法，可得通过添项和减项的方法，可得其中其中 tptptttuyyyay2211tpiitittuyyay11111piipijji118 ADF检验方法通过在回归方程右边加入因变量检验方法通过在回归方程右边加入因变量 yt 的滞的滞后差分项来控制高阶序列相关后差分项来控制高阶序列相关 tpiitittuyyy11 tpiitittuyayy11 tpiitittuytayy11 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)19 扩展定义将检验扩展定义将检验 (5.3.14) 序列序列 yt可能还包含常数项和时间趋势项。可能还包含
17、常数项和时间趋势项。判断判断 的估计值的估计值 是接受原假设或者接受备选假设，进而是接受原假设或者接受备选假设，进而判断一个高阶自相关序列判断一个高阶自相关序列AR(p) 过程是否存在单位根。过程是否存在单位根。 类似于类似于DF检验，检验，Mackinnon通过模拟也得出在不同回通过模拟也得出在不同回归模型及不同样本容量下检验归模型及不同样本容量下检验 不同显著性水平的不同显著性水平的 t 统计统计量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平量的临界值。这使我们能够很方便的在设定的显著性水平下判断高阶自相关序列是否存在单位根。下判断高阶自相关序列是否存在单位根。 0:0:10HH20
18、但是，在进行但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际检验时，必须注意以下两个实际问题：问题： 通常采用通常采用AIC准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模型的拟合优度等。型的拟合优度等。 选择哪种形选择哪种形式很重要，因为检验显著性水平的式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下统计量在原假设下的渐近分布依赖于关于这些项的定义。的渐近分布依赖于关于这些项的定义。 21 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择若原序列中不存在单位根，
19、则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列的均值不为含有常数，意味着所检验的序列的均值不为0；若原序列；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数，意味着所检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检检验的序列具有线性趋势，一个简单易行的办法是画出检验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离验序列的曲线图，通过图形观察原序列是否在一个偏离 0 的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检的位置随机变动或具有一个线性趋势，进而决定是否在检验时添加常数项。验时添加常数项。 若原序列中不存在单位根，则检验回归形式选择若原序
20、列中不存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有线性趋势；若原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋原序列中存在单位根，则检验回归形式选择含有常数和趋势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否势，意味着所检验的序列具有二次趋势。同样，决定是否在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线在检验中添加时间趋势项，也可以通过画出原序列的曲线图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势图来观察。如果图形中大致显示了被检验序列的波动趋势呈非线性变化，那么便可以添加时间趋势项。呈非线性变化，那么便可以
21、添加时间趋势项。 22 在经验研究中，尽管在经验研究中，尽管DF检验的检验的DF 统计量是应用最广泛统计量是应用最广泛的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本的单位根检验，但是它的检验功效偏低，尤其是在小样本条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非条件下，数据的生成过程为高度自相关时，检验的功效非常不理想。另外，常不理想。另外，DF检验和检验和ADF检验对于含有时间趋势的检验对于含有时间趋势的退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进退势平稳序列的检验是失效的。因此，为了改进DF和和ADF检验的效能，检验的效能，Elliott，Rothenberg和和Stock (1996
22、) 基于基于GLS方法的退势方法的退势DF检验，简称为检验，简称为DFGLS检验，其基本原理如下：检验，其基本原理如下： 23 首先定义序列首先定义序列 yt 的拟差分序列如下：的拟差分序列如下： t = 1, 2, , T 并且构造如下回归方程：并且构造如下回归方程： t = 1, 2, , T (5.3.14)其中其中xt =(1) 表示表示 yt 中只含有截距项，或中只含有截距项，或 xt = (1,t) 表示表示 yt 中含有中含有截距项和趋势项。令表示方程截距项和趋势项。令表示方程(5.3.14)参数的最小二乘估计量，参数的最小二乘估计量，在实际计算中通常如下定义参数在实际计算中通常
23、如下定义参数 a： 11)|(1tifayytifyaydtttttttuaadayd)()|()|(x, 1/5 .1311/71tifTifTattxx24 利用方程利用方程(5.3.14)的估计参数定义退势后的序列的估计参数定义退势后的序列ytd为为 t = 1, 2, , T 然后，对退势后的序列然后，对退势后的序列ytd，应用，应用ADF检验，即为检验，即为DFGLS检验。检验过程如下：检验。检验过程如下： t = 1, 2, , T 原假设和备选假设同原假设和备选假设同ADF检验一致，为检验一致，为 Elliott，Rothenberg和和Stock (1996)给出了不同置信水给
24、出了不同置信水平下的临界值，平下的临界值，DFGLS检验同一般的检验同一般的ADF检验一样是左侧检验一样是左侧单边检验。单边检验。)(ayyttdtxtpiditidtdtuyyy111 0:0:10HH25 双击序列名，打开序列窗口，选择双击序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test，得到下图得到下图： 26 进行单位根检验必须定义进行单位根检验必须定义4项：项： 在在Test type的下拉列表中，选择检验方法。的下拉列表中，选择检验方法。EViews5提供提供了了6种单位根检验的方法：种单位根检验的方法： Augmented Dickey-Fuller(ADF) T
25、est Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP) Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test27 在在Test for unit root in中确定序列在中确定序列在下进行单位根检验。可以使用这个选项决下进行单位根检验。可以使用这个选项决定序列中单位根的个数。如果检验水平值未拒绝，而在定序列中单位根的个数。如果检验水
26、平值未拒绝，而在一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶一阶差分拒绝原假设，序列中含有一个单位根，是一阶单整单整I(1)；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，；如果一阶差分后的序列仍然未拒绝原假设，则需要选择则需要选择2阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分阶差分。一般而言，一个序列经过两次差分以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整以后都可以变为一个平稳序列，也就是二阶单整I(2)。 28 在在Include in test equation中定义在检验回归中是否中定义在检验回归中是否。这一选。这一选择很重要，因为检验统计量在原假设下的分布随这择很重要，因为检验统计量在原假设下的
27、分布随这3种种情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，情况不同而变化。在什么情况下包含常数项或者趋势项，刚才已经作了介绍。刚才已经作了介绍。29 在在Lag lenth这个选项中可以选择一些确定消除序列这个选项中可以选择一些确定消除序列相关所需的相关所需的的准则。一般而言，的准则。一般而言，EViews默认默认SIC准则。准则。 定义上述选项后，单击定义上述选项后，单击OK进行检验。进行检验。EViews显示显示检验统计量和估计检验回归。检验统计量和估计检验回归。 单位根检验后，应检查单位根检验后，应检查EViews显示的估计检验回归，显示的估计检验回归，尤其是如果对滞后算子结构或序
28、列自相关阶数不确定，尤其是如果对滞后算子结构或序列自相关阶数不确定，可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。可以选择不同的右边变量或滞后阶数来重新检验。 3031 例例5.7用用AR(1) 模型模拟模型模拟1983年年1月月2007年年8月月居民消费价格指数一阶差分居民消费价格指数一阶差分 CPI的变化规律。在用的变化规律。在用ADF进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有进行单位根检验前，需要设定序列的是否含有常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列常数项或者时间趋势项。我们可以通过画出原序列的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。的图形来判断是否要加入常数项或者时间趋势项。从图
29、从图5.7的的CPI图形可以看出不含有线性趋势项。图形可以看出不含有线性趋势项。CPI序列的序列的ADF检验结果检验结果(选择既无常数项也无趋势项选择既无常数项也无趋势项)如如下：下：321983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列单位序列单位根根ADF检验结果。可检验结果。可以看出不能拒绝原假以看出不能拒绝原假设，存在单位根。设，存在单位根。33 1983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列单序列单位根位根DF-GLS检验结检验结果。采用含有常数和果。采用含有常数和趋势项的形式。不能趋势项的形式。不能拒绝原假设，拒绝原假设， CPI序序列存在单位根。列存在单位根。34 检验结果显
30、示，检验结果显示，CPI序列序列接受原假设，因此，接受原假设，因此，CPI序列序列是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分是一个非平稳的序列。接着再对一阶差分 CPI序列序列进行单进行单位根检验，位根检验，ADF检验结果如下：检验结果如下： 检验结果显示，一阶差分检验结果显示，一阶差分 CPI序列序列拒绝原假设，接拒绝原假设，接受受 CPI序列是平稳序列的结论。因此序列是平稳序列的结论。因此，CPI序列是序列是1阶单整阶单整序列，即序列，即CPII(1)。 35 在图在图5.9中，我们可以观察到中，我们可以观察到1978年年2006年我国年我国GDP（现价，生产法）具有明显的上升趋势。在（现价，生
31、产法）具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含检验时选择含有常数项和时间趋势项，由有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（准则确定滞后阶数（p=4）。）。GDP序列的序列的ADF检验如下检验如下 ： 检验结果显示，检验结果显示，GDP序列序列以较大的以较大的P值，即值，即100%的概率接的概率接受原假设，即存在单位根的结论。受原假设，即存在单位根的结论。36 将将GDP序列做序列做1阶差分，然后对阶差分，然后对GDP进行进行ADF检验检验（选择含有常数项和时间趋势项，由（选择含有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶准则确定滞后阶数（数（p=6）如下）如下 ： 检验结果显示，检验结
32、果显示，GDP序列仍序列仍接受存在单位根的结论。接受存在单位根的结论。其他检验方法的结果也接受原假设，其他检验方法的结果也接受原假设，GDP序列存在序列存在单位单位根，是非平稳的。根，是非平稳的。 37 再对再对GDP序列做差分，则序列做差分，则2GDP的的ADF检验（选择检验（选择不含常数项和趋势项不含常数项和趋势项, 由由SIC准则确定滞后阶数（准则确定滞后阶数（p=6）如）如下：下： 检验结果显示，二阶差分检验结果显示，二阶差分序列序列2GDP在在1%的显著性的显著性水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确定定GDP序列是序
33、列是2阶单整序列，即阶单整序列，即GDP I (2)。 38 我们已经介绍了对于单整序列能够通过我们已经介绍了对于单整序列能够通过 d 次差分将非平稳次差分将非平稳序列转化为平稳序列。设序列转化为平稳序列。设 yt 是是 d 阶单整序列，即阶单整序列，即 yt I(d)，则，则 tdtdtyLyw)1 ( (5.3.40) wt 为平稳序列，即为平稳序列，即 wt I(0) ，于是可以对，于是可以对 wt 建立建立ARMA(p,q) 模型模型 qtqttptpttwwcw1111(5.3.41)39 用滞后算子表示，则用滞后算子表示，则 其中其中 ttLcwL)()(5.3.42)ppLLLL
34、2211)(qqLLLL2211)( 经 过经 过 d 阶 差 分 变 换 后 的阶 差 分 变 换 后 的 A R M A ( p , q ) 模 型 称 为模 型 称 为ARIMA(p,d,q) 模型模型(autoregressive integrated moving average models)，式（，式（5.3.42）等价于下式）等价于下式ttdLcyLL)()1 ( )(5.3.43)40 估计估计ARIMA(p,d,q)模型同估计模型同估计ARMA(p,q)具体的步具体的步骤相同，惟一不同的是在估计之前要确定原序列的差分骤相同，惟一不同的是在估计之前要确定原序列的差分阶数阶数d
35、，对，对 yt 进行进行 d 阶差分。阶差分。 因此，因此，ARIMA(p,d,q) 模型区别于模型区别于ARMA(p,q) 之处之处就在于前者的自回归部分的特征多项式含有就在于前者的自回归部分的特征多项式含有d个单位根。个单位根。因此，对一个序列建模之前，我们应当首先确定该序列因此，对一个序列建模之前，我们应当首先确定该序列是否具有非平稳性，这就首先需要对序列的平稳性进行是否具有非平稳性，这就首先需要对序列的平稳性进行检验，特别是要检验其是否含有单位根及所含有的单位检验，特别是要检验其是否含有单位根及所含有的单位根的个数。根的个数。 41 Box-Jenkins提出了具有广泛影响的建模思想，
36、能提出了具有广泛影响的建模思想，能够对实际建模起到指导作用。够对实际建模起到指导作用。 Box-Jenkins的建模思想的建模思想可分为如下可分为如下4个步骤：个步骤： （1）对原序列进行平稳性检验，如果序列不满足平）对原序列进行平稳性检验，如果序列不满足平稳性条件，可以通过差分变换（单整阶数为稳性条件，可以通过差分变换（单整阶数为d，则进行，则进行d阶差分）或者其他变换，如对数差分变换使序列满足平阶差分）或者其他变换，如对数差分变换使序列满足平稳性条件；稳性条件； （2）通过计算能够描述序列特征的一些统计量（如）通过计算能够描述序列特征的一些统计量（如自相关系数和偏自相关系数），来确定自相关
37、系数和偏自相关系数），来确定ARMA模型的模型的阶数阶数 p 和和 q，并在初始估计中选择尽可能少的参数；，并在初始估计中选择尽可能少的参数；42 （3）估计模型的未知参数，并检验参数的显著性，）估计模型的未知参数，并检验参数的显著性，以及模型本身的合理性；以及模型本身的合理性； （4）进行诊断分析，以证实所得模型确实与所观察）进行诊断分析，以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符。到的数据特征相符。 对于对于Box-Jenkins建模思想的第建模思想的第3、4步，需要一些统步，需要一些统计量和检验来分析在第计量和检验来分析在第2步中的模型形式选择得是否合步中的模型形式选择得是否合适，所需要
38、的统计量和检验如下：适，所需要的统计量和检验如下： （1）检验模型参数显著性水平的）检验模型参数显著性水平的（2）为保证）为保证ARIMA(p,d,q) 模型的平稳性，模型的平稳性，（3）模型的）模型的，可用，可用5.1节中的检验序列相关的方法检验。节中的检验序列相关的方法检验。43 可以直接在估计定义式中包含差分算子可以直接在估计定义式中包含差分算子D。例如：。例如：GDPI(2)，对，对GDP估计估计ARIMA(1,2,1)模型，可以输入列模型，可以输入列表：表： D(GDP, 2) c ar(1) ma(1) 使用因变量差分因子使用因变量差分因子D(GDP)定义模型，定义模型， EVie
39、ws将提将提供水平变量供水平变量GDP的预测值。的预测值。44 例例5.8用用ADF单位根检验得到结论：单位根检验得到结论：GDP序列是序列是2阶单整阶单整序列，即序列，即GDP I (2)。但是检验得到。但是检验得到GDP的对数序列的对数序列ln(GDP)是是1阶单整序列，所以本例建立阶单整序列，所以本例建立ln(GDP)序列的序列的ARIMA模型。首先观察模型。首先观察ln(GDP)序列的相关图（图序列的相关图（图5.10）。）。 45 ln(GDP)序列的自相关系数和偏自相关系数都在序列的自相关系数和偏自相关系数都在1阶阶截尾，则取截尾，则取模型的阶数模型的阶数 p =1 和和q =1，
40、建立，建立ARIMA(1,1,1) 模型模型(时间期间：时间期间：19782004年，年，2005和和2006年实际数据年实际数据不参加建模，留作检验）：不参加建模，留作检验）： 46 ln(GDPt) = 0.9ln(GDPt-1) + + 0.76 t = (8.98) (5.49) R2 = 0.54 D.W= 2.2 t1t 从图从图5.11的相关图中可以看出模型的残差不存在序列的相关图中可以看出模型的残差不存在序列相关，并且模型的各项统计量也很好。相关，并且模型的各项统计量也很好。47 图图5.12是这个模型的拟合和预测（静态）的结果，其中是这个模型的拟合和预测（静态）的结果，其中2
41、005年和年和2006年为预测结果。年为预测结果。 48 在前面介绍的在前面介绍的ARMA模型中要求经济时间序列模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非是平稳的，但是由于实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳平稳的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍趋势，使得序列平稳化后建立模型，这就是上节介绍的的ARIMA模型。但是变换后的序列限制了所讨论经模型。但是变换后的序列限制了所讨论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直接的经济意义
42、，使得化为平稳序列后所建立的时间序接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模型不便于解释。列模型不便于解释。 49 1987年年Engle和和Granger提出的协整理论及其方法，提出的协整理论及其方法，为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经为非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合济变量的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是平稳序列。却有可能是平稳序列。 例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具例如，消费和收入都是非平稳时间序列，但是具有协整关系。假如它们不具有，那么长期消费就可能有协整关系。假如它们不具有，那么
43、长期消费就可能比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积比收入高或低，于是消费者便会非理性地消费或累积储蓄。储蓄。50 假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么假定一些经济指标被某经济系统联系在一起，那么从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检从长远看来这些变量应该具有均衡关系，这是建立和检验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机验模型的基本出发点。在短期内，因为季节影响或随机干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时干扰，这些变量有可能偏离均值。如果这种偏离是暂时的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏的，那么随着时间推移将会回到均衡状态；如果这种偏离是
44、持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协离是持久的，就不能说这些变量之间存在均衡关系。协整整(co-integration)可被看作这种均衡关系性质的统计表示。可被看作这种均衡关系性质的统计表示。 协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们协整概念是一个强有力的概念。因为协整允许我们刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一刻画两个或多个序列之间的平衡或平稳关系。对于每一个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均个序列单独来说可能是非平稳的，这些序列的矩，如均值、方差或协方差随时间而变化，而这些时间序列的线值、方差或协方差随时间而变化，而这些时间序列的线性组合序列却可能有不随
45、时间变化的性质。性组合序列却可能有不随时间变化的性质。 51 下面给出协整的定义：下面给出协整的定义： k 维向量维向量 Y = (y1，y2，yk) 的分量间被称为的分量间被称为d,b阶协整，阶协整，记为记为Y CI (d，b)，如果满足：，如果满足： (1) y1，y2，yk都是都是 d 阶单整的，即阶单整的，即 yi I(d)，i=1,2,k ，要求要求 Y 的每个分量的每个分量 yi I (d)； (2) 存在非零向量存在非零向量 = ( 1, 2 , , k )，使得，使得 YI (d-b)，0bd 。 简称简称 Y 是协整的，向量是协整的，向量 又称为协整向量。又称为协整向量。 5
46、2 (1) 作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是不惟一的；不惟一的； (2) 协整变量必须具有相同的单整阶数；协整变量必须具有相同的单整阶数； (3) 最多可能存在最多可能存在 k-1个线性无关的协整向量个线性无关的协整向量 ( Y 的维的维数是数是 k )； (4) 协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成比例比例 。53 协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是协整检验从检验的对象上可以分为两种：一种是基于回归系数的协整检验，如基于回归系数的协整检验，如Johansen协整检验；另协整检验；另一种
47、是基于回归残差的协整检验，如一种是基于回归残差的协整检验，如CRDW检验、检验、DF检验和检验和ADF检验。检验。 本节将主要介绍本节将主要介绍Engle和和Granger（1987）提出的）提出的协整检验方法。协整检验方法。从协整理论的思想来看，自变量和因从协整理论的思想来看，自变量和因变量之间存在协整关系。变量之间存在协整关系。 54 也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解也就是说，因变量能被自变量的线性组合所解释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被释，两者之间存在稳定的均衡关系，因变量不能被自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差自变量所解释的部分构成一个残差序列，这个残差序
48、列应该是平稳的。序列应该是平稳的。 因此，检验一组变量（因变量和解释变量）之间因此，检验一组变量（因变量和解释变量）之间是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是是否存在协整关系等价于检验回归方程的残差序列是否是一个平稳序列。通常地，可以应用上节中的否是一个平稳序列。通常地，可以应用上节中的ADF检验来判断残差序列的平稳性，进而判断因变量和解检验来判断残差序列的平稳性，进而判断因变量和解释变量之间的协整关系是否存在。释变量之间的协整关系是否存在。 55 （1）若）若k个序列个序列y1t 和和y2t，y3t，ykt都是都是1阶单阶单整序列，建立回归方程整序列，建立回归方程 模型估计的残差为模
49、型估计的残差为 tktktttuyyyy33221ktkttttyyyyu3322156 （2）检验残差序列）检验残差序列t是否平稳，也就是判断序列是否平稳，也就是判断序列t是否含有单位根。通常用是否含有单位根。通常用ADF检验来判断残差序列检验来判断残差序列t是否是平稳的。是否是平稳的。 （3）如果残差序列）如果残差序列t是平稳的，则可以确定回归是平稳的，则可以确定回归方程中的方程中的k个变量（个变量（y1t，y2t，y3t，ykt）之间存在协）之间存在协整关系，并且协整向量为整关系，并且协整向量为 ；否则；否则（y1t，y2t，y3t，ykt）之间不存在协整关系。）之间不存在协整关系。 )
50、, 1 (32k57 协整检验的目的是决定一组非平稳序列的线性组合协整检验的目的是决定一组非平稳序列的线性组合是否具有协整关系，也可以通过协整检验来判断线性回是否具有协整关系，也可以通过协整检验来判断线性回归方程设定是否合理、稳定，这两者的检验思想和过程归方程设定是否合理、稳定，这两者的检验思想和过程是完全相同的。是完全相同的。 利用利用ADF的协整检验方法来判断残差序列是否平稳，的协整检验方法来判断残差序列是否平稳，如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的，如果残差序列是平稳的，则回归方程的设定是合理的，说明回归方程的因变量和解释变量之间存在稳定的均衡说明回归方程的因变量和解释变量之间
