1、那么那么的任何一个非零倍数的任何一个非零倍数k也是也是A的的),()(kkA0 这说明属于同一个特征值这说明属于同一个特征值0的特征向量不是唯一的，但一个特征向量只能的特征向量不是唯一的，但一个特征向量只能属于一个特征值。属于一个特征值。所以所以0的特征向量。的特征向量。属于属于向量，向量，如果如果是矩阵是矩阵A的属于特征值的属于特征值0的的 特征特征,A0 这是因为这是因为xAx 可以写成齐次线性方程组可以写成齐次线性方程组0 xEA )(方程组有解方程组有解0EA 即即0aaaaaaaaannn2n12n22121n2111 上式是以上式是以为未知量的一元为未知量的一元n次方程，称为方阵次
2、方程，称为方阵A的的特征方程特征方程，EA 是是的的n次多项式，记为次多项式，记为)(f称为方阵称为方阵A的的特征多项式特征多项式。显然，方阵显然，方阵A的特征值就是其特征方程的解。的特征值就是其特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的次数（重跟按重数计算），因此为方程的次数（重跟按重数计算），因此n阶方阵有阶方阵有n个特征值。显然，个特征值。显然，n阶单位矩阵阶单位矩阵E的特征值都是的特征值都是1。设设n阶方阵阶方阵)(ijaA 的特征值为的特征值为n21,则有则有（1）;nn2211n21aaa （2）.An21 如果如果i 是方阵
3、是方阵A的一个特征值，的一个特征值，求得非零解求得非零解,ipx 则则ip就是就是A的对应于特征值的对应于特征值i的特征向量。的特征向量。由以上分析知：由以上分析知：求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和求方阵的特征值和特征向量实际上就是求行列式和方程组的解。方程组的解。,)(0 xEAi 程组程组由线性方由线性方例例7求矩阵求矩阵 6321A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解A的特征多项式为的特征多项式为),()(76616321 故故A的特征值为的特征值为.,7021 当当01 时时,由由0 xEA1 )(即方程组即方程组, 00 xx632121解得基础解系为解得基础解系
4、为. 12p11p就是就是A的一个属于特征值的一个属于特征值01 的特征向量，的特征向量，A的属于特征值的属于特征值01 的所有特征向量为的所有特征向量为).(为任意常数为任意常数0kkp1 当当时，时，72 由由0 xEA2 )(即方程组即方程组, 00 xx132621解得基础解系解得基础解系. 31p2A的属于特征值的属于特征值72 的所有特征向量为的所有特征向量为).(为任意常数为任意常数0kkp2 1p就是就是A的一个属于特征值的一个属于特征值01 的特征向量，的特征向量，例例8求矩阵求矩阵 200031143A的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。解解A的特征多项式为的特征多项式
5、为,)(212200031141EA A的特征值为的特征值为.,12321 当当21 时，时，即方程组即方程组0 xE2A )(由由, 000 xxx000011143321求得基础解系求得基础解系 100p1就是就是A的一个属于特征值的一个属于特征值21 的特征向量，的特征向量，1pA的对应于特征值的对应于特征值21 的所有特征向量为的所有特征向量为1kp（k为不等于为不等于0的任意常数）的任意常数）.当当132 时，时，, 000 xxx100021142321解得基础解系解得基础解系. 021p22p就是就是A的一个属于特征值的一个属于特征值132 的特征向量，的特征向量，A的对应于特征
6、值的对应于特征值132 的所有特征向量为的所有特征向量为).(为任意的常数为任意的常数0kkp2 0 xEA )(可得方程组可得方程组由由例例9 求矩阵求矩阵 236102113A的特征值与的特征值与特征向量。特征向量。解解A的特征多项式为的特征多项式为,)( 21121131623EA A的特征值为的特征值为.,11321 当当1 时，时，即方程组即方程组, 000 xxx111311624321解得基础解系解得基础解系. 311p11p就是就是A的一个属于特征值的一个属于特征值11 的特征向量，的特征向量，A的属于特征值的属于特征值11 的所有特征向量为的所有特征向量为).(为任意常数为任
7、意常数0kkp1 ,)(0 xEA 由由当当132 时，时，, 000 xxx311311622321解得基础解系解得基础解系. , 110p201p3232pp ,就是就是A的属于特征值的属于特征值132 的特征向量，的特征向量，的所有特征向量为的所有特征向量为).,(不同时为零不同时为零213221kkpkpk 0 xEA )(可得方程组可得方程组由由132 A的对应于的对应于 在例在例9中，中，1是是A的的2重特征根，重特征根，A对应于特征值对应于特征值1的线性无关的特征向量有两个，即的线性无关的特征向量有两个，即0 xEA )(的基础解系，由两个解向量组成，的基础解系，由两个解向量组成
8、， 在例在例8中，中，1也是也是A的的2重根，但重根，但A对于特征值对于特征值1的的线性无关的特征向量却只有一个，即线性无关的特征向量却只有一个，即0 xEA )(的基础解系只有一个解向量组成。的基础解系只有一个解向量组成。对于一阶矩阵对于一阶矩阵A，如果，如果0是是A的的k重特征根，重特征根，个数不大于个数不大于k， 所含向量的个数不大于所含向量的个数不大于k. 可以证明，可以证明，0的线性无关特征向量的的线性无关特征向量的则则A对应于对应于0 xEA0 )(的基础解系的基础解系也就是说，也就是说，例例10A的特征值只有的特征值只有0和和1。设方阵设方阵A是幂等矩阵（即是幂等矩阵（即 ），试
9、证），试证AA2 证证设设是是A的特征值，的特征值，是是A的对应于的对应于的的特征向量，则特征向量，则),(0A 于是于是,)()()(AAAAAA22 所以，所以，,)(02 ，）（012 即即。或或10 ，因因0 所以所以由例由例10的证明可以看出，的证明可以看出，2则则是是2A的特征值。的特征值。是方阵是方阵A的特征值，则的特征值，则k是是kA的特征值；的特征值；)(是是)(A的特征值，的特征值，,)(mm10aaa .)(mm10AaAaEaA 其中其中是方阵是方阵A的特征值，的特征值，若若按此类推，不难证明按此类推，不难证明若若例例11已知三阶矩阵已知三阶矩阵A的特征值分别为的特征值
10、分别为1，-1，2，矩阵矩阵,23A5AB 试求矩阵试求矩阵B的特征值。的特征值。解解因因),(AA5AB23 故故,)(235 于是矩阵于是矩阵B的特征值分别为的特征值分别为,)(41 .)(,)(12261 定理定理3属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证证用数学归纳法证明。用数学归纳法证明。由于特征向量是不为零的，所以单个特征向量必由于特征向量是不为零的，所以单个特征向量必然线性无关。然线性无关。 现在设属于现在设属于m个不同特征值的特征向量线性无关，个不同特征值的特征向量线性无关， 征向量征向量m21ppp,也线性无关。也线性无关。下面证明下面证
11、明m21,的特的特属于属于m+1个不同特征值个不同特征值假设有等式假设有等式0pkpkpkpk1m1mmm2211 0pkpkpkpkA1m1mmm2211 )(即即(1)式两端左乘式两端左乘A可得：可得：0pkpkpkpk1m1m1mmmm222111 0pkpkpk1m1m1m221m111m 将（将（2）和（）和（3）两式相减得）两式相减得,)()()(0pkpkpkm1mmm21m2211m11 (1)1m （1）式两端左乘）式两端左乘可得：可得：（2）（3）由归纳假设由归纳假设m21ppp,线性无关，所以线性无关，所以),()(m21i0k1mii 但但),(mi01mi 所以所以, 0ki 这时（这时（1）式变为）式变为, 0pk1m1m 又因又因, 0p1m 所以只有所以只有. 0k1m 这就证明了这就证明了1m21ppp ,线性无关。线性无关。由此可知，定理的结论是成立的。由此可知，定理的结论是成立的。例例12求矩阵求矩阵 0110A的特征值。的特征值。解解A的特征多项式为的特征多项式为.)(111f2 其有复特征根其有复特征根.,ii21 方阵在复数域内总有特征根，方阵在复数域内总有特征根，这个例子说明这个例子说明:但不一定有实特征根。但不一定有实特征根。
