1、平面的基本性质平面的基本性质 公理公理1 1：如果一条直线上的两点在一个平如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内，即直线在平面内。平面内，即直线在平面内。注：证明直线在注：证明直线在平面内的依据平面内的依据平面的基本性质平面的基本性质 公理公理2 2：如果两个平面有一个公共点如果两个平面有一个公共点, ,那么它那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。们有且只有一条通过这个点的公共直线。(1)(1)两个平面有公共点必有公共直线；两个平面有公共点必有公共直线；(2)(2)公共点必在公共直线上；公共点必在公共直线上； 注：注：1
2、1）确定两平面是否相交；）确定两平面是否相交；2 2）证明三点共线的依据；）证明三点共线的依据；3 3）证明三线共点的依据。）证明三线共点的依据。平面的基本性质平面的基本性质 公理公理3 3：经过不在同一条直线上的三点，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。有且只有一个平面。推论推论1 1：经过一条直线和这条直线外的经过一条直线和这条直线外的一点一点, ,有且只有一个平面有且只有一个平面推论推论2 2：经过两条相交直线，有且只有经过两条相交直线，有且只有一个平面一个平面推论推论3 3：经过两条平行直线经过两条平行直线, ,有且只有一个平面有且只有一个平面注：确定平面的方法。注：确定平面
3、的方法。【知识梳理知识梳理】2. 2. 空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系位置位置关系关系图图 示示表示方法表示方法公共点个公共点个数数 两两直直线线共共面面相相 交交平平行行异面异面abAbaAab Abababa a、b b是异是异面直线面直线一个一个没有没有没有没有3.3.异面直线异面直线( (不同在任何一个平面内的两条直线不同在任何一个平面内的两条直线) ) ?b?a?a?b?a?b画法：画法： 异面直线判定：异面直线判定： 用定义（多用反证法）；用定义（多用反证法）；判定定理：平面内一点和平面外一点的连判定定理：平面内一点和平面外一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线
4、。线与平面内不经过该点的直线是异面直线。【知识梳理知识梳理】异面直线所成的角：异面直线所成的角： 过空间的任一点与这两条异面直线平行的两过空间的任一点与这两条异面直线平行的两直线所成锐角（或直角）直线所成锐角（或直角）.(0,.(0,2;2;若两条异面直线所成角是直角，则称两异面若两条异面直线所成角是直角，则称两异面直线垂直。直线垂直。 异面直线的公垂线及距离：异面直线的公垂线及距离： （1 1）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直）和两条异面直线都垂直相交的直线叫异面直线的公垂线（公垂线存在且唯一）线的公垂线（公垂线存在且唯一）（2 2）公垂线段：公垂线夹在异面直线之间的部分）公垂线段：公
5、垂线夹在异面直线之间的部分（3 3）异面直线间的距离）异面直线间的距离 （即公垂线段的长）（即公垂线段的长）【知识梳理知识梳理】5.5.等角定理：等角定理：一个角的两边和另一个角的两边分别平行一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。并且方向相同，那么这两个角相等。 推论：推论：两条相交直线分别与另外两条直线两条相交直线分别与另外两条直线平行，那么这两组直线所成的锐角（或直平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等角）相等 。4.4.平行公理：平行公理：平行于同一条直线的两条直平行于同一条直线的两条直线互相平行。线互相平行。 【知识梳理知识梳理】注：注： 1 1 集
6、合符号与几何术语表示：集合符号与几何术语表示： A A l l （A A在直线在直线l l上）；上）； 2 2 有且仅有一个有且仅有一个确定一个。确定一个。 存在性，唯一性存在性，唯一性 A A （A A在平面在平面 内）；内）；l l （直线（直线l l在平面在平面 内）；内）；l l （直线（直线l l不在不在 内）内）题型题型1:1:平面的性质理解平面的性质理解例例1.1.下列命题中正确的是（下列命题中正确的是（ ）(1)(1)空间不同三点确定一个平面空间不同三点确定一个平面; ; (2)(2)有三个公共点的两个平面必重合有三个公共点的两个平面必重合; ; (3)(3)空间两两相交的三条
7、直线确定一个平面空间两两相交的三条直线确定一个平面; ;(4)(4)三角形三角形, ,平行四边形平行四边形, ,四边形都是平面图形四边形都是平面图形(5)(5)垂直于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行; ; (6)(6)一条直线和两平行线中的一条相交一条直线和两平行线中的一条相交, ,也必也必和另一条相交和另一条相交; ; (7)(7)两组对边相等的四边形是平行四边形两组对边相等的四边形是平行四边形. .即时突破即时突破1 1 题型题型1:1:平面有关概念、性质的理解平面有关概念、性质的理解（8 8）已知）已知E,F,G.HE,F,G.H是空间的四个点。命题是空间的四个点。命题甲：
8、点甲：点E,F,G,HE,F,G,H不共面；命题乙：点不共面；命题乙：点E,F,G,E,F,G,H H 中任何三点不共线，那么甲是乙成立的中任何三点不共线，那么甲是乙成立的 条件条件 A A 充分不必要充分不必要 B B 必要不充分必要不充分 C C 充要充要 D D 不充分不必要不充分不必要 A A 题型题型2 2、线共点问题、线共点问题例例2.2.已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，的中点，G G、H H分别是分别是BCBC、CDCD上的点，且上的点，且求证：求证：(1)(1)求证求证:E,F,G,H:E,F,G,H四点共
9、面四点共面; ;(2)(2)直线直线EGEG、FHFH、ACAC相交于同一点相交于同一点P P2 2H HC CD DH HG GC CB BG GPHFEABDCG题型题型3 3、共面问题、共面问题例例3 3、已知直线、已知直线a,b,c,a,b,c,l满足满足abcabc且且aal=A，bbl=B，ccl=C.证明四条直线证明四条直线a,b,c,a,b,c,l在同一平面内。在同一平面内。a ab bc clA AB BC CP P109109变式演练变式演练1 1练习：在正方体练习：在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E,F,G,H,E,F,G
10、,H,M,NM,N分别为正方体相应棱分别为正方体相应棱AAAA1 1,AB,BC,CC,AB,BC,CC1 1,C,C1 1D D1 1, ,A A1 1D D1 1的中点，求证：这六点共面。的中点，求证：这六点共面。1 1、三线共点：、三线共点：公理及推论应用：公理及推论应用：此时把点看作两个平面的公共点，此时把点看作两个平面的公共点，直线为公共直线，此时由直线为公共直线，此时由公理公理2 2即得即得 先证明两条直线相交于一点，先证明两条直线相交于一点，再说明第三条直线经过该点。再说明第三条直线经过该点。(1)(1)先由两点确定一条直线，再说明第三先由两点确定一条直线，再说明第三点在该直线上
11、点在该直线上( (通常这条直线是两平面的通常这条直线是两平面的交线交线). ). (2)(2)证明这些点都为两个平面的公共点，证明这些点都为两个平面的公共点，则它们同在交线上则它们同在交线上. .公理及推论应用：公理及推论应用：2 2、三点共线：、三点共线：3 3、三线共面、三线共面： (1)(1)先证其中两条直线确定一个平面，再先证其中两条直线确定一个平面，再证第三条直线在这个平面内证第三条直线在这个平面内纳入平纳入平面法面法 (2)(2)根据不同条件确定两个平面，再说明根据不同条件确定两个平面，再说明这两个平面重合这两个平面重合同一法同一法公理及推论应用：公理及推论应用： 题型题型4 4、
12、点共线问题、点共线问题例例4.4.在正方体在正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分分别是别是B B1 1C C1 1和和D D1 1C C1 1的中点，的中点，P P、Q Q分别为分别为EFEF和和BDBD的中点，对角线的中点，对角线A A1 1C C与平面与平面EFDBEFDB交于交于H H点点. .求证：求证：P P、H H、Q Q 三点共线三点共线QCDC1D1B1A1BAEFPH 题型题型5:5:空间直线位置关系空间直线位置关系例例5.5.在正方体在正方体ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、
13、F F分别分别是是AAAA1 1和和CCCC1 1的中点，则在空间中与三条直线的中点，则在空间中与三条直线A A1 1D D1 1，EFEF，CDCD都相交的直线（都相交的直线（ ） A A 不存在不存在 B B 有且只有两条件有且只有两条件 C C 有且只有三条件有且只有三条件 D D有无数条有无数条C C 题型题型6 6、两异面直线所成角与距离、两异面直线所成角与距离例例6.6.正四棱柱正四棱柱ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，（1 1）求证：）求证：BDBD平面平面ACCACC1 1A A1 1；（2 2）已知二面角）已知二面角C C1 1-BD-C-BD-C的大小为的大小为60600 0，求，求异面直线异面直线BCBC1 1与与ACAC所成角的余弦值。所成角的余弦值。1 1平移法平移法D D A A B B A A B B C C C C D D 1 11 11 1O O5 55 5x xy yz z向量法向量法练习练习: :如图所示，在三棱锥如图所示，在三棱锥D-ABCD-ABC中，中，DADA平面平面ABCABC，ACB=90ACB=90o o,ABD=30,ABD=30o o,AC=BC,AC=BC,求求异面直线异面直线ABAB与与CDCD所成的角的余弦值。所成的角的余弦值。D DA AB BC CE E10103030
