1、一、函数列的一致收敛一、函数列的一致收敛函数列的逐点收敛函数列的逐点收敛 收敛收敛定义于定义于)(,00 xfbaxbafnn .,上上收收敛敛或或逐逐点点收收敛敛在在称称bafn. , ),()(lim000baxxfxfnn 即即,fbafn逐点收敛于逐点收敛于在在设设,),(, 0),(, 000时时当当 xNnxN ,0baxNnN 时时对对一一切切是是否否有有公公共共的的?)()(00 xfxfn都有都有 )()(00 xfxfn. , ),()(lim000baxxfxfnn 即即 ( )0 N？2 2 一致收敛一致收敛定义：定义： ,fIfn上逐点收敛于上逐点收敛于在点集在点集设
2、设, )( Nx无关无关与与 ,)()( xfxfn都有都有 .fIfn上一致收敛于上一致收敛于在在称称, 0 若若, .IxNnts 对一切对一切时时当当2 2 一致收敛一致收敛定理定理1.1. 0lim nnnfIf 上上一一致致收收敛敛于于在在)()(sup :xfxfnIxn 记记通常用于通常用于证明不一致收敛证明不一致收敛例例3.3.),(1)(22上一致收敛上一致收敛在在求证求证 xnxxfn证明：证明：),( x. 0, 01lim)(lim22逐点收敛于逐点收敛于 xnxxfnnnnxnxnnxnxxfxfn2112211)()(2222 . 021)()(sup),( nxf
3、xfnxn ).,(, 0)( xxfn一致收敛于一致收敛于例例4.4.上上是是否否一一致致收收敛敛？和和在在), 1()1 , 0(1)(22 xnnxxfn解：解：. 0)(lim , xfxnnnnxxnnxxnnxxfxfn111)()(2222 ,211110)1()()(sup)1 ,0( nfxfxfnnxn 而而一致收敛一致收敛01)()(sup), 1( nxfxfnxn ,1时时当当 x故在故在(0,1)(0,1)上不一致收敛上不一致收敛. ., 0(0,1)x定理定理2.2.)(收敛原理收敛原理Cauchy , Ifn定义于定义于设设 上一致收敛上一致收敛在在Ifn,N,
4、)(),(, 0* pIxNnN时时当当 .)()( xfxfnpn都有都有二、函数项级数的一致收敛二、函数项级数的一致收敛1.1.定义定义: :, )()(,)(11 nkknnnxuxSIxu定义于定义于),()(xSIxSn上一致收敛于上一致收敛于在在若若).()(1xSIxunn上一致收敛于上一致收敛于在在则称级数则称级数 2.Cauchy2.Cauchy收敛原理收敛原理: : )()(1xSIxunn上一致收敛于上一致收敛于在在),(, 0 N .)()(,N,1* xuxupIxpnn,)(时时 Nn 3.3.推论推论 (Cauchy(Cauchy定理中定理中 p=1)1). 0)
5、(,)(1上一致收敛于上一致收敛于在在则则上一致收敛上一致收敛在在IxuIxunnn 逆否逆否: :.)(, 0)(1不一致收敛不一致收敛不一致趋于不一致趋于若若 nnnxuxunsup( )0nx Iuxnlim0n例例5.5.)., 0(,1 xnennx解解: :( )0nxnuxne证明不一致收敛于故级数在故级数在(0,+)(0,+)上不一致收敛上不一致收敛! !n00sup( )0supnxnxxuxne1( )nnune三、一致收敛的判别三、一致收敛的判别1. Weierstrass判别法 ,Ixan 使使得得对对若若存存在在收收敛敛的的正正项项级级数数.)(上一致收敛上一致收敛在
6、在则则Ixun ),(控制判别法控制判别法判别法判别法M,)( nnaxu 都有都有的的称为是称为是 11)(nnnnxua优级数优级数, ,强级数强级数, ,控制级数控制级数2.2.Dirichlet和和Abel判别法判别法 1)()(nnnxbxaDirichlet判别法判别法若在若在I I上上 . 0,)(一致收敛于一致收敛于单调单调对固定的对固定的xxbn.)(1上一致有界上一致有界的部分和在的部分和在Ixann .)()(1上一致收敛上一致收敛在在则则Ixbxannn 1)()(nnnxbxa例例1010.2 ,sin,cos11上一致收敛上一致收敛在在证明证明 nnnnxnnx证明
7、：证明：则则取取,1,cosnbnxann ( )0.nb x 单调减，一致趋于2sin12sin1cos)(11 xkxxanknkk一致有界一致有界.2 ,cos1上一致收敛上一致收敛在在 nnnx 0Abel判别法判别法设设 ;,)( . 1上一致有界上一致有界在在单调单调对固定对固定Ixxbn.)( . 21上一致收敛上一致收敛在在Ixann 则则.)()(1上一致收敛上一致收敛在在Ixbxannn .,)(IxMxbn 1)()(nnnxbxa例例11.11.), 0,arctan)1(ln)2()1(2 xnxxnxnnnn解：解：一致收敛一致收敛 2ln)1(nnn21111nn
8、nnxbxx 2,)(), 1 递减递减固定固定xbxn0,1,( )2.nxb x固定递增.), 012)1(2一致收敛一致收敛在在 nnnnxxn ,2arctan, 单增单增固定固定对对nxx.), 0arctan12)1(2上一致收敛上一致收敛在在 nnnnnxxxn.), 012)1(2一致收敛一致收敛在在 nnnnxxn10.3 10.3 极限函数与和函数的性质极限函数与和函数的性质一、连续性一、连续性定理定理1.1.一致一致且且上连续上连续在在)(,)(xfIxfnn.)(上连续上连续在在则则Ixf定理定理1 1),()(1xSIxunn上一致收敛于上一致收敛于在在 .)(,)(
9、IInCxSCxu 则则若若),(xf收敛于收敛于.)(,)(IInCxSCxu 则则若若例例1.1. .）一致收敛，）一致收敛，在（在（ 12cosnnnx连续连续在在),()(xS.)(lim,cos3)(120 xSxnxxSxnnn 求求 ,3)(nnxxu .2, 2,32| )(| ,2一致收敛一致收敛在在时时 nnxux,2, 2)(连续连续在在 xS433)1()1()(01lim nnnxSxS例例2. 2. 内闭一致收敛内闭一致收敛.,), 0()(1不一致收敛不一致收敛在在 nnxnexS一一致致收收敛敛但但是是在在), .不一致收敛不一致收敛在在),(ln)(2 nnn
10、xxS).,()(, CxSM任意性任意性由由连连续续在在一一致致收收敛敛但但在在,)(,MMxSMM .), 0()(,),)(连续连续在在任意性任意性由由连续连续在在xSxS 二、逐项积分二、逐项积分1.1.函数列：函数列：定理定理3 3：极限与积分交换极限与积分交换 ),()(,xfxfbaRfuninn 且且设设 babannxxfxxfd)(d)(lim且且 则则且且设设),(,xffbaCfuninn babannxxfxxfd)(d)(lim推论推论,baRf 则则2.2.级数形式：级数形式：定理定理33, ,)( ),()(1baRxuxSxunnn 一致收敛一致收敛设设 ba
11、nbannnxxuxxubaRxS11d)(d)(,)(且且则则推论推论,)(,)(1baCxubaxunnn 一致收敛一致收敛在在设设 11d)(d)(nbanbannxxuxxu则则基本要求基本要求: : 一致收敛一致收敛+ +可积可积可逐项积分可逐项积分三、逐项求导三、逐项求导 1.1.函数列形式：函数列形式：定理定理4 4：,baCfn 设设( ) , ( ),nfxa bg x在一致收敛于 收敛收敛)(,00 xfbaxn ),(,)(xfbaxfn上一致收敛于上一致收敛于在在则则 ),()( xgxf ,bax 且对且对.)(lim)(lim xfxfnnnn 即即定理定理44:)
12、(1满足条件满足条件如如 nnxu, )(,)(1xgbaxunn上一致收敛于上一致收敛于在在 2.2.函数项级数形式：函数项级数形式：,baCun ,)(01处收敛处收敛至少一点至少一点xxunn ( ) , ,( ) , ,nuxa bS xC a b则在一致收敛 其和),()( xgxS 且且即：即： 11)()(nnnnxuxu(Dini定理定理) )定理定理2 2 ,)(baxbaCxfn 如任意给定如任意给定 . 0)(一致收敛于一致收敛于则则xfn, 0)(递减递减xfn?)(级数一致收敛级数一致收敛连续连续xS ,)(baxbaCxfn 如任意给定如任意给定定理定理22 ),(
13、,)(xfbaCxfn且函数收敛于且函数收敛于 ,)(,单调单调若对任意给定若对任意给定xfxn ).(,)(xfbaxfn上一致收敛于上一致收敛于在在则则定理定理2 2（级数形式）（级数形式）1( ),( ) , ( )0.nnnnuxuxC a bux且1( ) , ,( ) , .nnS xC a buxa b若其和则在上一致收敛,baCf 二、幂级数的性质二、幂级数的性质1. 1. 代数性质代数性质bnnnannnRxbRxa的收敛半径为的收敛半径为收敛半径为收敛半径为设设 00 , 000)(nnnnnnnnnnxbxaxba;),(上成立上成立在在RR .),(Cauchy000上
14、绝对收敛上绝对收敛在在乘积乘积的的和和RRxcxbxannnnnnnnn .,min baRRR 记记0nln llcab2.2.内闭一致收敛性内闭一致收敛性定理定理4 4：.0 0 RRxannn，的收敛半径为的收敛半径为设设内的任何闭子区间内的任何闭子区间),(RR ,ba上一致收敛上一致收敛. .则则在在，和函数为，和函数为收敛半径为收敛半径为设设)(0 xSRxannn ,),()(内连续内连续在在则则RRxS 注注: :中中有有而而且且在在),(RR ,)1()1()()( knknnkxaknnnxS:任意阶导数任意阶导数, 2 , 1 k但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,
15、在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“坏坏”, , 但不可能变但不可能变“好好”. .定理定理5 5：的的尽尽管管)()(xSk收收敛敛半半径径不不变变3.3.分析性质分析性质-连续、逐项可导连续、逐项可导设幂级数设幂级数 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为,R.0 R若若 0nnnRa收敛收敛, 则则;lim000 nnnnnnRxRaxa若若 0)(nnnRa收敛收敛, 则则.)(lim000 nnnnnnRxRaxa(Abel(Abel第二定理第二定理) ) 定理定理6 6：3.3.分析性质分析性质-收敛收敛区间端点处的区间端点处的左，右连续左，右连续0( )(, ), , nnna xS xR R的的和和函函数数在在内内可可积积 且且可可逐逐项项积积分分 010001dd)(nnnnxnnxxnattattS积分后幂级数积分后幂级数收敛半径不变收敛半径不变, ,定理定理7 7：, ),(RRx 即对即对但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“好好”, , 但不可能变但不可能变“坏坏”. .注注: :3.3.分析性质分析性质-逐项可积逐项可积
