1、一、带电粒子在直边界磁场中的运动一、带电粒子在直边界磁场中的运动 例例1. 1. 如图所示，磁感应强度为如图所示，磁感应强度为B B的匀的匀强磁场垂直于纸面向里，强磁场垂直于纸面向里，PQPQ为该磁场为该磁场的右侧边界线，磁场中有一点的右侧边界线，磁场中有一点O O，O O点点到到PQPQ的距离为的距离为r r。现从点。现从点O O以同一速率以同一速率将相同的带负电粒子向纸面内各个不将相同的带负电粒子向纸面内各个不同的方向射出，它们均做半径为同的方向射出，它们均做半径为r r的匀的匀速圆周运动，求带电粒子打在边界速圆周运动，求带电粒子打在边界PQPQ上的范围（粒子的重力不计）。上的范围（粒子的
2、重力不计）。 PQO1. 同源等速异向带电粒子在磁场中的运动同源等速异向带电粒子在磁场中的运动 PQO( 31)MNr答案：O2rrQPMN由于从由于从O点向各个方向发射的带电粒子速度大小相同，在磁场中做匀速圆周运动点向各个方向发射的带电粒子速度大小相同，在磁场中做匀速圆周运动的半径的半径r相同，相同，O为这些轨迹圆周的公共点。为这些轨迹圆周的公共点。在这个基础上再将边界线在这个基础上再将边界线PQ复原就可以得到带电粒子打在边界线上的范围。复原就可以得到带电粒子打在边界线上的范围。注意注意:打到边界线上的最上边的点是大圆（虚线）与打到边界线上的最上边的点是大圆（虚线）与PQ的交点，打到最下面的
3、点是的交点，打到最下面的点是小圆与小圆与PQ的切点。的切点。实际上由于带电粒子都带负电，它们在纸面内都是做顺时针方向的匀速圆周运动，实际上由于带电粒子都带负电，它们在纸面内都是做顺时针方向的匀速圆周运动，边界线右侧没有磁场，粒子穿出边界线右侧没有磁场，粒子穿出PQ线后已飞离磁场，边界右边的轨迹不可能存在，线后已飞离磁场，边界右边的轨迹不可能存在，因此打到边界上的范围并不对称。因此打到边界上的范围并不对称。分析：带电粒子的运动受到磁场右侧边界的限制，打在分析：带电粒子的运动受到磁场右侧边界的限制，打在PQ上的范围不易确定。上的范围不易确定。假设磁场没有边界假设磁场没有边界PQPQO2rO带电粒子
4、能运动到的范围是以带电粒子能运动到的范围是以O点为圆心，点为圆心，2r为半径的大圆为半径的大圆(虚线虚线) 。PQ 例例2. 2. 如图所示，如图所示，A A、B B为水平放置的足够长的平行板，板间距为水平放置的足够长的平行板，板间距离为离为d=1.0d=1.01010-2-2m m，A A板上有一电子源板上有一电子源P P，Q Q点为点为P P点正上方点正上方B B板板上的一点，在纸面内从上的一点，在纸面内从P P点向点向Q Q点发射速度在点发射速度在0 03.23.210107 7m/sm/s范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强度范围内的电子。若垂直纸面内加一匀强磁场，磁感应强
5、度B=9.1B=9.11010-3-3T T，已知电子的质量，已知电子的质量m=9.1m=9.11010-31-31kg kg ，电子的电量，电子的电量q=1.6q=1.61010-19-19C C ，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且，不计电子的重力和电子间的相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在电子打到板上均被吸收，并转移到大地，求电子击在A A、B B两两板上的范围。板上的范围。2. 同源异速同向带电粒子在匀强磁场中的运动同源异速同向带电粒子在匀强磁场中的运动AQPBv分析：分析：本题中电子的速度方向相同，速度大小不同。本题中电子的速度方向相同，速度大小不同。只
6、需画出半径分别是只需画出半径分别是d和和2d的两个特殊圆，所求范围即可求得。的两个特殊圆，所求范围即可求得。BQAPvrm=2d假设电子在无界匀强磁场中运动假设电子在无界匀强磁场中运动根据左手定则可以判断：沿根据左手定则可以判断：沿PQ方向以大小不同的速度射方向以大小不同的速度射出的电子均做顺时针方向的匀出的电子均做顺时针方向的匀速圆周运动，这些半径不等的速圆周运动，这些半径不等的圆均相内切于点圆均相内切于点P，并与，并与PQ相相切，它们的圆心都在过切，它们的圆心都在过P点的点的水平直线上。水平直线上。设电子运动的最大轨迹设电子运动的最大轨迹半径为半径为rm因因 qvB=mv2/rm代入数据得
7、代入数据得 rm=2d在此基础上再加上直线在此基础上再加上直线BQ，AP与与BQ相当于磁场相当于磁场的两条边界线的两条边界线dddddrrdMHPHQMmm)32()2(2222222mQM31068. 2mdQN2100 . 1mdPH21022代入数据得代入数据得故电子击中故电子击中A板板P点右侧与点右侧与P点相距点相距0210-2m的范围，即的范围，即PH段段击中击中B板板Q点右侧与点右侧与Q点相距点相距2.68 10-3 m1.010-2m的范围，即的范围，即MN段。段。速度更大的电子打到速度更大的电子打到B板上的点在板上的点在N点的左侧，点的左侧，设速度最大的电子打在图中大圆与设速度
8、最大的电子打在图中大圆与B板相交的板相交的位置位置M，这样电子打在，这样电子打在B板上的范围是板上的范围是MN段。段。由图根据几何关系，有由图根据几何关系，有mrAPQ QBMNH电子速度大小不同，其运动半径也不同。轨迹电子速度大小不同，其运动半径也不同。轨迹半径半径rd的电子运动半个圆后打到的电子运动半个圆后打到A板上；当板上；当电子的运动半径电子的运动半径r=d（即图中的小圆）时，轨（即图中的小圆）时，轨迹圆正好与迹圆正好与B板相切，切点为板相切，切点为N，这是电子打，这是电子打到到B板上的临界点；运动半径大于板上的临界点；运动半径大于d的电子将的电子将被被B板挡住，不再打到板挡住，不再打
9、到A板上。故板上。故PNH所在的所在的圆是电子打到圆是电子打到A板上最远点所对应的圆，这样板上最远点所对应的圆，这样电子打在电子打在A板上的范围应是板上的范围应是PH段。段。 求解带电粒子在有界磁场中的运动范围问题，可以假设磁场求解带电粒子在有界磁场中的运动范围问题，可以假设磁场无限大，把有界磁场变成无界磁场，画出带电粒子的可能运无限大，把有界磁场变成无界磁场，画出带电粒子的可能运动轨迹，确定带电粒子的运动范围后，根据题设要求再补画动轨迹，确定带电粒子的运动范围后，根据题设要求再补画边界线，就可以得到所求的范围。边界线，就可以得到所求的范围。 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确
10、定带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关键圆心是解决问题的前提，也是解题的关键小结小结 最基本的思路最基本的思路圆心一定在与速度方向垂直的直线上圆心一定在与速度方向垂直的直线上(1)已知入射方向和出射已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心轨道的圆心 (2)已知入射方向和出已知入射方向和出射点的位置时，可以射点的位置时，可以通过入射点作入射方通过入射点作入射方向的垂线，连接入射向的垂线
11、，连接入射点和出射点，作其中点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的交点就是圆弧轨道的圆心圆心 两圆相交，在两交点上同一圆的两两圆相交，在两交点上同一圆的两条切线条切线ACAC和和BCBC如果相交，则一定交如果相交，则一定交于两圆心连线于两圆心连线OOOO的同一点的同一点C C。二、带电粒子在圆形磁场中的运动二、带电粒子在圆形磁场中的运动带电粒子在匀强磁场中仅受带电粒子在匀强磁场中仅受磁场力作用时做匀速圆周运磁场力作用时做匀速圆周运动，因此，带电粒子在圆形动，因此，带电粒子在圆形匀强磁场中的运动往往涉及匀强磁场中的运动往往涉及粒子粒子轨迹圆轨迹圆与磁场与磁场边界
12、圆边界圆的的两圆相交问题。两圆相交问题。OOABC情境：情境： 如图中圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应如图中圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为强度为B，现有一电量为，现有一电量为q，质量为，质量为m的负离子从的负离子从a点沿圆形区点沿圆形区域的直径射入，设负离子射出磁场区域的方向与入射方向的夹域的直径射入，设负离子射出磁场区域的方向与入射方向的夹角为角为600，求此负离子在磁场区域内飞行的时间及射出磁场时，求此负离子在磁场区域内飞行的时间及射出磁场时的位置。的位置。小结：小结：圆形磁场区域，具有对称性特点：圆形磁场区域，具有对称性特点：分析两圆的关系，得出粒子的出射
13、方向分析两圆的关系，得出粒子的出射方向ao粒子沿圆心射入，粒子沿圆心射入，则一定沿圆心射出。则一定沿圆心射出。例例3. 如图，半径为如图，半径为r=310-2m的圆形区域内，有一匀强磁场的圆形区域内，有一匀强磁场B=0.2T，一带正电粒子以速度，一带正电粒子以速度v0=106m/s的从的从a点处射入磁场，该点处射入磁场，该粒子荷质比为粒子荷质比为q/m=108C/kg，不计重力则：（，不计重力则：（1）粒子在磁场中）粒子在磁场中匀速圆周运动的半径是多少？（匀速圆周运动的半径是多少？（2）若要使粒子飞离磁场时有最）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（以大的偏转角，其入射
14、时粒子的方向应如何（以v0与与oa的夹角的夹角表表示）？最大偏转角多大？示）？最大偏转角多大？ 半径确定时，通过的弧越长，偏转角度越大。半径确定时，通过的弧越长，偏转角度越大。而弧小于半个圆周时，弦越长则弧越长。而弧小于半个圆周时，弦越长则弧越长。思考：若思考：若R2k-1的正整数。的正整数。121nkn1121 222nnmtTnkqB 1 21knkRntvtan （2 2）如图所示，）如图所示，AOC=, ,而而+=，有，有所以带电粒子在磁场中运动的时间为所以带电粒子在磁场中运动的时间为将将B B代入后可得代入后可得式中式中k k为大于零的正整数，与为大于零的正整数，与k k相对应的相对
15、应的n n取大于取大于(2k-1)(2k-1)的一系列正整数。的一系列正整数。AOvRrOC三、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动三、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动例例5、如图所示，空间分布着有理想边、如图所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电界的匀强电场和匀强磁场。左侧匀强电场的场强大小为场的场强大小为E、方向水平向右，电、方向水平向右，电场宽度为场宽度为L；中间区域匀强磁场方向垂；中间区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向外，右侧区域匀强磁场方向垂直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强直纸面向里，两个磁场区域的磁感应强度大小均为度大小均
16、为B。一个质量为。一个质量为m、电量为、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到到O点，然后重复上述运动过程。求：点，然后重复上述运动过程。求：（1）中间磁场区域的宽度）中间磁场区域的宽度d; （2）带电粒子的运动周期）带电粒子的运动周期.B1EOB2Ld带电粒子运动过程分析带电粒子运动过程分析O1O2O3B1EOB2Ld下面请你完成本题解答下面请你完成本题解答212qELmVRVmBqV2qmELBR21qmELBRd6216
17、0sin0qEmLqEmVaVt22221qBmTt3232qBmTt35653qBmqEmLtttt3722321由以上两式，可得由以上两式，可得（2）在电场中运动时间）在电场中运动时间在中间磁场中运动时间在中间磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间在右侧磁场中运动时间则粒子的运动周期为则粒子的运动周期为带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律得：O1O2O3B1EOB2Ld解：解：（1）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：）如图所示，带电粒子在电场中加速，由动能定理得：粒子在两磁场区运动半径相同，三段圆弧的圆心组成的三角形粒子在两磁场区运动半径相同
18、，三段圆弧的圆心组成的三角形O1O2O3是等边三角是等边三角形，其边长为形，其边长为2R。所以中间磁场区域的宽度为：。所以中间磁场区域的宽度为： 拓展拓展例例6、在、在xoy平面内有很多质量为平面内有很多质量为m，电量为，电量为e的电的电子，从坐标原点子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示现加一垂直于第一象限，如图所示现加一垂直于xoy平面向里、平面向里、磁感强度为磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于磁场都能平行于x轴且沿轴且沿x轴正向运动，试问符合轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面
19、积为多大该条件的磁场的最小面积为多大 (不考虑电子间的不考虑电子间的相互作用相互作用) ?xyOv0222()xryr2220112()(1)()422mvSrreBmin所有电子的轨迹圆半径相等，且均过所有电子的轨迹圆半径相等，且均过O点。这点。这些轨迹圆的圆心都在以些轨迹圆的圆心都在以O为圆心，半径为为圆心，半径为r的且的且位于第位于第象限的四分之一圆周上，如图所示。象限的四分之一圆周上，如图所示。即所有出射点均在以坐标即所有出射点均在以坐标(0，r)为圆心的圆为圆心的圆弧弧abO上，显然，磁场分布的最小面积上，显然，磁场分布的最小面积应是应是实线实线1和圆弧和圆弧abO所围的面积，由几何
20、关系所围的面积，由几何关系得得【解析解析】电子由电子由O点射入第点射入第象限做匀速象限做匀速圆周运动圆周运动沿沿y y轴正向发射的电子，轨迹如轴正向发射的电子，轨迹如图中实线图中实线1 1所示，圆心在所示，圆心在x x轴上轴上O1O1点；点；圆心在圆心在O O1 1O On n弧上的各点，其相应弧上的各点，其相应的运动轨迹均在第的运动轨迹均在第象限内，如象限内，如图中图中2 2、3 3、4 4等实线所示；等实线所示；分别过分别过O O1 1、O O2 2、O O3 3、O O4 4等圆心作等圆心作与与y y轴平行的直线轴平行的直线( (如图中虚线所如图中虚线所示示) )与相应实线分别交于与相应
21、实线分别交于a a、b b、c c、d d等点，过这些点做平行于等点，过这些点做平行于x x轴的轴的直线，则为各相应电子平行于直线，则为各相应电子平行于x x轴的运动方向。轴的运动方向。2000vmvev Bm r=reB由图可知，由图可知，a、b、c、d等点就是各电子离开等点就是各电子离开磁场的出射点，均应满足方程磁场的出射点，均应满足方程本题还可以用下述方法求出下边界本题还可以用下述方法求出下边界.设设P(x,y)为磁场下边界上的一点，为磁场下边界上的一点，经过该点的电子初速度与经过该点的电子初速度与x轴夹角为轴夹角为 ，则由图可知：，则由图可知： x=rsin y=r-rcos 得得:
22、x2+(y-r)2=r2 所以磁场区域的下边界也是半径为所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为，圆心为(0,r)的圆弧应是磁场的圆弧应是磁场区域的下边界；圆区域的下边界；圆O2的的y轴正方向的半个圆应是磁场的上边界，两边轴正方向的半个圆应是磁场的上边界，两边界之间图形的面积即为所求。界之间图形的面积即为所求。 图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积图中的阴影区域面积，即为磁场区域面积222202212()(1)422m vrSre B数学方法与物理知识相结合数学方法与物理知识相结合解决物理问题的一种有效途径解决物理问题的一种有效途径xyv0rP (x,y)OOO2r试解一道试解一道IPHOIP
23、HO题题质量均为质量均为m的一簇粒子在的一簇粒子在P点以同一速度点以同一速度v向不同方向散向不同方向散开（如图），垂直纸面的匀强磁场开（如图），垂直纸面的匀强磁场B将这些粒子聚焦于将这些粒子聚焦于R点，距离点，距离PR=2a，离子的轨迹应是轴对称的。试确定，离子的轨迹应是轴对称的。试确定磁场区域的边界。磁场区域的边界。(第第8届届IPHO试题，试题，1975) xyvPRaa磁 场O解答：在磁场解答：在磁场B B中，粒子受洛仑兹力作用作半径为中，粒子受洛仑兹力作用作半径为r r的圆周运动的圆周运动2vqvBmrmvrqB质量为质量为m m的所有粒子进入磁场中都在半径均为的所有粒子进入磁场中都在
24、半径均为r r的各自圆轨的各自圆轨迹上运动，离开磁场后，所有粒子都打在同一点迹上运动，离开磁场后，所有粒子都打在同一点R R 。设半径为设半径为r r的圆轨道上运动的粒子，在坐标为（的圆轨道上运动的粒子，在坐标为（x x，y y）的的A A点离开磁场，沿切线飞向点离开磁场，沿切线飞向R R点。由相似三角形得到点。由相似三角形得到ybaxxy同时，同时，A A作为轨迹圆上的点，应满足圆的轨迹方程作为轨迹圆上的点，应满足圆的轨迹方程222()xybr消去消去(y-b)(y-b)，得到满足条件的，得到满足条件的A A点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为点的集合，因此，表示磁场边界的函数方程为 22x axyrxxyvPRb a磁 场rA(x,y)O 作业： 讲义课后练习19
