1、4.2 4.2 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式要点梳理要点梳理1.1.下列各角的终边与角下列各角的终边与角 的终边的关系的终边的关系 角角 图示图示与与 角终角终边的关系边的关系)(2Zkk相同相同关于原点对称关于原点对称 关于关于x x轴对称轴对称基础知识基础知识 自主学习自主学习 角角 图示图示与与 角终角终边的关系边的关系22关于关于y y轴轴对称对称关于直线关于直线y y= =x x对称对称2.2.六组诱导公式六组诱导公式 六组诱导公式的记忆口诀为六组诱导公式的记忆口诀为: :函数名不函数名不( (改改) )变、变、 符号看象限符号看象限. .怎么看？就是把怎么看？就是把 看作锐
2、角时，看作锐角时， 原函数值的符号即为变化后的三角函数值的符号原函数值的符号即为变化后的三角函数值的符号. .组数组数一一二二三三四四五五六六角角正弦正弦余弦余弦正切正切口诀口诀 函数名不变符号看象限函数名不变符号看象限函数名改变函数名改变符号看象限符号看象限)(2Zkk22sinsincoscostantantantansinsincoscoscoscossinsin基础自测基础自测1.1.已知已知 则则tan tan x x等于（等于（ ） 解析解析 ),2 ,(,53)cos(xx3.D43.C34.B43.A,53cos)cos(xx.D,34tan,54sin).23,(. 053c
3、os故选此时xxxxD2.2.1cos)cos()sin(2原式的值为1)cos()cos()(sin2( )( )解析解析. 21cossin22D2 .D0 .Csin2 .B1 .A23.3.的值是的值是( )( ) 解析解析 )417sin()417cos(22.D0 .C2.B2.A)417sin()417cos(. 24sin4cos)4sin()4cos()44sin()44cos(A4. 4. 等于等于( )( ) 解析解析)23sin()5sin(, 2cossincossin则若103.D103.C103.B43.A, 3tan, 2cossincossin可得由.1031
4、tantancossincossin)cos)(sin()23sin()5sin(222C5. 5. . . 解析解析 )32sin(,32)6cos(则已知.32)6cos()6(2sin)6(2sin)32sin(32题型一题型一 三角函数式的化简三角函数式的化简 化简：化简： ( (k kZ Z).). 化简时注意观察题设中的角出现了化简时注意观察题设中的角出现了 需讨论需讨论k k是奇数还是偶数是奇数还是偶数. . 解解 )cos() 1sin() 1cos()sin(kkkk,k,)(2时当Znnkcos)sin()cos()sin()2cos() 12sin() 12cos()2s
5、in(nnnn原式题型分类题型分类 深度剖析深度剖析. 1,. 1)cos(sincossin)cos(sincos)sin() 12cos() 112sin() 112cos() 12sin(,)( 12; 1cossin)cos(sin原式综上原式时当nnnnnnkZ熟练应用诱导公式熟练应用诱导公式. .诱导公式的应用诱导公式的应用原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了原则是：负化正、大化小、化到锐角为终了. .知能迁移知能迁移1 1 解解 .)sin()cos()23sin()2cos()tan(:化简)sin()cos()2sin()(cos)tan(原式. 1sincoscossin
6、sincostansincos)cos(costansin)cos()2sin()cos()tan(题型二题型二 三角函数式的求值三角函数式的求值 ).2sin(2)2cos()12(已知分.)27sin(3)25cos(5)cos()(sin3的值求化简已知条件化简已知条件化简所求三角函数式化简所求三角函数式,用已知表示用已知表示代入已知求解代入已知求解 解解 ),2sin(2)2cos(3tan51tansincos3sin5cossin)2sin(3)2cos(5cossin)24sin(3)22cos(5cossin)27sin(3)25cos(5)cos()(sin. 2tan,co
7、s2sin),2sin(2sin23333即2 2分分4 4分分7 7分分解题示范解题示范 (1) (1)诱导公式的使用将三角函数式中诱导公式的使用将三角函数式中 的角都化为单角的角都化为单角. . (2) (2)弦切互化是本题的一个重要技巧弦切互化是本题的一个重要技巧, ,值得关注值得关注. .353) 14(714) 1(tan71tan)cos(sin7cossin)cos(sin7)cos(sinsin271sin23101sin222222222222229 9分分1212分分知能迁移知能迁移2 2 (1) (1)化简化简f f 解解 ;)sin()tan()tan()2cos()s
8、in()(f已知);(.)(,51)23cos(,)2(的值求且是第三象限角若f.cossintan)tan(cossin)() 1 (f. 652)(,652515cos,51sin,sin)23cos()2(22f题型三题型三 三角恒等式的证明三角恒等式的证明 观察被证式两端观察被证式两端, ,左繁右简左繁右简, ,可以从左可以从左 端入手端入手, ,利用诱导公式进行化简利用诱导公式进行化简, ,逐步地推向右边逐步地推向右边. . 证明证明 .tan)5sin()cos()6cos()2sin()2tan(:求证)sin()cos()cos()sin(tan左边.tansincoscos)
9、sin(tan原式得证右边 三角恒等式的证明在高考大题中并不三角恒等式的证明在高考大题中并不多见多见, ,但在小题中但在小题中, ,这种证明的思想方法还是常考的这种证明的思想方法还是常考的. .一般证明的思路为由繁到简或从两端到中间一般证明的思路为由繁到简或从两端到中间. .知能迁移知能迁移3 3 )4cos()3sin()23(cos)2(sin:33求证. 1)23cos()25sin(证明证明sincoscossin)sin(cos33左边.1sincossincos1sincossincos)sinsincos)(cossin(cos22原式成立右边方法与技巧方法与技巧同角三角恒等变形
10、是三角恒等变形的基础同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础, ,主要是主要是变名、变式变名、变式. .1.1.同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数 符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函 数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，数值时，进行开方时要根据角的象限或范围， 判断符号后，正确取舍判断符号后，正确取舍. .2.2.三角求值、化简是三角函数的基础三角求值、化简是三角函数的基础, ,在求值与化在求值与化 简时，常用方法有：（简时，常用方法有：（1 1）弦切互化法主要利用）弦切互化法主要利用 公式公式 化成正
11、弦、余弦函数；化成正弦、余弦函数；xxxcossintan思想方法思想方法 感悟提高感悟提高(2)(2)和积转换法和积转换法: :如利用如利用的关系进行变形、转化；的关系进行变形、转化；(3)(3)巧用巧用“1”1”的变换的变换: :注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化整式化. .cossin21)cos(sin2.4tan)tan11 (sin)tan1 (coscossin12222223.3.证明三角恒等式的主要思路有：证明三角恒等式的主要思路有：(1)(1)左右互推法左右互推法: : 由较繁的一边向简单一边化简；由较繁的一边向简单一
12、边化简；(2)(2)左右归一左右归一 法法, ,使两端化异为同；把左右式都化为第三个使两端化异为同；把左右式都化为第三个 式子；式子；(3)(3)转化化归法转化化归法: :先将要证明的结论恒等先将要证明的结论恒等 变形，再证明变形，再证明. .失误与防范失误与防范1.1.利用诱导公式进行化简求值时利用诱导公式进行化简求值时, ,先利用公式化任先利用公式化任 意角的三角函数为锐角三角函数意角的三角函数为锐角三角函数, ,其步骤其步骤: :去负去负 脱周脱周化锐化锐. . 特别注意函数名称和符号的确定特别注意函数名称和符号的确定. .2.2.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方在利用同角三角函数
13、的平方关系时，若开方, ,要要 特别注意判断符号特别注意判断符号. .一、选择题一、选择题1.1.（20092009全国全国文，文，1 1）sin 585sin 585的值为的值为( )( ) 解析解析 sin 585sin 585=sin(360=sin(360+225+225)=)= sin(180 sin(180+45+45)=)=23.D23.C22.B22.A.22A定时检测定时检测2.2.若若 、 终边关于终边关于y y轴对称轴对称, ,则下列等式成立的是则下列等式成立的是 （ ） A.sin =sin B.cos =cos A.sin =sin B.cos =cos C.tan
14、=tan D.sin =-sin C.tan =tan D.sin =-sin 解析解析 方法一方法一 、 终边关于终边关于y y轴对称，轴对称， + = +2 + = +2k k 或或 + =- +2+ =- +2k k , ,k kZ Z， =2 =2k k + - + - 或或 =2=2k k - - ,- - ,k kZ Z, , sin =sin . sin =sin . 方法二方法二 设角设角 终边上一点终边上一点P P（x x，y y）, ,则点则点P P关关 于于y y轴对称的点为轴对称的点为P P(-(-x x, ,y y),),且点且点P P与点与点P P到原到原 点的距离
15、相等设为点的距离相等设为r r，则，则.sinsinryA3.3.(2009(2009重庆文重庆文,6),6)下列关系式中正确的是下列关系式中正确的是( )( ) A.sin 11 A.sin 11cos 10cos 10sin 168sin 168 B.sin 168 B.sin 168sin 11sin 11cos 10cos 10 C.sin 11 C.sin 11sin 168sin 168cos 10cos 10 D.sin 168 D.sin 168cos 10cos 10sin 11sin 11 解析解析 sin 168sin 168=sin(180=sin(180-12-12)
16、=sin 12)=sin 12, , cos 10 cos 10=sin(90=sin(90-10-10)=sin 80)=sin 80. . 由三角函数线得由三角函数线得sin 11sin 11sin 12sin 12sin 80sin 80, , 即即sin 11sin 11sin 168sin 168cos 10cos 10. .C4.4.已知函数已知函数f f( (x x)=)=a asin( sin( x x+ )+ )+b bcos( cos( x x+ ),+ ),且且 f f(2 009)=3,(2 009)=3,则则f f(2 010)(2 010)的值是的值是 ( )( )
17、 A.-1 B.-2 C.-3 D.1 A.-1 B.-2 C.-3 D.1 解析解析 f f(2 009)=(2 009)=a asin(2 009 + )+sin(2 009 + )+ b bcos(2 009 + )cos(2 009 + ) = =a asin( + )+sin( + )+b bcos( + )cos( + ) =- =-a asin -sin -b bcos =3.cos =3. a asin +sin +b bcos =-3.cos =-3. f f(2 010)=(2 010)=a asin(2 010 + )+sin(2 010 + )+b bcos(2 010
18、 + )cos(2 010 + ) = =a asin +sin +b bcos =-3.cos =-3.C5.5. 解析解析 ,54)2sin(已知等于则cossincossin),2 ,23( )( ).54sin,54sin)2sin(.71cossincossin.53cos),2 ,23(又A7 .D7.C71.B71.A6.6. 解析解析 ,2,31)125cos(且已知等于则)12cos( )( )D)125(2cos)12cos(.322)12cos(,322)125sin(,12125127,2).125sin(又322.D31.C31.B332.A二、填空题二、填空题7.
19、7. 的值是的值是 . . 解析解析 )335cos()312cos(335cos)335cos(.213cos218. 8. 解析解析),23,(,178)cos(已知tan则 . .178cos,178cos)(cos.815cossintan.1715cos1sin. 0sin),23,(2又8159.9.已知已知 是方程是方程5 5x x2 2-7-7x x-6=0-6=0的根的根, , 是第三象限角是第三象限角, , 则则 解析解析 方程方程5 5x x2 2-7-7x x-6=0-6=0的两根为的两根为 sin)2sin()2cos()23cos()23sin( . ., 2,53
20、21xx.169cossintantancossin)sin(costancossin)2cos()2sin()(tan)2sin()2cos()23cos()23sin(,54cos,53sin222222得169)(tan2,是第三象限角由三、解答题三、解答题10.10.,31)3sin(已知.)23sin()cos()23sin()2cos(的值解解,31sin,31sin)3sin(.18)31(2sin2cos12cos11cos11coscoscoscos11cos)cos()23sin()2cos() 1cos(coscos2222原式 1)cos(cos)cos(求11.11.
21、)cos()sin(已知).2(cos)2(sin)2(;cossin) 1 (33解解,32)cos()sin(由. 0cossin. 0cos, 0sin,2,97cossin2,92cossin21,.32cossin又故得式两边平方将得).2(32:求下列各式的值.34cossin,916)97(1cossin21)cos)(sin1 (2.2722)1871 ()34()sinsincos)(cossin(cossincos)2(cos)2sin)2(22333312.12.是否存在角是否存在角, ,，其中，其中), 0(),2,2()3sin(使得等式)cos(3),2cos(2若存在，求出若存在，求出, ,的值；若不存在，请说的值；若不存在，请说明理由明理由. .解解假设满足题设要求的假设满足题设要求的，存在，则存在，则，cos2cos3sin2sin满足2 2+ +2 2，得，得sinsin2 2+3(1-sin+3(1-sin2 2)=2,)=2,.同时成立)cos(2.44,22.22sin,21sin2或即.6,0,23cos,4) 1 (得由时当.6,4,.,6,23cos,4)2(使两个等式同时成立存在综上可知故舍去式但不适合得由时当， 返回返回
