1、灵宝五高高一数学组灵宝五高高一数学组知识框架知识框架数数 列列等差数列等差数列等比数列等比数列通项公式通项公式前前 项和公式项和公式n通项公式通项公式前前 项和公式项和公式n数列的应用数列的应用由递推公式求通项由递推公式求通项数列求和数列求和由数列的前几项求通项由数列的前几项求通项由前由前 项和求通项项和求通项n通项公式通项公式1. . 数列的概念和简单表示法数列的概念和简单表示法zxxk了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、解了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、解析法）；析法）； 了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2. . 等
2、差数列、等比数列等差数列、等比数列理解等差数列、等比数列的概念理解等差数列、等比数列的概念.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式项和的公式.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题并能用有关知识解决相应的问题.了解等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系了解等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系.理解由递推公式求通项公式及数列求和的常用方法理解由递推公式求通项公式及数列求和的常用方法.考试要求考试要求从高考情况来看从高考情况来看, ,求数列的通项
3、公式主要有三种类型求数列的通项公式主要有三种类型: :(1)(1)给出数列前几项的值给出数列前几项的值, ,求通项公式求通项公式; ;(2)(2)给出数列的首项给出数列的首项( (或前几项或前几项) )和递推公式和递推公式, ,求通项公式求通项公式; ;(3)(3)给出数列的前给出数列的前n n项和公式项和公式S Sn n, ,求通项公式求通项公式. . 对于对于(1)(1)、(2)(2)两种类型两种类型, ,应先考虑是否为应先考虑是否为等差或等比等差或等比数列数列, ,或者能否转化为等差或等比数列或者能否转化为等差或等比数列, ,如是如是, ,则可利用则可利用等差等差( (或等比或等比) )
4、数列通项公式求解数列通项公式求解; ;若不是若不是, ,则可以考虑则可以考虑观察归纳法观察归纳法, ,通过对数列前几项的观察、分析通过对数列前几项的观察、分析, ,寻找寻找a an n与与n n之间的关系之间的关系, ,从而求出通项公式从而求出通项公式. . 对于第对于第(3)(3)类类, ,则可利用则可利用a an n与与S Sn n之间的关系求解之间的关系求解, ,但要但要注意分注意分n=1n=1和和n n 2 2两种情况计算两种情况计算, ,最后要验证两者能否最后要验证两者能否统一统一. .121112 34(2) 12132 4 6 821 1 1142 3 451 2 4 82(6)
5、1 4 9 1671 1 1 11nnnnnnnnn;(an)(an), , ,(an), ,(a)n, , ,(a), , ,;(an )( ), ,.(a() （）自自然然数数列列： ， ， ， ，奇奇数数列列： ，3 3, ,5 5, ,7 7, , ；（）偶偶数数列列： ， ；（） 倒倒数数列列： 1 1, , ，；（） 数数列列： ；数数列列： 数数列列： 或或11nna() 要要熟熟知知一一些些常常见见数数列列的的通通项项公公式式. .251017,.(1)0 3 8 15 2421 713 1921017 26373137911134 9 99 999 99995 3 33 33
6、3 33337 77 777 7777(7)3, 5, 3, 5, 3, 5,;(8)2 ,4 ,6 ,.8根根据据下下列列各各数数列列的的前前几几项项的的值值 写写出出数数列列的的一一个个通通项项公公式式， ， ， ；（ ） ， ， ， ；（ ） ， ， ， ， ；（ ）， ， ； （ ）， ， ；（6 6）， ， ；例例1 1;(9) 25 2 211 ， ， ； 点评点评 求通项公式主要有（求通项公式主要有（1）观察法（也称不完全归纳法）；）观察法（也称不完全归纳法）； （2）公式法（等差或等比）公式法（等差或等比）.题型一题型一 已知数列的前几项，求通项公式：已知数列的前几项，求通项公
7、式： 22nnn2n1nnnnnnnnnn1nn(1)a2 a(6n5);n13a2n14 a15 a37a9(7)a4;(8)a;(9)a2(n1)33n1 解解 ：= =n n - -1 1；（ ）= =( (- -1 1) )（ ）= =( (- -1 1) )；（ ）= =1 10 0 - -1 1；（ ）= =( (1 10 0 - -1 1) )；（ 6 6）= =( (1 10 0 - -1 1) )；= =( (- -1 1) )= =( (2 2n n) )= =n点点评评: :（1 1）观观察察各各部部分分与与项项数数 的的观观察察法法用用不不完完全全归归纳纳根根据据数数列
8、列的的前前若若干干项项求求通通项项公公式式, ,常常用用. .( (如如符符号号, ,绝绝对对值值, ,分分子子, ,分分母母, ,底底数数, ,指指数数等等) ), ,然然后后, ,最最后后得得出出通通项项公公式式；（2 2）若若某某一一部部分分成成等等差差数数列列或或等等比比数数列列, ,就就直直接接用用等等差差、等等比比数数列列的的通通项项公公式式；（3 3）要要通通常常先先将将熟熟知知一一些些每每项项分分解解成成几几部部分分常常见见数数列列的的通通法法关关系系项项公公式式. .注意注意“三定三定”： -定符号定符号 -定分子、分母或底数、指数定分子、分母或底数、指数 -确定项与项数的关
9、系确定项与项数的关系题型二题型二:等差或等比数列的通项公式求法等差或等比数列的通项公式求法（公式法）公式法） 当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。公比。学科网等差数列的通项公式等差数列的通项公式：1(1)naand等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： 11nnqaaqqbb2213)2( 例：已知数列例：已知数列anan是公差为是公差为d d的等差数列，数列的等差数列，数列bnbn是公比为是公比为q(qRq(qR且且q1)q1)的等比数列，若函数的等比数
10、列，若函数f f(x)(x)=(x=(x1)1)2 2，且，且a a1 1=f=f(d(d1)1)，a a3 3=f=f(d+1)(d+1)，b b1 1=f=f(q+1)(q+1)，b b3 3=f=f(q(q1)1)，求数列，求数列 a an n 和和 b bn n 的通项公式；的通项公式；解：解：(1)a(1)a1 1=f=f(d(d1)1)=(d=(d2)2)2 2，a a3 3=f=f(d+1)(d+1)=d=d2 2，aa3 3a a1 1=d=d2 2(d(d2)2)2 2=2d=2d，d=2d=2，aan n=a=a1 1+(n+(n1)d=2(n1)d=2(n1)1)；又又b
11、 b1 1=f=f(q+1)(q+1)=q=q2 2，b b3 3=f=f(q(q1)1)=(q=(q2)2)2 2， =q =q2 2，由，由qRqR，且，且q1q1，得，得q=q=2 2，bbn n=b=b1 1qqn n1=4(1=4(2)2)n n1 1)(1nfaann 类型类型1求法：累加法求法：累加法若数列若数列a an n , ,满足满足 , ,其中其中f f(n)(n)是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求a an n，适用于差为特殊数列的数列。适用于差为特殊数列的数列。.),2( 12,2, 1,11的通项公式的通项公式求数
12、列求数列有有时时当当已知已知中中在数列在数列 nnaanaannn例例题型三题型三 由递推公式求通项公式的方法：由递推公式求通项公式的方法： )(1nfaann )(1nfaann 类型类型2求法：累乘法求法：累乘法.),2,()1(, 1,11的通项公式的通项公式求数列求数列有有已知已知中中在数列在数列nnnnanNnannaaa 例例)1, 0(1 ppqpaann.),1(32, 1,11的通项公式的通项公式求数列求数列若若中中已知数列已知数列nnnnanaaaa 例例.,),(.:1求通项求通项化为等比数列化为等比数列为待定系数为待定系数其中其中令令待定系数法待定系数法求法求法 nnn
13、a apa类型类型3类型类型 4nnS已已知知=f(n),=f(n),求求通通项项a a 1112nnnnnSnaSSnSan 利利用用数数列列的的前前 项项和和与与通通项项 的的关关系系注意注意:此类题在求通项时此类题在求通项时,要分两种情况计算要分两种情况计算, 最后看两者能否统一最后看两者能否统一. 2123232nnnnnaS,Snn;S已已知知下下面面各各数数列列的的前前项项和和的的公公式式求求的的通通项项公公式式. .1 1例例 、注意注意:此类题在求通项时此类题在求通项时,要分两种情况计算要分两种情况计算, 最后看两者能否统一最后看两者能否统一. 11nn2nnanSlogS+
14、1n,a . 练练 ：已已知知数数列列的的前前 项项和和满满足足求求通通项项公公式式)(nnafS .,N),2()1(6, 11的通项公式的通项公式求求且且满足满足项和项和的前的前列列已知各项均为正数的数已知各项均为正数的数nnnnnnanaaSSSna 例例.,2:1的递推关系求解的递推关系求解或或化为化为时时利用利用求法求法nnnnnSa SSan 类型类型5)1, 0)(1 ppnfpaann.),(22, 111的通项公式的通项公式求数列求数列中中在数列在数列nnnnnaNnaaaa 例例.)(:111后累加法求解后累加法求解待定系数法或化为待定系数法或化为求法求法 pnfpapan
15、nnnn 类型类型6., 12通项公式通项公式的的求求项和项和的前的前是是其中其中满足满足已知数列已知数列nnnnnnanaSnaSa 例例63类型类型7 73类型类型7 7),(1均不为零均不为零rqprqapaannn .,12, 1,111的通项公式的通项公式求求中中已知数列已知数列nnnnnaSSSaa 例例7.3,;,:求通项求通项则化为类型则化为类型若若通项通项则化为等差数列求则化为等差数列求若若倒数法倒数法求法求法rp rp 类型类型8作业作业（自由选择）（自由选择） 111,5.nnnnaaaaa例2、在数列中，求 112,4.nnnnaaaaa练习、在数列中，求3、根据下列条
16、件，求出数列的通项公式：1111,32;nnaaa（ ）1121,23;nnaaa（ ）11131,1;2nnaaa（ ）11141,2;3nnaaa（ ） 2 2、1 1、作业作业（自由选择）（自由选择）6、根据下列条件，求出数列的通项公式：、根据下列条件，求出数列的通项公式：11213,(2)21nnnaaann5、根据下列条件，求出数列的通项公式：、根据下列条件，求出数列的通项公式：11111,(2);nnnaaann （ ）4、根据下列条件，求出数列的通项公式、根据下列条件，求出数列的通项公式：11111,2;nnnaaa （ ）作业作业（自由选择）（自由选择） 2123232nnnn
17、naS,Snn;S 已已知知下下面面各各数数列列的的前前项项和和的的公公式式求求的的通通项项公公式式. .1 1例例 、 11nn2nnanSlogS + 1n,a . 练练 ：已已知知数数列列的的前前 项项和和满满足足求求通通项项公公式式 7 7、 8 8、作业作业（自由选择）（自由选择） 1nnnnaSaa . 例例2 2：在在数数列列中中，已已知知2 2（n n+ +2 2) )求求通通项项公公式式 1123111111231,(),.nnnnaaaaaanna 已已知知数数列列满满足足a a求求数数列列的的通通练练 . .项项公公式式1 1 9 9、 10 10、 11 11、已知数列
18、、已知数列 满足满足 ， ，求数列求数列 的通项公式。的通项公式。组卷网1232nnnaa作业作业（自由选择）（自由选择）12a na na 1212、已知数列、已知数列aan n 中，中，a a1 1=1,a=1,an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求数列求数列aan n 的通项公式的通项公式. 有关的数学名言有关的数学名言 数学知识是最纯粹的逻辑思维活动，以及最高级智能活力美学体现。普林舍姆历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。培根数学是最宝贵的研究精神之一。华罗庚没有哪门学科能比数学更为清晰地阐明自然界的和谐性。卡罗斯数学是规律和理论的裁判和主宰者。本杰明
