1、第三章第三章 电势电势本章主要介绍与静电场相联系的能量。本章主要介绍与静电场相联系的能量。本章的基本要求本章的基本要求(1)理解静电场的理解静电场的保守性保守性和和场强环路定理场强环路定理；(2)理解理解电势差电势差、电势电势的概念，掌握利用的概念，掌握利用电势的定电势的定义式义式和和电势叠加原理电势叠加原理求电势的方法。求电势的方法。(3)理解理解电势梯度电势梯度的意义，并能够利用它由电势求的意义，并能够利用它由电势求电场强度。电场强度。(4) 理解理解静电场能量静电场能量及及电场能量密度电场能量密度的概念。的概念。q一一. .静电场力所做的功静电场力所做的功0qrlE dd0 qAlr d
2、4300rqqcosddlr lrrrd1. 点电荷的电场点电荷的电场l drdArABrBE)11(400BArrqq结果结果: : A 仅与仅与 q0 0 的的始末始末位置位置有关有关，与路径无关，与路径无关3.1 静电场的保守性静电场的保守性rrqqAd4d200BArrLrrqqqA2000d4dlE2. 任意电荷的电场（视为点电荷系）任意电荷的电场（视为点电荷系）iiEEliiqlE d0结论：结论：静电场力做功与路径无关静电场力做功与路径无关保守力保守力二二. .静电场的环路定理静电场的环路定理EBABAqq2010ddlElE0)dd(210ABBAqlElE12AB静电场的环路
3、定理静电场的环路定理lqAlE d00d llE0d0lqlE结论：结论：静电场是保守场静电场是保守场(1)电场强度的线积分只于始末位置有关；电场强度的线积分只于始末位置有关；(2)电场强度的环流恒等于零。电场强度的环流恒等于零。高斯定律高斯定律iiSq01dSE环路定理环路定理0d llE有源场有源场保守场保守场小结小结讨论题讨论题1：试用试用环路定理环路定理证明：证明：静电场电场线永不闭合静电场电场线永不闭合。利用反证法。假设静电场电场线闭合，可沿此电场利用反证法。假设静电场电场线闭合，可沿此电场线取一闭合路径线取一闭合路径 L，则，则 L 上的环流上的环流EL0d0dLlElE与静电场的
4、环路定理相矛盾，由此可知，静电场的与静电场的环路定理相矛盾，由此可知，静电场的电场线永不闭合。电场线永不闭合。结论：静电场是无旋场，结论：静电场是无旋场，0E磁场是有旋场，磁场是有旋场，0B微分形式微分形式讨论题讨论题2：试用试用环路定理环路定理分析：电场线为一系列不均匀分布的分析：电场线为一系列不均匀分布的平行直线的静电场不存在。平行直线的静电场不存在。EabdcE1E2分析：分析：假设这种电场分假设这种电场分布存在。布存在。取闭合矩形回路取闭合矩形回路abcda由于由于ab、dc与与 E 平行，平行，ab 线上处处线上处处E相等（可用相等（可用高高斯定律斯定律证明），即证明），即 Ea =
5、 Eb = E1同理，在同理，在 dc 线上处处线上处处 E 相等，即相等，即 Ec = Ed = E2。取取 dl 的方向的方向如图所示如图所示，计算环流：，计算环流：000ddddd212121lEEcdEabEaddccbbaL)()(lElElElElE因为电场线平行但不均匀分布，故因为电场线平行但不均匀分布，故21EE 违背静电场环路定理，故假设不成立。违背静电场环路定理，故假设不成立。结论：对于电场线平行，必然是等间距的，即一结论：对于电场线平行，必然是等间距的，即一定是均匀场。定是均匀场。abqE如图示，单位正电荷在场中受力如图示，单位正电荷在场中受力EEf q3.2&3.3 电
6、势差和电势、电势叠加原理电势差和电势、电势叠加原理一一. 电势差电势差静电场是保守场静电场是保守场，故存在一个由电故存在一个由电场中各点的场中各点的位置所决定的标量函数位置所决定的标量函数 babalE dabUa、b两点两点电势差电势差电场的电势电场的电势ab 零点alE d预选一个参考位置为预选一个参考位置为电势零点电势零点若选若选 b 点为电势零点点为电势零点( 令令 )则，则，a 点的点的电势：电势：0babqEab 零点aababalElEdd(1) 电电势零点的选择势零点的选择( (参考点参考点) )1. 任意，但视分析问题方便而定任意，但视分析问题方便而定2. 参考点不同电势不同
7、参考点不同电势不同讨论讨论通常通常理论理论计算计算有限带电体有限带电体电势时选电势时选无限远无限远为参考为参考点；点；实际实际应用中常把应用中常把大地大地、仪器、仪器外壳外壳等选为等选为参考点。参考点。思考：思考：对于电荷分布至无限远处的带电体，如对于电荷分布至无限远处的带电体，如无限无限大大带电平面和带电平面和无限长无限长带电直线的电场，如何带电直线的电场，如何选取电势零点。选取电势零点。分析：分析：若选无限远为电势零点，则电场中各若选无限远为电势零点，则电场中各点的电势值将是无意义。点的电势值将是无意义。例如：例如：无限大无限大带电平面的电场是均匀场带电平面的电场是均匀场02E选选 ，则电
8、场内任一点，则电场内任一点 P 的电势为的电势为0lElEppdd故，对于这样的电场故，对于这样的电场只能选取空间有限远只能选取空间有限远处某一定点为电势零点处某一定点为电势零点。一般选在无限长带电直线上、无限长圆柱的面上一般选在无限长带电直线上、无限长圆柱的面上或轴线上、无限大带电平面的面上。或轴线上、无限大带电平面的面上。(2) 电势的量纲电势的量纲SI制：单位制：单位 V (伏特伏特)(3) 若电势分布已知，一点电荷若电势分布已知，一点电荷 q 从从 a 点运点运动到动到 b 点，静电力做功点，静电力做功)(dbabaabqqAlE1. 点电荷场电势公式点电荷场电势公式rlE drrQr
9、d420二二. 电势的计算电势的计算QPrEl d PPlE dred420rrrQrldd rQ04Or球对称球对称标量，正负：标量，正负：rQ04讨论：讨论：在正电荷的电场中，各点的电势为正；在正电荷的电场中，各点的电势为正；在负电荷的电场中，各点的电势为负；在负电荷的电场中，各点的电势为负；1q2q3q 点电荷系点电荷系iiEEAAlE dlE diAiiiiiAiArq04 电荷连续分布的带电体电荷连续分布的带电体rqP04dA1r1E2r3r2E3EqEdrPqd2. 电势叠加原理电势叠加原理3. 任意带电系统的电势任意带电系统的电势 0dPPlE1) 若已知在积分路径上电场若已知在
10、积分路径上电场 E 的分布函数，的分布函数，由定义式：由定义式：范围范围：能用高斯定理求场强的场。：能用高斯定理求场强的场。2) 利用点电荷电势利用点电荷电势及电势叠加原理及电势叠加原理条件：条件：有限大有限大带电体，选带电体，选无限远无限远处电势为零。处电势为零。rq04rqP04diiiArq04、例例1 在相距为 2R 的点电荷 +Q 和-Q 的电场中，把点电荷 +q 从 O 点沿 OCD 移到 D 点，求电场力做多少功？解：解：)(DOOCDqARQRQRQRQRQDO00000432434044RqQAOCD06目的：离散点电荷系的电势目的：离散点电荷系的电势OCD-Q+QRR例例2
11、 计算均匀带电球面的电势计算均匀带电球面的电势 PlE dintrrQrRRrd4d020RQo解：解：均匀带电球面电场的分布为均匀带电球面电场的分布为rrQRrERreE2040PrPrEd若场点在球内，即若场点在球内，即Rr rrQrd420extrQ04场点在球面外，即场点在球面外，即Rr RQ0int4目的：已知电场分布求电势的方法目的：已知电场分布求电势的方法RQoP rRrRQ,40(1) 电势分布电势分布RrrQ,40与电量集中在球心的与电量集中在球心的点点电荷电荷的电势分布相同的电势分布相同(2) 图示图示r0R等势体等势体讨论讨论例例3 计算电量为计算电量为 Q 的带电球面球
12、心的电势的带电球面球心的电势Rq04dd QQRq04ddQR40RQo解：解：在球面上任取一电荷元在球面上任取一电荷元qdqd则电荷元在球心的电势为则电荷元在球心的电势为由由电势叠加原理电势叠加原理：球面上电荷在球心的总电势：球面上电荷在球心的总电势目的：由电势叠加原理求电势的方法目的：由电势叠加原理求电势的方法电量分布均匀？电量分布均匀？思考：思考：(1) 均匀带电球面均匀带电球面：球心处的电势球心处的电势RQO04(2) 非均匀带电球面非均匀带电球面：球心处的电势球心处的电势RQO04球内空间处处球内空间处处 E = 0，所以球内空间等势。，所以球内空间等势。但球内空间其它各点处的场强但
13、球内空间其它各点处的场强 E 与球面上与球面上 Q 的的分布分布有关，各点的有关，各点的 E 不一定相等，各点的不一定相等，各点的电势电势 也不一定相等。也不一定相等。 4dd0rqPrqqrP004d412204Rxq+Rr例例4 正电荷正电荷 q 均匀分布在半径为均匀分布在半径为R 的细圆环上的细圆环上。求求圆环圆环轴线上距环心为轴线上距环心为 x 处点处点 P 的电势的电势。ldxPoyzxxoRqx0040 ，xqRxP04，讨讨 论论 Rq042204RxqPRox)( 2220 xRx22rx xPrrqd2drrdRPrxrr0220d241Rx （点点电荷电势）电荷电势）例例5
14、 均匀带电薄圆盘轴线上的电势均匀带电薄圆盘轴线上的电势xRxRx2222xQ042204ddrxqP课堂练习：课堂练习：求无限长均匀带电圆柱体的电势分布。求无限长均匀带电圆柱体的电势分布。分析：分析：由由高斯定律高斯定律可求得电场分布：可求得电场分布：RrrRRrrrreeE020202R选圆柱轴线即选圆柱轴线即 r = 0 处为电势零点处为电势零点由电势定义分别求出圆柱体内、外空间的电势分布：由电势定义分别求出圆柱体内、外空间的电势分布：)(intRrrrrrr04d2d02000rE)(4ln2d2d2d020200020extRrRrRRrrrrRRRrrrERrr另：可选圆柱表面另：可
15、选圆柱表面 r = R 处为电势零点处为电势零点)0()(4d2d2200intRrrRrrRrRrrE)(ln2d2d0202extRrrRRrrRRrRrrERrrRr例例6 平行板电容器两板间的电势差。平行板电容器两板间的电势差。d0E)()(dlE解：解：平行板电容器内部的场强为：平行板电容器内部的场强为：两板间的电势差两板间的电势差El d均匀场均匀场Ed)()(dlE)()(dlEO讨论题：讨论题：在与面电荷密度为在与面电荷密度为 的的无限大无限大均匀带电平板均匀带电平板相距为相距为 a 处有一点电荷处有一点电荷 q ，求点电荷至平板，求点电荷至平板垂线中点垂线中点 P 处的电势。
16、处的电势。qPa有人用电势叠加法计算得：有人用电势叠加法计算得：0000422224aaqaaqP是否正确？是否正确？分析：分析：错错两个电势零点：前一项两个电势零点：前一项无限远处无限远处 后一项后一项无限大平板上一点无限大平板上一点应选应选共同的电势零点共同的电势零点：若以：若以 q 点所在点为坐标原点所在点为坐标原点点O，以，以OP连线方向为连线方向为x轴，则选轴，则选 x = a 处为电势处为电势零点，则任一点零点，则任一点 x (0 x a) 处的处的场强场强为：为：qPaxO02024xqExE1E200/20/220/244d2d4ddaaqxxxqxEaaaaaaxPP零点lE
17、则 P 点处的电势为：目的：存在多个带电体时，电势零点应统一目的：存在多个带电体时，电势零点应统一qPaxO例例7 两个同心球面的半径分别为两个同心球面的半径分别为 R1 和和 R2，各自带有，各自带有电荷电荷 Q1 和和 Q2。求：。求： (1) 各区域电势分布；各区域电势分布；(2) 两球两球面间的电势差为多少？面间的电势差为多少？R1R2Q1Q2分析：有两种方法。分析：有两种方法。方法一：方法一：由于电场分布具有球由于电场分布具有球对称性，故可先由高斯定律求对称性，故可先由高斯定律求出电场分布，再由电势的定义出电场分布，再由电势的定义式求电势的分布。式求电势的分布。方法二：方法二：利用电
18、势叠加原理求电势，即将两个球面利用电势叠加原理求电势，即将两个球面在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。在各区域产生的电势叠加，可求得电势的分布。解：解：方法一方法一 (1) 由高斯定律可求得电场分布：由高斯定律可求得电场分布：22021321201211440RrrQQERrRrQERrErreeR1R2Q1Q220121022414rQEQrER1R2Q1Q2根据电势的定义式求各区域的电势根据电势的定义式求各区域的电势分布，取分布，取无限远处无限远处为电势零点。为电势零点。当 时，1Rr 202101202121013211444)11(40dddd2211RQRQRQQRRQrErE
19、rERRRRrrrE等势体等势体Pr当 时，21RrR202012021201322444)11(4ddd22RQrQRQQRrQrErERRrrrER1R2Q1Q2Pr当 时，2Rr rQQrErr021334ddrEPr(2) 两个球面之间的电势差两个球面之间的电势差)11(4d210121221RRQrEURRR1R2Q1Q2方法二方法二 由各球面的电势的叠加求电势分布。由各球面的电势的叠加求电势分布。Rr Rr rQ04RQ04当 时，1Rr 202101144RQRQ当 时，21RrR20201244RQrQ当 时，2Rr rQrQ0201344R1R2Q1Q2(2) 两个球面之间的
20、电势差两个球面之间的电势差2011012112442RQRQURr思考：思考：三个点电荷三个点电荷 q1、q2、q3 沿一条直线分布。已沿一条直线分布。已知其中任一点电荷所受合力为零，且知其中任一点电荷所受合力为零，且 q1 = q3 = Q。求在固定求在固定 q1、q3 的情况下，将的情况下，将 q2 从从 O 点移到无限点移到无限处，外力需做功处，外力需做功 A外外 为多少？为多少？解：解：由题意可知由题意可知 q1 受受 q2、q3 的电场力的合力为零，的电场力的合力为零，可得：可得：024420312021)( aqqaqqOaaq1q2q34432QqqaQaQQaqaqqAA020
21、03012842444)(电场力外目的：电场力功的计算目的：电场力功的计算Oaaq1q2q33.4 电势梯度电势梯度空间空间电势相等的点电势相等的点连接起来所形成的面称为连接起来所形成的面称为等势面等势面满足方程满足方程1Czyx,23一一. 等势面等势面 在静电场中，电场强度在静电场中，电场强度 E 总是与等势面垂直的，即总是与等势面垂直的，即电场线是和等势面电场线是和等势面正交正交的曲线簇。的曲线簇。 在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功0)(d00babaabqqAlE0d0baabqAlE0d, 0, 00lEqlEd即即电场线处处垂直于
22、等势面电场线处处垂直于等势面。讨论讨论ABABBAABlEUd d lE1dl2dl12ddll 按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相等，即等势面的等，即等势面的疏密程度疏密程度同样可以表示场强的大小。同样可以表示场强的大小。12EE + + + + + + + + + + + + +二二. .电场强度与电势梯度电场强度与电势梯度cosd d)(rEUABABrErEEcos电场中某一点的电场中某一点的电场强度电场强度沿沿某一方向的分量某一方向的分量，等于这一，等于这一点的电势点的电势沿该方向单位长度上沿该方向单位长度上电势变化率电势变化率的
23、的负负值值。drdErEABrErddrErdd高电势高电势低电势低电势dErdndrABrErddrEEcos若若 ，Er 达到极大值达到极大值0rdd达到极大值达到极大值maxddrE电势梯度电势梯度：矢量，方向是该点附近电势升高最快的方向：矢量，方向是该点附近电势升高最快的方向电势电势梯度梯度grad)kjiEzyx（E 直角坐标系中直角坐标系中 为求电场强度为求电场强度 E 提供了一种新的途径提供了一种新的途径求求 E 的三种方法的三种方法利用电场强度叠加原理利用电场强度叠加原理利用高斯定理利用高斯定理利用电势与电场强度的关系利用电势与电场强度的关系*(1) 空间空间某点电场强度的大小
24、某点电场强度的大小等于该点临域内等于该点临域内电势梯度电势梯度的大小的大小。(2) 电场强度的方向恒指向电势降落的方向电场强度的方向恒指向电势降落的方向。讨讨论论物理意义物理意义maxddrE(3) E 相等的地方，相等的地方， 一定相等吗？等势面上一定相等吗？等势面上 E 一定一定相等吗？相等吗？讨论讨论(1) 电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？（如：负点电荷的场）（如：负点电荷的场）（如：均匀带电圆环的中心）（如：均匀带电圆环的中心）(2) 的地方，的地方， 吗？吗？00E（如：（如：电偶极子电偶极子）分析下列问题，并举例加以说明。分析下列
25、问题，并举例加以说明。不对不对不对不对不一定不一定（如：（如：均匀电场均匀电场）不一定不一定如如无限大均匀带电平面无限大均匀带电平面：均：均匀电场，各处相等，但在与匀电场，各处相等，但在与无限大平面距离不相等的点无限大平面距离不相等的点的电势是不相等的。的电势是不相等的。EdEE+d(3)电荷均匀分布的球面，在与它同电荷均匀分布的球面，在与它同心的球面上心的球面上 E 值相等，值相等， 值也相等值也相等如如电偶极子电偶极子，其中垂面是一等势，其中垂面是一等势面，但面上各点的场强不相等：面，但面上各点的场强不相等：31rE r+分析：分析： 值相等的曲面是等势面，在等势面上各点的值相等的曲面是等
26、势面，在等势面上各点的 E 值不一定是相等的，还要看该点附近的电势分布。值不一定是相等的，还要看该点附近的电势分布。目的：正确理解场强与电势的关系目的：正确理解场强与电势的关系例例1* * 求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度。解：解：xqyxzoRrlqddPE2/1220)(4Rxq2/3220)(4RxqxE2/1220)(4RxqxxEEx例例2 证明电偶极子任一点电场强度为证明电偶极子任一点电场强度为rrq1140证明：证明：lrcos2cos2lrrlrrrrreeppE34130qqlrrzxPrqqlrrzxPr2cosrrrlrr
27、rrq1140rrrrq04204cosrqlrzqlpcosqqlrrzxPr204cosrql2/32220)(4zyxpz2/32220)(4zyxpz2/52220)(34zyxxpzxEx5034rxzp5034ryzpyEy)31(45230rzrpzEzkjiEzyxEEErrreeppE34130)3(41341341)(341)333(4130302302302230peepperpprpkjikkjikjiErrrzyxrrrrpzrzyxrpzrpzyzxzrprEEE推导：推导：rzpcoskprpcosprrrzp3.5 电荷在外电场中的静电势能电荷在外电场中的静电势
28、能baabWWA注意注意：一个电荷在外电场中的电势能是属于该电荷：一个电荷在外电场中的电势能是属于该电荷和产生电场的电荷系所共有的，是一种和产生电场的电荷系所共有的，是一种相互作用能相互作用能静电场是保守场静电场是保守场qW 静电势能静电势能点电荷点电荷 q 在静电场中移动时，其电势能的减少等于在静电场中移动时，其电势能的减少等于电场力所做的功。电场力所做的功。静电势能静电势能baqq)(baq即：点电荷在某点处的静电势能等于将它由该点处即：点电荷在某点处的静电势能等于将它由该点处移至电势零点，电场力所做的功。移至电势零点，电场力所做的功。例：例：求电矩求电矩 p = ql 的电偶极子在均匀外
29、电场的电偶极子在均匀外电场 E 中的中的电势能。电势能。cos)(ddEllElElE解：解：电偶极子中正、负电荷的电电偶极子中正、负电荷的电势能分别为：势能分别为：qWqW,coscos)(pEqlEqWWWEp+qqlE/20W0pEW能量最低能量最低pEW 能量最高能量最高讨论：讨论：cospEWEp+qqlE注意：注意：EpM稳定稳定平衡平衡非稳定非稳定平衡平衡3.7 静电场的能量静电场的能量一一. 电荷系的静电能电荷系的静电能设设 n 个静止电荷所组成的电荷系，将各电荷从现有个静止电荷所组成的电荷系，将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，位置彼此分散到无限远时，它们之间的静电力所做它
30、们之间的静电力所做的功的功电荷系在原来状态的电荷系在原来状态的静电能静电能（互能）（互能）niiiqW121推导见推导见3.6节节其中：其中： 为为 qi 所在处由所在处由 qi 以外的其他电荷产生的电以外的其他电荷产生的电势。势。i电荷连续分布的带电体：电荷连续分布的带电体：电荷元电荷元原来该带电体的静电能（自能）原来该带电体的静电能（自能）qqWd21RQqRQqRQqWqqq02008d8d421d21例：一均匀带电球面（例：一均匀带电球面（R，Q），其静电能：），其静电能：RQdqRQ考虑：考虑：气球膨胀，由于斥力做功，能量减少气球膨胀，由于斥力做功，能量减少dRRRQWd8d202这
31、一部分能量储存在厚度这一部分能量储存在厚度为为 dR 的球壳内的电场中。的球壳内的电场中。球壳内的能量为：球壳内的能量为：RRQWd8d202二二. 静电场的能量静电场的能量RQW028因为球壳内的电场为因为球壳内的电场为)4/(20RQERRRQRRQWd4)4(2d8d22200202RRVVEWd4d,d2d220引入引入电场能量密度电场能量密度we2dd20EVWwe适用于静电场的一般情况适用于静电场的一般情况一个带电系统的电场的总能量：一个带电系统的电场的总能量：VVeVEVwWd2d20用场的概念表示的用场的概念表示的带电系统的能量带电系统的能量例：例：真空中一个均匀带电球体真空中
32、一个均匀带电球体 (R，q)，试利，试利用电场能量公式求此带电系统的静电能。用电场能量公式求此带电系统的静电能。rrErrEVwVwVwWRRRreRreVed42d42ddd22200221021rRodrqRqrrrqrrRqrWRR0222200022300203d4)4(2d4)4(2另：另：qqWd21带电球体的电场强度分布：RrrqreE2024RrRqrE3014球内距球心为r，厚度为dr的球壳处的电势：)3(8d4d4dd2230303021rRRqrqRqRRrRRrrrrrrErERqrrRqrRRqVqWR020232230qq203d434)3(821d21d211.
33、两个物理量两个物理量,E2. 两个基本方程两个基本方程0d,d0LiiSqlES内3. 两种计算思路两种计算思路)(dQEE)(dQ0intdiSqSE)0()(dPPlE真空中的静电场小结真空中的静电场小结4. 强调两句话强调两句话 注重典型场注重典型场 注重叠加原理注重叠加原理点电荷点电荷均匀带电球面均匀带电球面无限长的带电线无限长的带电线 (柱柱)无限大的带电面无限大的带电面 (板板)1. 三块互相平行的均匀带电大平面，面电荷密度分别为 ， ， 。A 点与平面2相距5.0cm，B点与平面2相距7.0cm。(1)计算A、B两点的电势差；(2)设把电量 q0 = -1.0 10-8C 的点电
34、荷从A点移到B点，外力克服电场力做多少功？241C/m102 . 1252C/m100 . 2243C/m101 . 1AB123123解：解：(1) 平面1和平面2之间的电场为：)(21321012E场强叠加原理场强叠加原理平面2和平面3之间的电场为：)(21321023EV100 . 9)()(214232123210223212BABAABlllElEU(2) J10940ABABABUqAA2. 地球表面上空晴天时的电场强度约为 100V/m。(1)此电场的能量密度多大？(2)假设地球表面以上 10km 范围内的电场强度都是这一值，那么在此范围内所储存的电场能共是多少 kWh？解 (1) 3821220J/m104 . 42)100(1085. 82Ewe(2)hkW103 . 62104 . 41010)104 . 6(44483262eEwhRW
