1、1性质性质 4 的逆命题不成立，的逆命题不成立，即即若若E (X Y) = E(X)E(Y)，X ,Y 不一定不一定相互独立相互独立.反例反例X Y pij-1 0 1-1 0 181818181818181810p j838382pi838382注注2X Y P -1 0 1828284; 0)()(YEXE; 0)(XYE)()()(YEXEXYE但但0)0, 0(YXP282)0()0(YPXP3若若X 0，且，且EX 存在，则存在，则EX 0。推论推论: : 若若 X Y，则，则 EX EY。证明：设证明：设 X 为连续型，密度函数为为连续型，密度函数为f (x), 则则由由X 0 得
2、：得：,0, 0)(xxf所以所以.0)()(0dxxfxdxxfxEX证明证明：由已知：由已知 Y - X0，则，则 E(Y - X) 0。而而E(Y - X) = E(Y)-E(X), 所以，所以，E(X) E(Y)。49253310230) 5 ()()(2)(3) 523 (EYEXYEXEYXYXE 性质性质2 2和和3 353)()(2103YEXE性质性质4 4例例1.1.设设 XN(10,4)，YU1,5，且，且X与与Y相互独立，求相互独立，求 E(3X2XYY5)。 解：解：由已知，由已知， 有有 E(X)10, E(Y)3.5例例2.(.(二项分布二项分布 B(n,p) 设
3、单次实验成功的概率设单次实验成功的概率是是 p，问，问n次独立重复试验中，期望几次成功？次独立重复试验中，期望几次成功？解解: 引入引入.)()()(21npXEXEXEEXn次试验不成功。第次试验成功，第iiXi, 0, 1则则 X X1+ X2 + Xn 是是n次试验中的成功次数。次试验中的成功次数。因此因此，这里，这里， XB(n,p)。6例例3. .将将4 个可区分的球随机地放入个可区分的球随机地放入4个盒子中个盒子中,每每盒容纳的球数无限盒容纳的球数无限,求空着的盒子数的数学期望求空着的盒子数的数学期望. . 解一解一: :设设 X 为空着的盒子数为空着的盒子数, , 则则 X 的概
4、率分布为的概率分布为X P0 1 2 344! 44424131441444! 2 CCC444244844) 22 ( C4414444 C64814434842414414240)(4444 XE7解二解二: : 再引入再引入 X i , i = 1,2,3,4.其它，盒空，第, 0, 1iXi4321XXXXXXi P 1 04434431443)(iXE6481434)(4XE8例例4.4.将将n个球放入个球放入M个盒子中个盒子中, ,设每个球落入各设每个球落入各个盒子是等可能的个盒子是等可能的, ,求有球的盒子数求有球的盒子数X的期望。的期望。解解: : 引入随机变量引入随机变量:
5、:MiiiXi,2,101 个个盒盒子子中中无无球球若若第第个个盒盒子子中中有有球球若若第第则则 X=X1+X2+XM , 于是于是 E(X) = E(X1)+E(X2)+ +E(XM) . . 每个随机变量每个随机变量Xi 都服从两点分布都服从两点分布, ,i =1,2,M. .9因为因为每个球落入每个盒子是等可能的均为每个球落入每个盒子是等可能的均为1/M, ,所以，所以，对第对第i个盒子个盒子, ,没有一个球落入这个盒子没有一个球落入这个盒子内的概率为内的概率为(1-(1-1/M).).故，故，n个球都不落入这个盒子内的概率为个球都不落入这个盒子内的概率为(1-1/M)n , ,即即:
6、:.,2,1.)11(11,)11(0MiMXPMXPnini .,2,1,)11(1)(MiMXEni 10.)11(1)()()()()(2121 nMMMMXEXEXEXXXEXE注：注：129页页4.27以此题为模型以此题为模型。.,2,1,)11(1)(MiMXEni 11例例5.5.用某台机器生产某种产品，已知正品率随用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降，即着该机器所用次数的增加而指数下降，即P第第k次生产出的产品是正品次生产出的产品是正品= =. 0, 2 , 1,kek假设每次生产假设每次生产100100件产品，试求这台机器前件产品，试求这台机器
7、前1010次生产中平均生产的正品总数。次生产中平均生产的正品总数。解：解：设设X是前是前1010次生产的产品中的正品数，并设次生产的产品中的正品数，并设1011001.X ,100,2 , 1,10,2 , 1.0, 1kikikiXikikX则否则，件产品是正品；次生产的第第12所以分布，的服从而,100, 2 , 1.)() 10(ieXEepXkkikki例例5.5.（续）（续）eeeeXEXEkkkikkki1)1 (100e 100100)()(10101101100110113例例6. 某厂家的自动生产线，某厂家的自动生产线， 生产一件正品的生产一件正品的概率为概率为 p (0p1
8、)，生产一件次品的概率为，生产一件次品的概率为q=1-p。生产一件产品的成本为。生产一件产品的成本为c元，正品的元，正品的价格为价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利一件正品获利sc元，元， 生产一件次品亏损生产一件次品亏损c元（假定每个产品的生产过程是相互独立的元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。）。 若生产了若生产了N件产品，问厂家所获利润的件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？期望值是多少？14解解：设第：设第j j个产品的利润个产品的利润js-cjY-c, jj1,2,N， 第 个 产 品 是 正 品 ，第 个 产 品 是 次 品 。
9、，。jN12N EYsc p cq sp c j 1 2.N ESEY EYEYN sp c由于 ， ， ，因此，.+ 。则则 为为N件产品的总利润。件产品的总利润。N12NYYYS.+Yj-cs-cPqp由已知由已知15 前面我们介绍了随机变量的数学期望，前面我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均，是随机变它体现了随机变量取值的平均，是随机变量的一个重要的数字特征量的一个重要的数字特征. . 但是在一些场合，仅仅知道随机变量但是在一些场合，仅仅知道随机变量取值的平均是不够的取值的平均是不够的. .4.2 随机变量的方差随机变量的方差16例如例如, ,甲、乙两门炮同时向一目标
10、射击甲、乙两门炮同时向一目标射击1010发发炮弹，其落点距目标的位置如图：炮弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢? ?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，因为乙炮的弹着点较集中在中心附近，所以乙炮的射击效果好所以乙炮的射击效果好. . 中心中心中心中心17 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征, ,用它用它来度量来度量随机变量取值在其中心附近的离随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度. .这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差18设随机变量设
11、随机变量X的数学期望为的数学期望为E(X), 若若E(X-E(X)2存在存在, 则称它为则称它为X 的方差（此时，的方差（此时，也称也称X的方差存在的方差存在)，记为，记为Var(X) 或或D(X) , 即即定义定义称称Var(X) 的算术平方根的算术平方根 为为X的的标准差或均方差标准差或均方差，记为，记为 (X). A. 方差的概念方差的概念Var (X)=E(X-E(X)2) )a ar r( (XV19若若X的取值比较分散，则方差较大的取值比较分散，则方差较大. .刻划了随机变量的取值相对于其数学期望刻划了随机变量的取值相对于其数学期望的离散程度。的离散程度。若若X的取值比较集中，则方
12、差较小；的取值比较集中，则方差较小；Var(X)=EX-E(X)2 方差方差20注意：注意： 1) Var(X) 0，即方差是一个非负实数。，即方差是一个非负实数。2）当）当X 服从某分布时，我们也称某分布服从某分布时，我们也称某分布的方差为的方差为Var(X)。3) 方差是刻划随机变量取值的分散程度的方差是刻划随机变量取值的分散程度的一个特征。一个特征。21方差的计算公式方差的计算公式(1)(1)若若 X 为离散型，概率分布为为离散型，概率分布为, 2 , 1,)(kpxXPkk12)()(kkkpXExXVar(2)(2)若若 X 为连续型，概率密度为为连续型，概率密度为 f (x), 则
13、则dxxfXExXVar)()()(2则则22方差的计算公式方差的计算公式常用的公式：常用的公式：证明证明: :)()()()(2)()()(2()()(22222222XEXEXEXEXEXEXXEXEXEXEXVar23 常见随机变量的方差常见随机变量的方差 (1)(1) 参数为参数为p 的的 01分布分布 概率分布为：概率分布为：前面已经计算过：前面已经计算过：E(X)=p，又，又.1)0(,) 1(pXPpXP所以所以.) 0(0) 1(1)(222pXPXPXE.)()(222pqppEXXEXVar24 概率分布为：概率分布为： 已计算过：已计算过：E(X)=np，又，又., 1,
14、 0,)(nkqpCkXPknkkn 所以所以.) 1() 1()!()!2()!2)(1() 1()1()(2202)2(222222)2(22202nppnnnpqpCpnnnpqpknknnnnpqpCkkEXXXEXEnkknkknnkknknkknkkn.)()(22npqEXXEXVar (2)(2)二项分布二项分布B(n, p)25 概率分布为：概率分布为： 已计算过：已计算过：E(X)=，又，又., 2, 1, 0,!)(kekkXPk 所以所以.!)!2(!)1()1()(20222202ekekekkkEXXXEXEkkkkkk.)()(22EXXEXVar (3)(3)泊
15、松分布泊松分布P()26 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X)=(a+b)/2，又，又.,0,1)(其其它它bxaabxf 所以所以bababadxabxdxxfxXE31)()(22222.12)()()(222abEXXEXVar (4)(4)区间区间 a,b 上的均匀分布上的均匀分布U a,b 27 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X)=1/，又，又. 0,0; 0,)(xxexfx 所以所以.222)(2| )()()(2000020222dxexdxxedxexexdxexdxxfxXExxxxx.1)()(222 EXXEXVar (5) (5)
16、 指数分布指数分布E()2822222222222)(222222222121| )21)(2121)()()( dyedyeeydyeydxexEXXEXVaryyyyxyx 概率密度为：概率密度为： 已计算过：已计算过：E(X) = ，所以，所以222)(21)(xexf (6) (6) 正态分布正态分布N( , 2)29例例7. 设设0, 0, 0,ln)(,21,21XXXXgYUX求求 E (Y ), D(Y ).解解:dxxfxgYEX)()()( 21211)(dxxg2101lndxx2121ln21212ln2130 dxxfxgYEX)()()(22 21021lndxx2
17、ln12ln2121ln121ln2122)()()(22YEYEYD22212ln212ln12ln21432ln212ln41231例例8. 已知已知 X 的密度函数的密度函数为为其它, 0, 10,)(2xBxAxxf其中其中 A，B 是常数，是常数，且且 E( X) = = 0.5. .(1) 求求 A，B.(2)(2)设设 Y=X2, 求求 E(Y), D(Y). .32解解: (1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA6, 6BA33(2)103)66()()()(102222dxxxxdxxfxXEYE71)66()()()(1024442dxxxxdxxfxXEYE70037)()()(22YEYEYDf (x) = (-6x2+6x)I(0,1)
